北師大版2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊第4章《三角形》競賽題（帶解析答案）

2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)北師大版下冊第4章《三角形》

競賽題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

單項選擇題（本大題共8小題）

1.如圖，AD，CE是AABC的角平分線，AD.CE相交于點尸，已知NB=60°,則下列說法中正確

的個數(shù)是（）

?AF^FC；②AAEF'CDF；?AE+CD^AC；@ZAFC=120°.

A.1B.2C.3D.4

2.如圖在△ABC中，BD、BE分別是△ABC的高和角平分線，點廠在CA的延長線上，F(xiàn)H±BE,交BD

于點G,交5c于點下列結(jié)論:①NO8E=NR②2N5Ef=NA4f+NC,③/尸=NA4C-NC,④NBED

A.（D（2X3）B.C.①④D.@@④

3.如果△ABC的三邊長分別為3、5、7,ADEF的三邊長分別為3,3x-2,2x-l,若這兩個三角形全等,

則x的值為（）

7

A.-B.4C.3D.5

3

4.若a,b,c是AABC的三邊，則化簡一|"一"一4的結(jié)果是（）

A.2a—2bB.2b—2a

C.2cD.0

5.如圖，A48D與AAEC都是等邊三角形，AB^AC,下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①BE=C。；

②N5OD=60°;③ZBDO=NCEO；④若N8AC=90"，且DA〃BC,則3C_LCE.

C.3D.4

6.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都是1,點A，B,C,。都在格點上，連接AC,BD

相交于P,那么ZAPB的大小是（）

A.80°B.60°C.45°D.30°

7.如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示AA8C,6.ACD,AEFG,AEGH.已知NAC8=NCAZ）=NEFG

=NEGH=70。，NA4c=NACD=NEGF=NEHG=50。，則敘述正確的是（）

5題圖①5題圖②

A.甲、乙全等，丙、丁全等B.甲、乙全等，丙、丁不全等

C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等

8.如圖，已知P是AABC內(nèi)任一點，AB=12,BC=10,AC=6,貝!|PA+PB+PC的值一定大于（）

試卷第2頁，總33頁

A.14B.15C.16D.28

二、填空題（本大題共6小題）

9.如圖，△A8C的NA4c和45CA的外角角平分線交于點O,AB=OC-AC,ZOCA=x,其中60。

<x<90°,則4c的度數(shù)是。.（用含x的式子表示）

10.如圖，已知AABC中，NC=90°,4。=6。=28，將小鉆。繞點4順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到丫439

的位置，連接CB,則CB的長為

ZACB=ZDCE=50°,AD,BE交于點H,連接CH,貝!|NCHE三

12.如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB,BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM

和等腰直角三角形BCN,其中NABM=NBC=N90。，連接MN,已知MN=4,貝BD=

13.三角形的周長小于13,且各邊長為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有..個.

14.如圖，RtAABC中，AB=AC=3,AO=1.若將AD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接OE,則在

D點運(yùn)動過程中，線段為OE的最小值為.

三、解答題(本大題共4小題)

15.在等腰RtAA8c中NABC=90。，BA=BC,在等腰RtAQ9E中NCZ)E=9()。，DE=DC,連接A。，

點尸是線段AO的中點.

(1)如圖1,連接3尸，當(dāng)點。和點E分別在5c邊和AC邊上時，若AB=3,CE=2a,求5尸的長.

(2)如圖2,連接BE、BD、EF,當(dāng)ND8E=45。時，求證：EF=—ED.

2

BD

16.在△ABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°,且AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,如果點D在BC上，且BD=5,CD=3,求DE的長.

(2)如圖2,AD與BC相交于點N,點D在BC下方，連接BD,且AD垂直BD,連接CE并延長與BA

的延長線交于點F,點M是CA延長線上一點，且CM=AF,求證：CF=AN+MN.

試卷第4頁，總33頁

E

17.如圖，在AABC中，AO是高，E、尸分別是AB、AC的中點，45=8,AC=6.

(1)求四邊形AE。尸的周長；

(2)若N3AC=90。，求四邊形尸的面積.

18.如圖，在△ABC中，NBAD=NDAC,DF_LAB,DM±AC,AB=16cm,AF=10cm,AC=14cm,動點

E以2cm/s的速度從A點向B點運(yùn)動，動點G以lcm/s的速度從C點向A點運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時,

另一個點隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t.

(2)求證：在運(yùn)動過程中，無論t取何值，都有SAAED=2SADGC;

(3)當(dāng)t取何值時，ADFE與ADMG全等；

試卷第6頁，總33頁

2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)北師大版下冊第4章《三角形》競

賽題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

單項選擇題（本大題共8小題）

1.如圖，AD.CE是AABC的角平分線，AD.CE相交于點凡已知ZB=60。，則下列說法

中正確的個數(shù)是（）

@AF=FC；②AAEF經(jīng)ACDF；③AE+CD=AC；@ZAFC=120°.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

當(dāng)AF=FC、4AEF絲Z\CDF時，需要滿足條件NBAC=NBCA,據(jù)此可判斷①②；在AC上取

AG=AE,連接FG,即可證得△AEG<Z\AGF,得NAFE=/AFG；再證得/CFG=NCFD,則

根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證AGFC0aDFC,可得DC=GC,即可得結(jié)論，據(jù)此可

判斷③④.

【詳解】

解:①假設(shè)AF=FC.則N1=N4.

?.?AD、CE是△ABC的角平分線，

/.ZBAC=2Z1,ZBCA=2Z4,

/.ZBAC=ZBCA.

.?.當(dāng)NBACWNBCA時?，該結(jié)論不成立；

故①不一定正確；

②假設(shè)△AEF也ZSCDF,則N2=N3.

同①，當(dāng)/BAC=NBCA時，該結(jié)論成立，

...當(dāng)/BACr/BCA時，該結(jié)論不成立；

故②不一定正確；

③如圖，在AC上取AG=AE,連接FG,

：AD平分NBAC,

/.Z1=Z2,

在^AEF與^AGF中

AE^AG

<Z2=Z1,

AF^AF

.'.△AEF^AAGF(SAS),

.,.ZAFE=ZAFG；

試卷第8頁，總33頁

「AD、CE分別平分NBAC、ZACB,

AZ4+Z1=-ZACB+-ZBAC=-(ZACB+ZBAC)=-(180°-ZB)=60°,

2222

則NAFC=180°-(Z4+Z1)=120°；

，ZAFC=ZDFE=120°,ZAFE=ZCFD=ZAFG=60°,

則NCFG=60°,

/.ZCFD=ZCFG,

在^GFC與^DFC中，

NCFD=ZCFG

<CF=CF,

N4=N3

.'.△GFC^ADFC(ASA),

，DC=GC,

VAC=AG+GC,

，AC=AE+CD.

故③正確；

④由③知，ZAFC=180°-ZECA-ZDAC=120°,即NAFC=120°；

故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有2個.

故選:B.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊

和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

2.如圖在小ABC中,分另1」是445。的高和角平分線,點尸在CA的延長線上,PTUBE,

交BD于點G,交BC于點H.下列結(jié)論：①?2ZBEF=ZBAF+ZC,③/尸

=NBAC-NC,④NBED=NABE+NC,其中正確的是()

BH

A.①②③B.①③④C.①④D.①②④

【答案】D

【分析】

①根據(jù)BDLFD,FH_LBE和NFGD=NBGH,證明結(jié)論正確；

②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；

③證明/DBE=NBAC-/C,根據(jù)①的結(jié)論，判斷出錯誤；

④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確.

【詳解】

解:?'：BD±FD,

：.ZFGD+ZF=90°,

■:FH1BE,

:.NBGH+NDBE=90°,

,：NFGD=ZBGH,

；.NDBE=NF,故①正確；

②：BE平分NABC,

：.ZABE=ZCBE,

'：ZBEF=ZCBE+ZC,

：.2ZBEF=ZABC+2ZC,

ZBAF=ZABC+ZC,

：.2ZBEF=ZBAF+ZC,故②正確；

③?.,NABO=90。-ABAC,

:./DBE=/ABE-NABD=NABE-90。+/BAC=NCBD-ZDBE-900+ZBAC,

VZCBD=90°-ZC,

：.ZDBE=ZBAC-ZC-ZDBE,

由①得，ZDBE=ZF,

：.ZF=ABAC-ZC-NDBE,故③錯誤；

④：NBED=NEBC+NC,

'：ZABE=ZEBC,

：.ZBED=ZABE+ZC,故④正確，

試卷第10頁，總33頁

...正確的有①②④，共三個，

故選：D.

【點睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)求解是

解題關(guān)鍵.

3.如果△ABC的三邊長分別為3、5、7,△DEF的三邊長分別為3,3x-2,2x-l,若這兩個

三角形全等，則x的值為()

7

A.-B.4C.3D.5

3

【答案】C

【分析】

根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等分類討論，分別求出x值判斷即可.

【詳解】

此題需要分類討論.

7

①若3x-2=5,則x=§,

所以2x-1=費(fèi)彳7

所以此種情況不符合題意；

②若3%-2=7,則x=3,

所以2xT=5.

所以此種情況符合題意.

綜上所述：x=3

故選C.

【點睛】

此題考查的是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求字母的值，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解決此題的

關(guān)鍵.

4.若a,b,c是△ABC的三邊,則化簡-力-。|-|力-。-4的結(jié)果是()

A.2a—2bB.2b—2a

C.2cD.0

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系”任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊“，得到a-b-c<0,

b-a-cVO,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡計算.

【詳解】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

a-b-c<0.b-a-c<0

一(a—b—c)—P—{h—a—c)]——ci+b+c+b—a—c—2b—2a

故選B.

【點睛】

本題考查三角形三邊關(guān)系和絕對值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊關(guān)系.

5.如圖，A4BZ)與AAEC都是等邊三角形，AB^AC,下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是()①

BE=CD；②NBOD=60";(§)ZBDO=ZCEO；④若N84c=90°,且DA，BC,貝l」3C_LCE.

【答案】C

【分析】

利用全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】

解：與AAEC都是等邊三角形

，AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60°

:./DAB+/BAC=NEAC+ZBAC

即NDAC=NEAB

AZMC=^BAE

:.BE=CD,①正確；

;^DAC=^BAE

.?.NADO=/ABO

試卷第12頁，總33頁

...NBOD=NDAB=60°,②正確

VZBDA=ZCEA=60°,ZADC^ZAEB

:.ZBDA-ZADC#：ZCEA-ZAEB

，NBDO，NCEO,③錯誤

'：DAHBC

/.ZDAC+ZBCA=180o

VZDAB=60°,NA4c=90°

二ZBCA=180°-ZDAB-ZBAC=30°

,/ZACE=60°

ZBCE=ZACE+ZBCA=60°+30°=90°

二BCLCE④正確

故由①②④三個正確，

故選C

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識，解題的

關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都是1,點A,B,C,。都在格點上，

連接AC,8。相交于P,那么Z4PB的大小是（）

AB

A.80°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【分析】

取格點E,F,連接MDMB,先證明ADRWVAMEB,得出=4DMF=NMBE,

再證明AC//5M得出4正8=NPBM,最后證明AZM但是等腰直.角?:角形，得出"5"=45。,

從而得出ZAPB=45°即可.

【詳解】

解：取格點E，F(xiàn),M,連接用。，MB,

由已知條件可知：MF=BE,DF=EM,ZDFM=NMEB=90°,

:.KDFMuMIEB，

：.MD=MB,NDMF=ZMBE,

同理可得：^ACB=^BME,

：.ACAB=NMBE,

二AC//BM,

，ZAPB=ZPBM,

■:NBME+ZMBE=90°,

，ZBME+NDMF=90°.

：./DMB=90。,

ADM8是等腰直角三角形，

ZDBM=45°,

即ZAPB=45°,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，所

求角轉(zhuǎn)換成容易求出度數(shù)的角，合理的添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示△ABC,△AQ9,AEFG,△EGH.已知NAQ?=

NCAD=NEFG=NEGH=70。,ZBAC=ZACD=ZEGF=ZEHG=50°,則敘述正確的是

()

試卷第14頁，總33頁

A.甲、乙全等，丙、丁全等B.甲、乙全等，丙、丁不全等

C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意即是判斷甲、乙是否全等，丙丁是否全等.運(yùn)用判定定理解答.

【詳解】

解：VZACB=CAD=70°,NBAC=NACD=50。，AC為公共邊，

/.△ABC^AACD,即甲、乙全等；

△EHG中，NEGH=70°/NEHG=50°,即EH=EG,

雖/EFG=NEGH=70。，ZEGF=ZEHG=50°,

...△EFG不全等于△EGH,即丙、丁不全等.

綜上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正確，

故選：B.

【點睛】

本題考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空間想象能力.判定兩個三角形全等的一般方

法有：SSS、SAS、AAS、HL.找著NEGH=70￥NEHG=50。，即EHWEG是正確解決本題的

關(guān)鍵.

8.如圖，已知P是△ABC內(nèi)任一點，AB=12,BC=10,AC=6,貝！JPA+PB+PC的值一定

大于（）

P

BC

A.14B.15C.16D.28

【答案】A

【分析】

在三個三角形中分別利用三邊關(guān)系列出三個不等式，相加后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到正確的

結(jié)論.

【詳解】

解：如圖所示，在4ABP中，AP+BP〉A(chǔ)B,

同理:BP+PC>BC,AP+PC>AC,

以上三式左右兩邊分別相加得到：

2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,

即PA+PB+PC〉g(AB+BC+AC),

APA+PB+PC>-x(12+10+6)=14,

2

即PA+PB+PO14

故選A.

【點睛】

本題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系，在三個三角形中分別利用三邊關(guān)系列出三個不等式，相

加后即可得到正確的結(jié)論；

二'填空題(本大題共6小題)

9.如圖，AASC的N5AC和N5CA的外角角平分線交于點。，AB=OC-AC,ZOCA=

x,其中60。<》<90。，則N0AC的度數(shù)是°.(用含x的式子表示)

【答案】(180——)

【分析】

試卷第16頁，總33頁

延長CA至E,使AE=AB,連接BO,EO,由等腰三角形的性質(zhì)可得NE=](180?-x)=90。

-由“SAS”可證△EAOg^BAO,可得NE=NABO=90。-gx,由角平分線的性質(zhì)和

外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：如圖，延長CA至E,使AE=AB,連接BO,EO,

二AB+AC=OC=AE+AC,

，EC=OC,

/.ZE=ZEOC,

.,.ZE=1(180?-x)=90°-

,.,AO平分NNAC,

/.ZNAO=ZOAC,

VZBAC=ZEAN,

.?.NEAO=NBAO,

在^EAO和^BAO中，

AE^BA

<ZEAO=NBAO,

AO^AO

.,.△EAO^ABAO(SAS),

.,.ZE=ZABO=90°--x,

2

VAABC的NBAC和NBCA的外角角平分線交于點O,

AOB平分NABC,

.,.ZABC=2ZABO=180°-x°,

VZNAC=ZABC+ZACB,

，ZNAC=180°-x+180°-2x=360°-3x,

3Y

AZOAC=180°——，

2

3r

故答案為：（180——）.

2

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)

輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知AABC中，NC=90。，AC=BC=2y[2,將AABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。

到VA*C的位置，連接則CB的長為.

【答案】20-2

【分析】

根據(jù)題意連接BB，,延長BC交AB，于點M,先證明△ABCg/\BBC,得到NMBB，=NMBA=30。；

進(jìn)而求出BM、CM的長，即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，連接BB，，延長BC交AB，于點M,

由題意得：NBAB，=60。，BA=B,A,

試卷第18頁，總33頁

...△ABB，為等邊三角形，

...NABB，=60。，AB=B，B；

在^ABC-BBC，中，

AC'=B'C

，AB=B'B,

BC'=BC

/.△ABC,^AB,BC,(SSS),

.".ZMBB,=ZMBA=30°,

.，.BM±AB,,且AM=B，M；

由題意得：AC=BC=2五,AB2=AC2+BC2=16,

.?.AB'=AB=4,AM=2,

...CM=gAB，=2；由勾股定理可求：BM=26，

,

.,.CB=2A/3-2.

故答案為：273-2.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，熟

練掌握并作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=50°,AD、BE交于點H,連接CH,則J

ZCHE=.

【答案】65°

【分析】

先判斷出AACD三MCE,再判斷出AACMwABCN即可得到C4平分即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，?;ZACB=NDCE,

:.NACD=NBCE,

CA=CB

在MCD和ABCE中，＜NAC。=/BCE

CD=CE

:.MCD三kBCE(SAS)；

過點。作CM_LA￡＞于A/,CN工BE于N,

vMO=ASC￡,

ZC4M=NCBN,

ZC4M=4CBN

在AACM和ABCN中，＜ZAMC=NBNC=90°

AC=BC

.?.A4CM=ABGV,

:.CM=CN,

,\CM=CN

在RtACMH與RtACNH中＜

CH=CH

RtACMH=RtACNH(HL),

.\ZMCH=ZNCH,

:.CH平分ZAHE；

vMCD=ABCE,

:"CAD=NCBE,

\ZAFC=ABFH,

ZAHB=ZACB=50°,

ZAHE=180°-50°=l30°,

NCHE=-ZAHE」*130°=65°,

22

故答案為：65°.

試卷第20頁，總33頁

B,

H

【點睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中，注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

12.如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB,BC為直角邊向△ABC外作等腰

直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中NABM=NBC=N90。，連接MN,已知MN

=4,貝!|BD=.

延長BD至UE,使DE=BD,連接AE,證明△ADE^ACDB(SAS),uTWAE=CB,NEAD=NBCD,

再根據(jù)△ABM和ABCN是等腰直角三角形，證明△MBNgZXBAE,可得MN=BE,進(jìn)而可得

BD與MN的數(shù)量關(guān)系即可求解.

【詳解】

解：如圖，延長BD到E,使DE=BD,連接AE,

,/點D是AC的中點，AD=CD,

ED=BD

在4ADE和ACDB中，\ZADE=ZCDB,.,.AADE^ACDB(SAS),

AD=CD

，AE=CB,NEAD=NBCD,

「△ABM和^BCN是等腰直角三角形，

，AB=BM,CB=NB,/ABM=NCBN=90。，

.?.BN=AE,

又NMBN+NABC=360°-90°-90°=180°,

ZBCA+ZBAC+ZABC=180°,

.,.ZMBN=ZBCA+ZBAC=ZEAD+ZBAC=ZBAE,

在^MBN和^BAE中，

MB=AB

<NMBN=NBAE,.,.AMBN^ABAE(SAS),，MN=BE,

BN=AE

VBE=2BD,.*.MN=2BD.

又MN=4,...BD=2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的

判定與性質(zhì).

13.三角形的周長小于13,且各邊長為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有個.

【答案】3

【分析】

根據(jù)周長小于13,三角形三邊為互不相等的整數(shù)，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小

于第三邊可確定三邊可選的數(shù)字為2、3、4、5,由此可得這樣的三角形以及個數(shù).

【詳解】

解：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長小于13,則其中的任何一邊不能超

過6.5；

根據(jù)三角形各邊為整數(shù)，所以任何一邊都大于1,且小于6,故三邊可選的數(shù)字為2、3、4、5；

根據(jù)各邊不相等可得，三邊可以為：2、3、4；2、4、5；3、4、5；

試卷第22頁，總33頁

故這樣的三角形共有3個，

故答案為：3.

【點睛】

本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及分類討論的思想.解答的關(guān)鍵是找到三邊的取值范圍及對三角

形三邊的理解把握.

14.如圖，RSABC中，AB=AC=3,AO=1.若將AD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連

接OE,則在D點運(yùn)動過程中，線段為OE的最小值為.

【答案】V2

【分析】

在AB上截取AQ=AO=1,連接DQ,先證得△AQD-^AOE,得出QD=OE,根據(jù)點到直線

的距離可知當(dāng)QD1BC時，QD最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得QDJ_BC時的QD

的值，即可求得線段OE的最小值.

【詳解】

如圖，在AB上截取AQ=AO=1,連接DQ,

VZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即NBAD=NCAE,

在^AQD和^AOE中，

AQ^AO

<ZQAD=ZOAE,

AD=AE

.'.△AQD^AAOE(SAS),

，QD=OE,

?.?點D在直線BC上運(yùn)動，

.?.當(dāng)QD_LBC時，QD最小，

VAABC是等腰直角三角形，

/.ZB=45°,

VQD1BC,

...△QBD是等腰直角三角形，

VAB=AC=3,AQ=AO=1,

.*.BQ=2,

QD=與QB=O,

二線段OE的最小值是為0.

故答案為血.

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，作出輔助

線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三'解答題(本大題共4小題)

15.在等腰RtA45C中NA5C=90。，BA=BC,在等腰RtACDE中NCDE=90。，DE=DC,

連接4。，點尸是線段AO的中點.

(1)如圖1,連接5F,當(dāng)點。和點E分別在5。邊和AC邊上時，若A5=3,CE=2母,

求BF的長.

(2)如圖2,連接5E、BD.EF,當(dāng)ND5E=45。時，求證：EF=ED.

試卷第24頁，總33頁

【答案】(1)叵；(2)見詳解；

2

【分析】

(1)利用等腰直角三角形DEC,求解CD,然后勾股定理求解AD,最后直角三角形斜邊中線

等于斜邊一半，即可；

(2)如圖，延長EF到N,使得FN=EF,連接BN,延長DE交AB于M；利用△AFN^ADEF,

可求DM〃AN；進(jìn)而可得NOMB=NBAN,ZOMB=ZOCD；可得△BAN^^BCD,可知

NB=BD,再證明△BEN^^BED,可得DE=EN=2EF：故防=；￡>E；

【詳解】

(1)由題可知:在等腰RSDEC中,NCDE=90。，DE=DC,CE=2也；

二ED=CD=2；又AB=BC=3；二BD=1；

在RSABD中，AD^yjAB^BD2=V10：

又點F是線段AD的中點，

???B"F，——A.D八-_--加---;

22

(2)如圖，延長EF到N,使得FN=EF,連接BN,延長DE交AB于M；

A

在^AFN和^DEF中，

AF=DF；/AFN=NDFE；FN=EF；

.,.△AFN^ADEF

:.AN=DE=CD,ZFAN=ZFDE

，DM〃AN

，NOMB=NBAN；又NMOB+NOMB=90。；ZDOC+ZOCD=90°；

ZMOB=ZDOC；

:.ZBAN=ZBCD；

在^BAN和^BCD中，

AB=BC；ZBAN=ZBCD；AN=CD；

.".△BAN^ABCD

:.ZABN=ZCBD；BN=BD；

.,.ZDBN=ZCBA=90°；

XZDBE=45°/.ZEBN=ZEBD；又BE=BE；BN=BD；

/.△BEN^ABED

；.DE=EN=2EF；

:.EF=-DE.

2

【點睛】

本題考查二角形綜合問題，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

試卷第26頁，總33頁

的一半；難點在于輔助線的添加和三角形全等的構(gòu)造.

16.在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°,且AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,如果點D在BC上，且BD=5,CD=3,求DE的長.

(2)如圖2,AD與BC相交于點N,點D在BC下方，連接BD,且AD垂直BD,連接CE

并延長與BA的延長線交于點F,點M是CA延長線上一點,且CM=AF,求證:CF=AN+MN.

【答案】(1)V34;(2)見解析

【分析】

(1)連接CE,證△ABD^^ACE,利用全等三角形的性質(zhì)可得CE,CD,在直角△CED中

用勾股定理可求得DE的長.

(2)過A作AG〃BC交CF于點G,證明四邊形ANCG為平行四邊形，則CG=AN,這樣證

CF=MN+AN=CG+GF,轉(zhuǎn)化為證GF=MN,為此證△AGFgaCNM問題即解決.

【詳解】

(1)如圖，連結(jié)CE

NBAC=NDAE=90。

ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=90°

/.ZBAD=ZCAE

在^BAD和必CAE中

AB=AC

?ZBAD=NCAE

AD^AE

.,.△BAD^ACAE(SAS)

.?.CE=BD=5,ZACE=ZB

ZBAC=90°

/.ZB+ZACB=90o

二ZACE+ZACB=90°

E[JCE±CD

在RSECD中，CD=3,CE=5,由勾股定理得：DE=ylCD2+CE2=V9725=V34

所以DE的長為后.

(2)如圖，過點A作AG〃BC交CF于點G

則NFAG=NABC,ZAGE+ZBCF=180°

VAD1BD,AD±AE

，AE〃BD

.,.ZFAE=ZABD

二ZFAE-ZFAG=ZABD-ZABC

即/GAE=NNBD

,/ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=90°

.,.ZBAD=ZCAE

試卷第28頁，總33頁

在^BAD和必CAE中

AB=AC

?ZBAD=NCAE

AD^AE

.".△BAD^ACAE(SAS)

，ZCEA=ZBDA=90°

，ZAEC=90°

，ZANC=ZBND=90°-ZNBD=90°-ZGAE=ZAGE

.,.ZANC+ZBCF=180°

，AN〃CF

四邊形ANCG是平行四邊形

，CG=AN,AG=CN

VAB=AC

/.ZABC=ZCAN

，ZFAG=ZACN

在^FAG和^MCN中

AF=CM

<NE4G=NACN

AG=CN

二AFAG^AMCN(SAS)

.*.MN=GF

：CF=CG+GF

，CF=AN+MN

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及輔助線的作法.難點在輔助線的作法，特別是

第二問的輔助線如何作許多學(xué)生無從下手.本題第二問是證兩條線段的和等于另一條線段，此

類典型問題的解決方法有兩種：一是在長線段上截取一線段等于兩較短線段中的一條，再證余

下線段等于另一線段即可，稱之為截長法；二是把其中一條較短線段補(bǔ)長，再證線段相等，稱

之為補(bǔ)短法.

17.如圖，在△ABC中，是高，E、尸分別是43、AC的中點，4B=8,AC=6.

（1）求四邊形AEDF的周長；

（2）若NA4c=90。，求四邊形4EDF的面積.

（1）延長DE到G,使GE=DE,連接BG,根據(jù)線段中點的定義求出AE=4,AF=3,并利

用SAS證明△AED^ABEG,由全等三角形的性質(zhì)并再次利用全等三角形的判定得出

△GBD^AABD,可證得DE=^AB=4,同理DF=3AC=3,即可計算出四邊形的周長；

（2）利用SSS可證△AEF^ADEF,根據(jù)直角三角形的面積計算方法求出^AEF的面積，則

四邊形的面積即可求解.

【詳解】

解：（1）延長DE到G,使GE=DE,連接BG,

VE,F分別是AB、AC的中點，AB=8,AC=6,

AE=BE=—AB=4,AF=CF=—AC=3.

22

在^AEDBEG中,

"AE=BE

<NAED=NBEG,

DE=GE

/.△AED^ABEG(SAS).

，AD=BG,ZDAE=ZGBE.

V