新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．（1）最小值為，最大值為；（2）.【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）首先求出函數(shù)的定義域，參變分離，即可得到恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解；【詳解】（1）當(dāng)時，，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，若恒成立，則，即恒成立，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，故的取值范圍為.2．（1）極大值，極小值；（2）.【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性求出即可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?令，解得或，當(dāng)，即或；當(dāng)，即，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.所以，時，有極大值，.當(dāng)時，有極小值.（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.又，，.所以時，，.因?yàn)閷θ我獾亩加谐闪?，所?3．(1)最小值(2)【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；（2）令，依題意只須在上恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)、的取值范圍，可得，即在上單調(diào)遞增，即可得到，即可求出參數(shù)的取值范圍；(1)解：由函數(shù)，得的定義域?yàn)?，?dāng)時，，，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，即．(2)解：令，因?yàn)閷τ谌我舛加?，只須在上恒成立，又由，因?yàn)?，所以，，即所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以當(dāng)時，對任意都有成立．4．（1）證明見解析；（2）4．【解析】【分析】（1）由題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即證；（2）由題知，即求.【詳解】（1）設(shè)，則，在區(qū)間上，，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，故時，，所以，所以在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方．（2）由，得，當(dāng)時，，所以，．存在，，使成立等價于，即，，故滿足條件的最大整數(shù)為4．5．（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對m討論，得到單調(diào)性；（2）當(dāng)時，先求出，由題意，原不等式等價于，，利用導(dǎo)數(shù)求出，進(jìn)而求出m的范圍.【詳解】（1），所以當(dāng)時，有恒成立，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，由解得：，在上單調(diào)遞增；由解得：，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，，根據(jù)題意，不等式等價于，，對于，，，所以在上單增，所以，則有，設(shè)，則，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，又，所以，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)恒（能）成立問題求參數(shù)的范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.6．（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用求出，代入導(dǎo)函數(shù)可得單調(diào)性和極值；（2）條件等價于對任意恒成立，設(shè)，可得在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】（1）由條件得，∵在點(diǎn)處的切線與垂直，∴此切線的斜率為0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得極小值．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2（2）條件等價于對任意恒成立，設(shè)．則在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，得恒成立，∴（對僅在時成立），故的取值范圍是7．（1）；（2）.【解析】（1）求得導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由在上的最小值為0，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值即可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，∴，，∴切線方程為，即（2）∵，∴原條件等價于：在上，恒成立.化為令，則令，則在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值為，∴8．(1)答案見解析；(2)【解析】【分析】（1）計(jì)算，分別討論、、、時，解不等式和可得單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間即可求解；（2）已知不等式可轉(zhuǎn)化為對恒成立，分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解.(1)由可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，由得，，，①若，即時，恒成立，故在上單調(diào)遞增；②若，即時，由可得：或；令可得：此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；③若，即時，由可得：或；由可得：此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由可得對恒成立，即對任意的恒成立，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，，故在上有唯一的實(shí)根，不妨設(shè)該實(shí)根為，故當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，故，又因?yàn)?，所以，，，所以，故的取值范圍為?．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，，且.由得，由此可得證.（2）當(dāng)時，求導(dǎo)函數(shù)得，由題意得時恒成立.再由函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式可得證.【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，，且..，，配方得，于是必有，得到.（2）當(dāng)時，，由題意恒成立，得到，于是在時恒成立.在上為增函數(shù)，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，.10．(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）對a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間；（2）記，則有對a進(jìn)行分類討論，求出a的取值范圍.(1)的定義域?yàn)?，?dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)設(shè)，則有當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以滿足題意；當(dāng)時，，且，使時，單調(diào)遞減，使得不合題意.的取值范圍為.11．（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分別討論和兩種情況的正負(fù)，即可求得的單調(diào)區(qū)間.（2）所求轉(zhuǎn)化為求在恒成立問題，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，并求得的最大值，可得關(guān)于m的不等式，即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時，令，解得；當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，綜上：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)樵诤愠闪?，所以在恒成立，設(shè)，則.設(shè)所以在單調(diào)遞增，又，因此存在唯一，使得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增因此，由得，則.所以，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時，，所以，解得所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求極（最）值的方法，并靈活應(yīng)用，在得到解析式，并且不能直接判斷其正負(fù)時，可令，再次求導(dǎo)，根據(jù)的單調(diào)性，求得的值域，進(jìn)而可得的正負(fù)，即可得的單調(diào)性，屬中檔題.12．(1)(2)1【解析】【分析】（1）首先將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，先證明恒成立，再分類討論的范圍即可得到答案.（2）首先求導(dǎo)得到，設(shè)，根據(jù)的正負(fù)性得到的單調(diào)性，再利用隱零點(diǎn)求解函數(shù)的最值即可.（1）因?yàn)闀r，恒成立，所以恒成立，即恒成立.首先證明恒成立，即證恒成立.設(shè)，，因?yàn)?，，為增函?shù)，，，為減函數(shù)，所以，即證：時，恒成立.當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，若不滿足，故舍去.綜上：.（2），設(shè)，，∴在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使得，且時，，即單調(diào)遞減，時，，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，設(shè)，，因?yàn)闀r，，為增函數(shù)，所以，則，∴．13．(1)答案見解析；(2)1.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再對分和兩種情況討論得解；（2）等價于1，令g（x）＝1，求出函數(shù)的最小值即得解.（1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．．當(dāng)a≤0時，≤0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．f（x）在（0，+∞）上沒有極值點(diǎn)．當(dāng)a＞0時，由＞0得x，所以，f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，即f（x）在x處有極小值．綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點(diǎn)．（2）解：∵函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，＝a﹣1＝0，則a＝1，從而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2，即1，令g（x）＝1，則，由≥0得x≥e2則g（x）在（0，e2）上遞減，在（e2，+∞）上遞增，，故實(shí)數(shù)b的最大值是1．14．(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得在上恒成立，令，再分、、三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.（1）解：由知定義域?yàn)?，且①時，在上，故在上單調(diào)遞增；②時，當(dāng)時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：由得，令①當(dāng)時，在，恒成立，所以不可能；②當(dāng)時在上單調(diào)遞減且，當(dāng)時，，故在上存在，使得時，，則在上單調(diào)遞增，所以與題不符.

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.綜上所述，15．（1）；（2），在單調(diào)遞減；，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，進(jìn)而得出切線方程；（2）分類討論，函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)研究討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)性；（3）解法1：等價轉(zhuǎn)化為.先將不等式左邊看成以a為自變量的函數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而得到.由（1）可知，當(dāng)時，，得，然后利用放縮證得；解法2：（3）不等式等價于.由（1）可知，當(dāng)時，，得，先利用，得到，從而為證原不等式，只需證構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1），則，于是點(diǎn)處切線方程為：，即.（2）若，則定義域，，在單調(diào)遞減.若，則定義域?yàn)椋?由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.解法1：（3）不等式等價于.設(shè)，.設(shè)，則，所以.而，所以，在單調(diào)遞減，所以.由（1）可知，當(dāng)時，，得.所以.因此當(dāng)時，.解法2：（3）不等式等價于.由（1）可知，當(dāng)時，，得，從而.設(shè)，在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，.所以.因此.所以當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】利用，進(jìn)行放縮是解決同時含有指數(shù)對數(shù)的不等式證明得常用方法，值得注意體會和掌握.16．（1）f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，分析的正負(fù)，進(jìn)而可得f（x）的單調(diào)性，即可得出答案．（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．（3）當(dāng)m＝2時，f（x）＝lnx+，分析f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）min，若f（x）＝k有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，則k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求導(dǎo)分析F（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再結(jié)合f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，即可得出答案．【詳解】解：（1），令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），h′（x）＝＝，在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）min＝h（2）＝＝，所以1﹣lnm＞，所以0＜m＜，所以m的取值范圍是（0，）．（3）當(dāng)m＝2時，f（x）＝lnx+，由（1）可知f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，若f（x）＝k有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，則k＞1﹣ln2，所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，得lnx1+＝lnx2+，所以lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，＝，因?yàn)閤＞，所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在（，+∞）單調(diào)遞減，所以F（x）＜F（）＝所以f（x1）＜f（1﹣x2），因?yàn)?＜x1＜＜x2，所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，所以0＜1﹣x2＜，因?yàn)閒（x）在（0，）上單調(diào)遞減，所以x1＞1﹣x2，所以x1+x2＞1，得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.對于若，，使成立，轉(zhuǎn)化為是關(guān)鍵；2.對于雙變量問題，我們要想辦法找到兩變量之間的關(guān)系，進(jìn)而利用關(guān)系消元，達(dá)到轉(zhuǎn)化為單變量問題；3.對于不等式的證明，可構(gòu)造函數(shù)，利用用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值來研究證明.17．（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時，恒成立．只需證當(dāng)時，恒成立．當(dāng)時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時，恒成立，記，，①.當(dāng)即時，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，不合題意；②.若即時，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時，成立；③當(dāng)即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！18．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求得，設(shè)，求得，進(jìn)而得到的符號，即可求解；（2）由，得到恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，轉(zhuǎn)化為恒成立，集合，即可求解.(1)解：當(dāng)時，的定義域?yàn)?，可得，設(shè)，可得，故在上單調(diào)遞增，所以，由，解得；由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)解：若要使得，只需恒成立，設(shè)，可得，由，可得；由，可得，所以在為單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于是需要恒成立，即恒成立，由（1）可得：當(dāng)時，，從而，即，用替換上式中的，可得，結(jié)合時，，所以恒成立，要使得恒成立，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（1）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過研究導(dǎo)函數(shù)和的正負(fù)情況判斷和的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，即證結(jié)論；（2）先代入化簡為時，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過兩次求導(dǎo)判斷其導(dǎo)函數(shù)的的單調(diào)性，再對a進(jìn)行分類討論，結(jié)合（1）中結(jié)論判斷能否成立，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）（ⅰ）證明：由可知．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，又，故；（ⅱ）證明：由可知，．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，又，故．（2）當(dāng)時，恒成立，而，故不等式等價于當(dāng)時，恒成立．設(shè)函數(shù)．則，設(shè)，則．當(dāng)時，，，，結(jié)合（1）（?。﹩柦Y(jié)論知，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時，，，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，又，故，滿足題意；若，因?yàn)?，，結(jié)合（1）（ⅱ）問結(jié)論可知，，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故存在，使得，當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，又，即當(dāng)時，，不符題意．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問中證明不等式的關(guān)鍵在于利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究最值，第二問的解題關(guān)鍵在于分類討論后巧妙利用（1）中結(jié)論進(jìn)行判斷，突破難點(diǎn).20．（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分類討論得函數(shù)最值即可求解；（2）由題意得，，等價證明，令，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明即可【詳解】（1）令，當(dāng)恒成立，在R上單調(diào)遞增，，當(dāng)不合題意，故舍去當(dāng)則，故當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)；單調(diào)遞增，故令，故在遞增，在遞減，故即即，故即故a的取值集合為（2）方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1，x2不妨令x1<x2,,若證<ln2a.即證令，即證，令因?yàn)椋剩蕟握{(diào)遞增，得證【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用，，等價證明，構(gòu)造函數(shù)證明21．（1）

（2）證明見解析

（3）存在

【解析】【分析】（1）求出函數(shù)得到函數(shù)大單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極大值.（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可證明.(3)與的圖象在處有公共點(diǎn),設(shè)函數(shù)與存在“分界線”,由令，由求出參數(shù)的值，再證明成立即可.【詳解】（1），則由，可得，，可得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，有極大值（2）由（1）可知，為的最大值，即所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）令，則，取，則，即則，，由上面不等式相加得即即（3）設(shè)，則當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以即與的圖象在處有公共點(diǎn)設(shè)函數(shù)與存在“分界線”令由，即在上恒成立，即在上恒成立，成立，而，所以，則再證明，即恒成立.設(shè)，則當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，有最大值，即所以恒成立.綜上所述，可得且故函數(shù)與存在“分界線”，此時【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查恒成立求參數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.22．(1)(2)【解析】【分析】（1）求，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處切線方程，由在軸上的截距為列方程即可得的值；（2）由所給的不等式分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最小值，由即可求解.(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則在點(diǎn)處切線的斜率為，又，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即，所以，因?yàn)槠湓谳S上的截距為，所以，解得．(2)即，又，所以，可得對于恒成立，當(dāng)時，令，則．再令，則，所以在上單調(diào)遞增；又，，所以使，即，使，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的最大整數(shù)值是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.23．（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時的取值范圍.【詳解】（1）令，則當(dāng)時，令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當(dāng)時，，此時無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)

，使得又在上單調(diào)遞減

為，即在上的唯一零點(diǎn)綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當(dāng)時，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時恒成立②當(dāng)時，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當(dāng)時，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時，，可知不恒成立④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減

可知不恒成立綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.24．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可知等價于，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可證；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可求函數(shù)的極值，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證.【詳解】（1）當(dāng)時，等價于.設(shè)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，，即.于是當(dāng)時，.（2）定義域?yàn)椋?若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)；因?yàn)椋?，所以，∴，?dāng)滿足且時，由（1）可知，∴函數(shù)在上有一個零點(diǎn)；綜上所述，有且僅有一個零點(diǎn).25．(1)；(2).【解析】【分析】(1)對f(x)求導(dǎo)，再求出導(dǎo)函數(shù)在0處的導(dǎo)數(shù)值，利用點(diǎn)斜式寫出方程而得；(2)不等式恒成立，等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)建新函數(shù)，分類討論求其最小值不小于0而得解.【詳解】(1)，∴，又∵，∴函數(shù)在處的切線方程為.(2)令，，∵()，∴在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即.②當(dāng)時，∵在上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得.則當(dāng)時，，為減函數(shù)，，此時與恒成立矛盾.綜上所述，.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，求導(dǎo)后不能準(zhǔn)確判斷導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，還需二次求導(dǎo)判斷一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再分類討論解決.26．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證得：當(dāng)時，，問題得證．（Ⅱ）求得：，對的范