2022年河南省三門峽市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案及部分解析)

2022年河南省三門峽市普通高校對(duì)口單招

高等數(shù)學(xué)二自考真題（含答案及部分解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

1.

￡—2—102

設(shè)施散型隨機(jī)變吊S的分布列為；二二：二二------則期望值E（&等于

IJ0.20.10.4c（）

A.-1

B.0

C.0.1

D.0.4

2.某建筑物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過50年的概率為0.8,超過60年的

概率為0.6,該建筑物經(jīng)歷了50年后，它將在10年內(nèi)倒塌的概率等

于【】

A.0.25B.0.30C.0.35D.0.40

設(shè)尸（X）是/（X）的個(gè)原函數(shù)，則dx

3.()O

A「吧"

B佻。

1吧+C

D「唱

4.

設(shè)尸"⑵（幻土3，則

A.4eB.2eC.eD.1

函數(shù)v—+er）在區(qū)間（-1,1）內(nèi)（）

A.減少

B.增加

C.不增不減

5.D.有增有減

6.設(shè)㈣牛則㈣等于（）A.10/3B.5/3C.l/3D.2/15

2x+lx<0,,、

設(shè)y（x）=,—?jiǎng)t儂/（X*

7.（）O

A.OB.-lC.-3D.-5

/（j）dx=ln（jr++合）+C

8.若，則3）等于[]

_]

A.八一工

]

B.1+%

_1

C.+H

]

D.V,+/

9.下列反常積分收斂的是

r+8

In/dr

Dr

已知?[/(』)]=，,則八[)=

10.dxX2X2

A.A.O

B.-l

C.2

D.-4

級(jí)數(shù)￡

n-IV(

A.絕對(duì)收斂

B.條件收斂

C.發(fā)散

H.D.無法確定斂散性

IxlJ

eax=).

12.

A.0

C.2(e-1)

D.T(e-1)

13.曲線y=x=在點(diǎn)(1,-2)處的切線方程為【】

A.2x-y-6=0B.4x-y-6=0C.4x-y-2=0D.2x-y-4=0

14.

若事件4與8為互斥事件.且P(A)=0.3/(A+8)=0.8,則P(8)等于().

A.0.3B,0.4C.0.5D.0.6

15.函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處有定義，是f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)的()。

A.必要條件，但非充分條件B.充分條件，但非必要條件C.充分必要條

件D.非充分條件，亦非必要條件

16.

…、內(nèi))=/+丁，則畛力+映也等于().

oxoy

2r-l)B.2(x+l)C.2(y-DD-2(y+I)

17.

設(shè)z=/a,y)在點(diǎn)(1，1)處有小，1)=0,且(l,1)=2,北(1,1)=0,

(1.D=H則”1,1)

A.是極大值B.是極小值

C.不是極大值D.不是極小值

18.設(shè)函數(shù)f(x)在x=l處可導(dǎo)，且式1)=0,若f”⑴>0,則f(l)是()o

A.極大值B.極小值C.不是極值D.是拐點(diǎn)

19.

已知lim"七+2=2,則。=,b=

20.曲線y=a-(x-b嚴(yán)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為

A.A.(a,0)B.(a,-b)C.(a,b)D.(b,a)

2i設(shè)函數(shù)2=e)則劄i.n=()

A.2e2B.4e2C.e2D.O

若〃工-1)=工2一］,則/(外為()

A.2什2

-D

C'..r(x—1)

22.D.2x-l

J\ln(l+2/)d/

lim----------r------=

23.Ex()o

A.3B.2C.lD.2/3

24.

設(shè)/(x)的一個(gè)原函數(shù)是(x+l)siru?則￡/(x-l)dx=

A.sinlB.-sinlC.0D.1

25.

*

若x=-l和x=2都是函數(shù)/(x)=(a+x)e"的極值點(diǎn)，則a,b分別為

A.A.2,-1B.2,1C.-2,-lD.-2,l

lif/(t)d?=?e-+C,IH/（In，）＜h等于（

A.xlnx+C

B.-xlnx+C

設(shè)函數(shù)”外在［0.2］上連續(xù),且在（0?2）內(nèi)/（公＞0,則下列不等式成立的是

A.f（0）＞f（l）＞f（2）

B.f（0）＜f（l）＜f（2）

C.f（0）＜f（2）＜f（1）

28D.f（o）＞f（2）＞f（1）

29.設(shè)函數(shù)f(sinx)=sin2x,則f'(x)等于()。

A.2cosxB.-2sinxcosxC.%D.2x

、\2x+3x<0

已知函數(shù)/(x)=，>則lim/(x)+lim/(x)=

30.lxx>°…i

A.A.9B.8C.7D.6

二、填空題（30題）

31是由方程J^+y-?n3br+6y=0所?定的■備數(shù)屬的I------------

下列南故中為奇函數(shù)的是

A?y=co**xB,y-J+siar

32.

33.

設(shè)y"T>=a，+_r+a"（其中a>O,aWD,則/">=.

設(shè)二元函數(shù)z=sin式，則存=_______________

34.y次力

p-VbiVdx_____________

J。?

36.

Jcosqx■+Idx=.

37.曲線:y=x3-3x?+2x+l的拐點(diǎn)是

39.

從0,123.4,5共六個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)組成數(shù)字不重復(fù)的3位奇數(shù)的概率是

40.

dx

rex+e-x

設(shè)/(2)=1,//(工)業(yè)=1.則[工/'(力心n

41

42

不定積分JT^dx=_

若z=ln(x+Iny),則當(dāng)=---------.1--------------

f0?

44.

J=—.則a=___________?

J。4+x128

.設(shè)z=ln[jy+皿個(gè))],則孕|.

45.

46.

已知￡Vl-x2d.r=；,則J：Vl-xJdx=___________.

設(shè)函數(shù)/(x)=1e''忘°'在點(diǎn)X=O處連續(xù)，則常數(shù)a=

47.la+x.x>0

dz

48.設(shè)z=cos(xy2),貝！]dr

49.設(shè)函數(shù)y=xsinx,貝!Iy"=

設(shè)區(qū)域D由/=a./=h(b>a).y=所ffll成?則區(qū)域”的面積為

A.J*[/(x)—<(x)jdxB.[￡[/《“〉x(x)](￡r[

50cf〔屋上)一八1)〕山IX「I/(j-)—g(^)|djr

51.

設(shè)y=lny-2xlnjc確定函數(shù)y=y(z),則y=.

52.曲線f(x)=xlnx-X在x=e處的法線方程為

53.

設(shè)事件A與8相互獨(dú)立，且P(A)=0.4,P(A+8)=0.7,則P(B)=

54.

函數(shù)f(H)=(cosz)’在工=0點(diǎn)處連續(xù)，則定義/(0)=.

設(shè)函數(shù)。(H)=j：JTT7■市，貝|J<P'(x)=

57.

58」(x+1)12產(chǎn)二-

59.設(shè)函數(shù)y=x3,.

60.

設(shè)/■(1r)=2jr,g(z)=#2,則f(gz(x))=.

三、計(jì)算題(30題)

求極限lim/l+-\e

61.*''-r'

(Inz)2dj.

63.

設(shè)下述積分在全平面上與路徑無關(guān):

jyy9>(x)dx+[中(])—■卜dy.

65.其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),并且61)=1.求函數(shù)6工).

求極限lim-—「—dt.

66.■r-S,nj-J"/r+37

n.Lsi")，如也

巳知參數(shù)方程??j2,

67.=a(l-cos/),5"

計(jì)算二重積分『3+?粒辦?其中D為曲線y-V與產(chǎn)所圍成的區(qū)域.

68.*

計(jì)算定積分「yi-e-^dz.

69.

計(jì)算定積分/cos^sinxdx.

71.已知曲線C為y=2x?及直線L為y=4x.

①求由曲線C與直線L所圍成的平面圖形的面積S；

②求曲線C的平行于直線L的切線方程.

計(jì)算『等Ud_rdy.其中。是由,=o?和/一，所BJ成的區(qū)域.

72.4>

設(shè)z=z(x,y)是由方程*J+/-e,=0所確定的慰函數(shù)，求更

/J?A*

74.求小薨塞？

討論函畋/(?)=?/在工=。處連續(xù)性與町導(dǎo)性.

75.°?工-。

計(jì)算二重積分上，的,其中。是由*物線/一工及直線y二工一2用成.

76.

77.

計(jì)算二亶積分J其中D為由曲線y=1T與,=工'-]所圍成的區(qū)域.

計(jì)算J（6+y，一上》）業(yè)打,其中D為一+y41.

/O*

79.求極限網(wǎng)亮高fcos

80改變枳分j"[/（工~）力+1&r['/Gr）dy的積分次序.

求極限

81.77-2

82.求微分方程3/35工一5y'=0的通解.

sin(liKr)dx.

求JyCArdy?其中區(qū)域D由y=y?>=2.x=1及1—2所圍成.

改D皓由曲線＞，/（x＞與真線y—O.y3圈成的區(qū)域.其中

八”)-i

\61?1>2?

85.求D繞y?貨轉(zhuǎn)影成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

求極限lim(4Mnj+(e'-1)cos-V

86.

87求Umx(e--l).

T+77'”>0.

設(shè)函數(shù)/（x）求定積分J：/G)Ar.

“V0?

(arctan/)2dj

求極限lim乩

"+1

設(shè)函數(shù)一，'+八~,求加與矗

90.

四、綜合題（10題）

—-L-di=0在區(qū)間（0.D內(nèi)有唯一的實(shí)根.

9］證明：方程y+，

92證明?當(dāng)OViV^0f-i<?,rv[—]+',

93.證明方程〉-3x-1=0在1與2之間至少有一個(gè)實(shí)根.

94.求函數(shù)、=16.一工,的單調(diào)區(qū)間和極值.

95.

求由曲線y=F與直線l._r=2及y=0圍成平面圖形的面積S以及該圖形繞

?r軸旋轉(zhuǎn)-周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

平面圖形由拋物線丁=2z.與該曲線在點(diǎn)處的法線所圍成.拭求，

(1)該平面圖形的面積,

96.(2)讀平面圖形繞上軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

97.

過曲線.VL產(chǎn)(工＞0)上一點(diǎn)1.1＞作切線/.平面圖形D由曲線_V=M.切線/及

J軸圍成.

求：3)平面圖形D的面積；

(2)平面圖形D燒1軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

98.

設(shè)函數(shù)/(j)在閉區(qū)間［0.1］上連續(xù).在開區(qū)間(0.1)內(nèi)可導(dǎo)且/(0)=/(I)=0.

/(9)=1,證明：存在SW(0,1)使/(f)=1.

證明：方程「T^-dt=白在(0.D內(nèi)恰有一實(shí)根.

991,1(

100.

過曲線￥=尸(工。0)上某點(diǎn)A作切線.若過點(diǎn)人作的切線,曲線yry及，軸圍成

的圖形面積為之,求該圖形繞」軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V.

五、解答題(10題)

四計(jì)算廣

102.

求極限lim嗎土紅2.

LOsinx

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

103.

計(jì)算J/dr.

104.工

(1兩由曲線.工=2與y=0所圉的平面圖形(如

圖所示)的面枳S;

(2)求(1)中的平面圖形繞,軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

匕，

105.

L(0?&)也

計(jì)算lim

(x-l>2?

106.

107.

設(shè)y是由方程sinGry)+4-=l所確定的函數(shù)，求yI

yhx-0

.1,.2

計(jì)算f(1+X2)2dx

108.°

109.

證明雙曲線y=L上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形的面積為定值.

X

x+1

設(shè)函數(shù)/(6求常數(shù)，使/(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù).

2x+a

110.

六、單選題(0題)

111.

設(shè)函數(shù)z=/(*+y)+/(x-y).其中/為可導(dǎo)函數(shù).則任一更登于(

d.t貓

A./"(x+y)+/*(?-X)B./'(x?v)-f(x

C.2/7x+y)D.2/'(x-y)

參考答案

l.C

2.A

設(shè)A=｛該建筑物使用壽命超過50年｝,B=｛該建筑物使用壽命超過60

年｝,由題意，P(A)=0.8,P(B)=0.6,所求概率為:

0.8.P(B)=0.6.所求概率為，P(萬IA)-1-P(BA)=_P(B)==[_且.

P(A>P(A)0.84

V-0.25.

3.A

4.A解析

因?yàn)?(T)(x)]〃=/(〃)(%)

所以/s-D(x)=2e2x+1,f(n)(x)=4e2x+1

貝lJ")(0)=4e

5.B

【集析】本電“的如設(shè)點(diǎn)是抽象型微瞅存在的收念及意義

6A注意綱?一有11?四““山"華立與.所以建A.

W.rk?)v\?一t?3，■I

7.C

因?yàn)镠m/(x)=lim(X2-3)=-2,

Ix7

所以/[Km/(x)]=/(-2)=(2x+l)J7.

8.D

因[7(j-)dj-=lnQ+/I4-J1)+C?所以/(x>?[ln(x+?/TT7r)+C],-

9.C

對(duì)于選項(xiàng)A；IcosjrcLr=lim|cos-rcLr=lim<sinA—sml)不存左，此枳分發(fā)敕：對(duì)于選項(xiàng)B：

JI14~JI

c'&r-lim《Jc)不存在?此套分發(fā)It；時(shí)于逸M3j!&=-=；,此枳分收斂;

「e'd，

對(duì)■于選項(xiàng)D：jbudr=limIInixLr=lim「Czinz)-1]=lim-6+】)不存在?此例分發(fā)化

JIILI1」

10.B

因?yàn)樯?/p>

所以

drLG)卜，田田=1

取x=&,有=-i.

⑴2i

ll.C

12.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分計(jì)算.

注意到被積函數(shù)是偶函數(shù)的特性，可知=2kd=2/J。=2(e-1)

所以選C.

13.B

因y=V-3,所以y'=行,于是曲線在點(diǎn)(1,一2)處的切紋的件事及=y=4,從而得切

X-1

線,方程:y+2=4(r-1)網(wǎng)4r—j—6=0,

14.C

答應(yīng)選C.

分析本18考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件的概念和加法公式.

事件4與8互斥是指48=0,因此P(A5)=0.

由于P(4+B)=P(4)+P(B)-P(AB).

即0.8=0.3+P(8).得P(8)=0.5.故選C.

15.A

16.A

答應(yīng)選A.

提示用變量代換u=x+y,?=zy求出/(u.v)的表達(dá)式,再寫出/(x.y)的表達(dá)式是常用的

方法,但計(jì)算量較大.更簡捷的方法是湊變量法?

因?yàn)锳w+y/y)=x2+y2=(*+y)?-2q，所以/(x,y)=,-2y,則有

=2x-2.故選A.

［解析］根據(jù)極值的充分條件：4-從。=-2,4=2>0.

17n所以/(I，1)為極小值，選B.

1/.I)

18.B

19.12

20.D

函數(shù)的定義域?yàn)?-叫+OO).

1_?

yf=--(.x-b)3.

2J

y*=-(.x-b,)3.

當(dāng)x=6時(shí)，y不存在.因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在x=b點(diǎn)處連續(xù)，且

當(dāng)x<b時(shí)，y”<0,曲線y為凸：當(dāng)x>b時(shí)，y”>0,曲線y為凹.

所以x=b是曲線y的拐點(diǎn)橫坐標(biāo)，y(b)=o.

故曲線的拐點(diǎn)為(b,a).

21.C

劄產(chǎn)叫心”.

22.A

23.D

J；ln(l+2r)df洛必達(dá)法則；dn(l+2x)等階代換「2x22

hm------：-----二hm-----：------lim-^=—

I。J?xT)3x2*->03x23

24.C解析：

由原函數(shù)的定義可得J/(x)dx=(x+1)sinx+C

貝ij-1)<^=￡/(.x-l)d(x-1)=xsin(x-1)|^=0

25.B

——b~~~bx~ab

因?yàn)镺=鏟+3+加(一與二母"：竺

xX

由于x=-l,x=2是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)。

l+b-ab=0

所以

4-2b-ab=0

解得a=2fb=1

26.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不定積分的概念和換元積分的方法.

對(duì)于不足積分的設(shè)分公式如[M*也=/X+C.考生應(yīng)儂更深一展次地丹!解為族結(jié)構(gòu)式是

卜(?口＜|口=而口”?.式中的方塊“口”既可以是變域工.也可以是工的曲數(shù)式.例如

Mn回+CjrmInhT?=.in只要符合上述結(jié)構(gòu)式的誦畋或變腦，均有上面的枳分

公式或”.K他的粗分公式也右完仝類熱的結(jié)構(gòu)式.如果將上述式f口內(nèi)的函數(shù)的總分寫出來，

則有:|co?(xJ)d(x')M2卜co?(X2)dxAIco?(In?)d(Inx)?[--co?(Inx)dx.如果在MfB中將

等式右邊部分拿出來，這就需要用湊微分法(或換元積分法)將被積表達(dá)

式寫成能利用公式的不定積分的結(jié)構(gòu)式，從而得到所需的結(jié)果或答

案.考生如能這樣深層次理解基本積分公式，則無論是解題能力還是計(jì)

算能力與水平都會(huì)有一個(gè)較大層次的提高.

基于上面對(duì)積分結(jié)構(gòu)式的理解，本題亦為：

j--/(ini)di=l??,ew'*Cs

(■■,*彈建41C無■.

27.A

28.B

29.D

本題的解法有兩種：

解法1：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式，再求導(dǎo)。

設(shè)sinx=u,則f(x)=U2,所以f'(u)=2u,即f'(x)=2x,選Do

解法2：將f(sinx)作為f(x),u=sinx的復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo)，再用換元法

寫成f'(x)的形式。

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

f’(sinx)-cosx=2sinxcosx,f'(sinx)=2sinxo

用x換sinx,得f'(x)=2x,所以選D。

30.A

lim/(x)+limf(x)=lim(2x+3)+limxJ=1+8=9

I-?2

31.22

32.D

33.

。*3+。（。一1）犬-2

x.x1x…gdzxa(x)1x

-rSin-------J-COS-［解析］—=cos-?——=-cos—?

yyyydxydx^yjyy

d2zxd(\\1d(x)1xI.xd(xy

■~=cos——―cos-=-----ycos---------sin—-

dxoyydy\yjydy^y)yiyyy

?A^9?

=-fcos-+-Ysin—?

34.yyyy

X,X1XHzX3I1X

-rSin-------------yCOS—［解析］—=COS-?——=-COS-t

yyyya”》yy

d2zxdf11d(x］1x1.x3

dxdyydy\yjy)/yyyoy\y)

1XX.X

=------cos-+-ySin—?

yyyy

o4

-(i+x2r+c

8

［解析］卜?。1+』dx=；J%+公d(l+x))

3,-

=-(1+X2)3+C

35.8

36.2(，c+i,min，工+l+cos，工+1)+C

2(，工+i,sin，工+1+cos-/H+1)+C

37.(1,l)y,=3x2-6x+2,y'=6x-6,令y'=0,得x=l廁當(dāng):x>l時(shí)，y'>

0;當(dāng)x<l時(shí)，yYO.又因x=l時(shí)y=l,故點(diǎn)(1,1)是拐點(diǎn)(因y=x3-

3乂2+2*+1在(心,+8)上處處有二階導(dǎo)數(shù)，故沒有其他形式的拐點(diǎn)).

38.-2

利用重要極限n的結(jié)構(gòu)式：

lim(1+□)°=e或lim11+~］=e.

(□-?O、\□I

由已知limf1+2)"=e：可得2A=-4,所以k=-2.

?-?-IX/

39.

40.7T/4

41.

42.

ln(xJ+l)4-C

ln(x2+l)+C

43.

111

工+lny'z+lnyy

44.

Ur+8QX1X1/?！?、71

因m為Iz*=—arctan—=-(HrctHn-)=一

Ja4+x222a2228

a7t

arctan—=—

24

所以—=1,a=2

2

45.

46.

［解析］因?yàn)樵冢?1,1］上是偶俄數(shù),

所以J；Vl-x2dx=2J；Vf-x2dx=:

47.1

,一《上一2，〉'.生=2J-2，)?<2r+y)-2《*—2,)'2J-2y〉(2jtTy-a+Zy)

-2z+y>^ar-(石=不1(2，+y>

_2<J~-2AMh+3s

48.-2xysin(xy2)

49.2cosx-xsinxo

y,=sinx+xcosx,y"=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx

50.D

2.11+lnz)2.11+lnz)

51.

52.y+x-e=0

53.0.5

P(A+6)=P(4)+P(B)-P(AB)=P(A)+P[B)-P(A)P(B)

0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)

得P(5)=0.5

54.1

55.

【答案】應(yīng)填泉(lnx)T+C.

利用湊微分法積分.

J——-dx=|y/\nzd(Inx)=In*)T+C.

56.3/x/l-Fx6—2x，1+工‘3X2%/1+f2x，1+工，

57.

58.應(yīng)填ln|x+l|-ln|x+2|+C.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是有理分式的積分法.

簡單有理函數(shù)的積分，經(jīng)常將其寫成一個(gè)整式與一個(gè)分式之和，或?qū)?/p>

成兩個(gè)分式之和(如本題)，再進(jìn)行積分.

(----------1dw=?———5—)dx=InIx+1I-InIx+2I+C.

](*+l)(>+2)Jlx+I*+2/

59.y'=Iim(h-0)((x+h)3-

x3)/h=lim(h^0)(3x2h+3xh2+h3)/h=lim(h^0)(3x2+3xh+h2)=3x2；

y,=3x2

4xln2

—七，：…，，

lim/1+—\ef=limc""=c

\,

1bmJ'hm

令/=工,則原式=e"1=e-=cT.

61.x

■?tintJ?IM1■十)?

lim/1+—\er=limc'""!=O'°??

#一+”,1JT)z-***

1bm她!b"，hm立,1

令I(lǐng)=一，則原式==cT.

X

yi*e*-1-J匕土?-1―“

原式一hm原式lrim.

i*?-1].u'—1

一hm..,.=hm,..,

…e-1+?…e-1+xtf

e’1e，1

=lim―='=K?=lim—:、.二?‘

62.?xef2/1*>xe+2e2*

/)i(lnj?尸Ar-:2](liw)'d(v/T)

2^>/j(lnjr)x|—|--lnxdx

=\

■(Be—8jIn-rd(^x)

二1…嚴(yán)吠-￡卻

二18c-16e+16|

二18e—16

63.=?i(e-2).

「jz(lnj*)*<￡r.2J(lnj-),d(>/x)

2[G《ln?r)2J一|ln.rdx

8e—8，in.rd(\/x)

8e

8e—16e+16-/x|

8e—16

8(e-2).

用換元積分法.令/=tan,,則

61」件】,

-----------------L八dz=——5----------sec-/dr

1+彳?Jftan/?sec/

esc/?cot/d/

64.

用換元積分法.令”=tan,?則

]fl1

---------dj-=---Q----------sec2/d/

xl?，1+/2Jftan/?sec/

J*esc/?cotzd/

,+3>/2-2>/3

一esc/f=-g—?

p--|-y^（x）.Q=回工》一

由枳分與路徑無關(guān),得

aQ=aPt

dxdy'

即

(/(工)—工)丫=3力>(工)或y/(x)—3^(j)

得

-e-|*g*e2±r+C]

1p(x)

=b"[卜e-"dx+(7]

=c"[-g卜*"+。、]

-M[—^-(xeu—卜"dl>+Cj

=e"[T—+W)+q

H+T+Ce”.

由61）=1得.=一!-!+。八解得。=祟一,.故有

j3y

土一JL+"CJ"”

65.39T9

P=yy：9?<x）.Q=[a（]）一妾

由積分與路徑無關(guān)?得

aQ=3P

dxdy'

即

（，《工）—=3用（1）或，（外一3.（工）

得

dx+C

-uAr+C]

叫7""+C]

n

叫一豪工e-je-dx）4-C'

=e”[Y（i+*）+q

專T+W

由夕（1）=1得?11?一/+CeL解糊C=導(dǎo)尸.故有

1

/_1_L133（rt>

6*）3"_§+§c

--2-Atd/

°/nR?

x-sinj*x-sinr

JTlx*

lim也三三lim盧三紅1

…1-cow，，。1-CO5.F

，】+3]（1-cov），1+3*（1_COST）

JT2

，1+3工?y，1+31?y

2

66.+3]5/1+37

djv

打

=L-=3nf

djra(1—cost)1-cost

d7

cfy…co”?(1—cosz)—sWz1

dr2(1—cos/)2dx

di

=一四二1________1_____

(1—cos/)2a(1—cosr)

11_11z

,,，=1■■--Cf*----

67.a(1—cosr)4a2,

dv

=c-k一§皿=si"

業(yè)

a(1—cost)1-cosr,

d7

cP1y…co”?(1-cosr)一sir?11

ctr2(1—cost)2dx

di

=_沙二!_______1_____

(1-cos/)**a(1—cos/)

1111t

a(1-cosz)4a2'

68.

積分區(qū)域D如圖所示.

考察被積函數(shù)與積分區(qū)域D的圖形可以得知,本題可以任意

選定積分次序.

為了確定積分限,先求解方程組

y—X1,

y1=x.

解得兩組解,對(duì)應(yīng)者兩個(gè)交點(diǎn)分別是(0,0)，(1，D.

如果先對(duì).y積分,后對(duì)上積分.作平行于y軸的直線與區(qū)域D

相交，沿y輛的正方向看，入口曲線為y=?，出口曲線為y

=石,因而有/&而區(qū)域D中04才41,于是

1

原式=Jdxjt(JT+>)d>

。>+4工-1'一#)必=需

積分區(qū)域D如圖所示.

考察被積函數(shù)與積分區(qū)域D的圖形可以得知,本題可以任意

選定積分次序.

為了確定積分限,先求解方程組

y=X,?

=1，

解得兩組解,對(duì)應(yīng)者兩個(gè)交點(diǎn)分別是(0,0)JI，1).

如果先對(duì)y積分，后對(duì)上積分.作平行于y軸的直線與區(qū)域D

相交，沿y輛的正方向看，人口曲線為》=/.出口曲線為y

=石,因而有/&而區(qū)域D中0&了＜1.于是

原式=Jdj-J"(x1+y)dy

=k，+%匕公

,1...33

"一T)d.r=—,

69.

令e-，=si*則I=Tnsi*L-筮且當(dāng)工時(shí)"當(dāng)當(dāng)工=ln2

—ln(2—瓜、—

4

令—一"則”=一日川?必工一筮&,且當(dāng)工=°時(shí),"會(huì)當(dāng)”=皿2

-ln(2-衣)—空.

M

設(shè)u=COST，則du=-sin/Ar?當(dāng)工=0時(shí)〃=1■當(dāng)工=￡?時(shí),u=0

S

：?原式=-r?du=_y|(

70.

設(shè)u=cosu*?Wjdu=—Kin/ctr?當(dāng)工=0時(shí)口=li當(dāng)彳時(shí),“二。

:?原式=-J"4=-r2

4

71.畫出平面圖形如圖陰影所示

—&=（■?￥）IT

②設(shè)過點(diǎn)（%.%）的切線平行于y=4x,則），（％）=4%=4,所以x°=I,y*2,過此點(diǎn)的切線

方程為

-jcosydy-Jyco?ydy

—J>d(sin>)

sin>

sinl-sinl-cosy1—co?l.

72.

「要Ad,=J:要叱.

=[^5^(,一y”)dy

Joy

=Jcosydy-Jyco^ydy

sinyL_f.>d(sin>)

=l-cosl.

73.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則

所以

74.3(14-2x)3,

2

lim嗯土紂-lim

…，1一31—1,一。—2一?X(-3)

2~3x

*x吆尹

i-4—31a

如—3(1+2。3,

因?yàn)?limxsin-=0=/(0),

x-*0x-*0X

所以