第2章第06講 易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：實(shí)數(shù)(4類熱點(diǎn)易錯(cuò)題型講練)（解析版）

第2章第06講易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：實(shí)數(shù)(4類熱點(diǎn)易錯(cuò)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【易錯(cuò)一對(duì)無(wú)理數(shù)的概念理解不透徹或?qū)?shí)數(shù)的分類不清楚致錯(cuò)】 1【易錯(cuò)二易混淆a與的平方根】 3【易錯(cuò)三求二次根式有意義時(shí)未考慮清楚致錯(cuò)】 5【易錯(cuò)四忽略二次根式有意義的隱含條件或?qū)斫獠煌笍刂洛e(cuò)】 6【易錯(cuò)一對(duì)無(wú)理數(shù)的概念理解不透徹或?qū)?shí)數(shù)的分類不清楚致錯(cuò)】例題：（2023春·廣西梧州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)5）中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行判定即可．【詳解】解：在，，，，，3.14，，0.1515515551…（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)5）中，無(wú)理數(shù)有，，0.1515515551…（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)5）中，共3個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北廊坊·七年級(jí)校考期中）在、、、、、、、、、中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】先將能化簡(jiǎn)的數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，∴無(wú)理數(shù)有：，，，、，共5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，常見的無(wú)理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，含的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)．2．（2023春·河南信陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各數(shù)：，，，，，（每?jī)蓚€(gè)之間依次增加個(gè)），其中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)對(duì)每個(gè)數(shù)字逐一分析判斷即可．【詳解】解：，，，，，（每?jī)蓚€(gè)之間依次增加個(gè)），其中無(wú)理數(shù)有：，，（每?jī)蓚€(gè)之間依次增加個(gè)）共個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理數(shù)的定義，掌握實(shí)數(shù)的分類，無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·江西贛州·七年級(jí)?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)分別填入相應(yīng)的集合中．，，π，，，0，，．（1）有理數(shù)集合：{

}；（2）無(wú)理數(shù)集合：{

}；（3）正實(shí)數(shù)集合：{

}．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義即可得；（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義即可得；（3）根據(jù)正實(shí)數(shù)的定義即可得．【詳解】解：，，（1）有理數(shù)集合：（2）無(wú)理數(shù)集合：（3）正實(shí)數(shù)集合：故答案為：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、正實(shí)數(shù)的定義，掌握實(shí)數(shù)的概念與分類是解題關(guān)鍵．4．（2023春·云南昭通·七年級(jí)校聯(lián)考期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：．有理數(shù)集合：{

，…}；無(wú)理數(shù)集合：{

，…}；正實(shí)數(shù)集合：{

，…}；負(fù)實(shí)數(shù)集合：{

，…}．【答案】：；；；【分析】直接利用有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的定義得出答案．【詳解】有理數(shù)集合：；無(wú)理數(shù)集合：；正實(shí)數(shù)集合：；負(fù)實(shí)數(shù)集合：．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)二易混淆a與的平方根】例題：（2023春·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A，81的平方根為，，因此該選項(xiàng)正確；B，16的算術(shù)平方根為4，，因此該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，，因此該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，被開方數(shù)應(yīng)大于等于0，因此該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根，注意兩者的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中正確的是（）A．的算術(shù)平方根是 B．是的平方根C．的平方根是 D．的算術(shù)平方根是【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義分別分析得出答案．【詳解】A、，4的算術(shù)平方根是2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、12是144的平方根，故該選項(xiàng)正確．C、，5的平方根是，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、的算術(shù)平方根是，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2023春·遼寧鞍山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）的平方根是，的算術(shù)平方根是．【答案】【分析】根據(jù)平方根的定義以及算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，的平方根是，的算術(shù)平方根是故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．3．（2023春·四川瀘州·七年級(jí)瀘縣五中?？计谥校┑乃阈g(shù)平方根是；的平方根是．【答案】3【分析】先求出，再求9的算術(shù)平方根即可；求出，再求4的平方根即可．【詳解】解：，9的算術(shù)平方根為：，，4的平方根為：，故答案為：3，．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根，掌握算術(shù)平方根和平方根的求法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東惠州·七年級(jí)?？计谥校┑乃阈g(shù)平方根是；的算術(shù)平方根是．【答案】/3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根概念即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，的算術(shù)平方根是；，9的算術(shù)平方根是3，的算術(shù)平方根是3．答案：；3【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根概念的運(yùn)用．此類問(wèn)題要先計(jì)算再求算術(shù)平方根．【易錯(cuò)三求二次根式有意義時(shí)未考慮清楚致錯(cuò)】例題：（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，有意義的條件是，列出不等式求解即可．【詳解】∵函數(shù)有意義，∴且，解得且，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪有意義的條件，熟練掌握有意義的條件時(shí)解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，由題意得：，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）二次根式中字母的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知即可．【詳解】解：∵要使二次根式有意義，則∴，故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤舸鷶?shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件得到，解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得，即的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)四忽略二次根式有意義的隱含條件或?qū)斫獠煌笍刂洛e(cuò)】例題：化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得．【詳解】解：，，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（

）A． B． C．－ D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，，∴b<0，∴=－，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式有意義的條件及化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵．2．若成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置判斷出的正負(fù)，然后把原式利用二次根式及立方根性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后去括號(hào)合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】∵由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：∴∴原式．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及絕對(duì)值的概念及其各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．實(shí)數(shù)a，b表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，則將化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．4 B．2a C．2b D．【答案】A【解析】【分析】由在數(shù)軸上的位置可得：再根據(jù)化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，掌握“”是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．其中a是4的一個(gè)平方根，b是的立方根，c是的相反數(shù)．(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；(2)先化簡(jiǎn)，再求值：．【答案】(1)-2，-3，(2)，【解析】【分析】(1)根據(jù)平方根，立方根，相反數(shù)的意義，即可解答；(2)根據(jù)題意可得c>0，a-b>0，a-c<0，然后先化簡(jiǎn)各式，再進(jìn)行計(jì)算即可解答．(1)由題意得：，，，故答案是：-2，-3，；(2)由數(shù)軸可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，原式=．當(dāng)，時(shí)原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，立方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．(1)通過(guò)計(jì)算下列各式的值探究問(wèn)題：①＝；＝；＝；＝．探究：對(duì)于任意非負(fù)有理數(shù)a，＝．②＝；＝；＝；＝．探究：對(duì)于任意負(fù)有理數(shù)a，＝．綜上，對(duì)于任意有理數(shù)a，＝．(2)應(yīng)用(1)所得的結(jié)論解決問(wèn)題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：－－＋|a＋b|.【答案】（1）①4，16，0，；a；②3，5，1，2；-a；|a|；(2)－a－3b．【解析】【分析】（1）①②根據(jù)要求填空即可；（2）先根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置確定：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+