第2章第04講 二次根式（第1課時 定義與性質(zhì)）(8類熱點題型講練)（原卷版）

第2章第04講二次根式（第1課時定義與性質(zhì)）1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍；2.掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡；3.掌握二次根式的乘法（除法）法則，能利用其進(jìn)行計算，并能逆用法則進(jìn)行化簡.知識點01二次根式的相關(guān)概念1.二次根式的定義：我們把形如（）的式子叫做根式；叫做被開方數(shù)；叫做二次根號；根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于0，根式為零被開方數(shù)為0；如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點02二次根式的性質(zhì)二次根式的性質(zhì)：①，（雙重非負(fù)性）知識點03二次根式的乘除法二次根式的乘法法則及逆用：；二次根式的除法法則及逆用：；二次根式的乘法法則的推廣：，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進(jìn)行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).題型01二次根式有意義的條件【典例1】（2023春·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【變式1】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式2】（2023春·江蘇·八年級期末）使得有意義的x的取值范圍是．題型02求二次根式的值【典例1】（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┊?dāng)時，二次根式的值是．【變式1】（2023春·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值為．【變式2】（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值為．題型03求二次根式中的參數(shù)【典例1】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）是一個正整數(shù)，則的最小正整數(shù)是．【變式1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期中）若為整數(shù)，則x的最小正整數(shù)值為．【變式2】（2022秋·八年級單元測試）是整數(shù)，則正數(shù)的最小值是題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡【典例1】（2023春·新疆塔城·八年級校考期末）；．【變式1】（2023春·江蘇·八年級期末）計算：；．【變式2】（2023春·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）化簡：．題型05二次根式的乘法【典例1】（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是．【變式1】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是【變式2】（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考期中）計算．題型06二次根式的除法【典例1】（2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【變式1】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【變式2】（天津市河西區(qū)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計算的結(jié)果是．題型07二次根式的乘除混合運算【典例1】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【變式1】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）計算：．【變式2】（2023春·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）計算：【變式3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）計算：．題型08復(fù)合二次根式的化簡【典例1】（2022秋·八年級單元測試）觀察下面的運算，完成計算：

(1)(2)．【變式1】（2023春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的非負(fù)數(shù)都可以看成是一個數(shù)的平方，如，，下面我們觀察：；反之，∴．(1)直接寫出答案：=；=．(2)化簡：．(3)若，則a與的關(guān)系是什么？b與的關(guān)系又是什么？【變式2】（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．一、單選題1．（2023秋·山西呂梁·九年級?？计谀┯嬎愕慕Y(jié)果為（

）A．1 B． C． D．52．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀┤粲幸饬x，則可以?。?/p>

）A．0 B． C． D．3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值為（

）A．2 B． C． D．5．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知是正整數(shù)，則自然數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．6．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（

）

A． B． C． D．二、填空題7．（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）計算：（1）；（2）．8．（2022秋·八年級單元測試）計算：．9．（2023春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值是．10．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）對于，的取值范圍是．11．（2022秋·八年級單元測試）若是整數(shù)，則整數(shù)n的所有可能的值為．12．（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級統(tǒng)考期末）若x，y滿足條件：，化簡代數(shù)式．三、解答題13．（2023春·上?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）計算：14．（2023春·上海靜安·七年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海?5．（2022春·八年級課時練習(xí)）當(dāng)x分別取下列值時，求二次根式的值．(1)x＝0．(2)x＝2．(3)x＝﹣．16．（2022秋·八年級單元測試）計算：(1)；(2)．17．（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）（1）；（2）；（3）已知，求代數(shù)式的值．18．（2020秋·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）已知在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：．

19．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)