河北省保定市部分高中2023-2024學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

高三年級12月聯(lián)考數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（除計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布外）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．23．已知單位向量滿足，則（）A．1 B． C． D．4．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到與的線性回歸方程為，則表中的值為2345620406070A． B．20 C． D．255．已知，則（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為，是上一點，且到的距離與到的對稱軸的距離之差為2，則（）A． B．1 C．2或4 D．4或367．已知數(shù)列的前項和為，且，若恒成立，則的最小值是（）A． B．4 C． D．58．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點定理的基石．布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個實數(shù)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，為函數(shù)的不動點．設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上存在不動點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速如圖所示，則（）A．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為B．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為C．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的分位數(shù)為D．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為10．已知圓，圓，則（）A．直線與直線垂直B．與沒有公共點C．與的位置關(guān)系為外離D．若，分別為圓與圓上的動點，則的最大值為11．已知函數(shù)的定義域為，，則A． B． C．為奇函數(shù) D．沒有極值點12．如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（）A．這兩個球體的半徑之和的最大值為B．這兩個球體的半徑之和的最大值為C．這兩個球體的表面積之和的最大值為D．這兩個球體的表面積之和的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若雙曲線的一條漸近線的斜率大于1，則的取值范圍為______．14．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______．15．已知函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)，則的最大值為______．16．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，且其4個零點成等差數(shù)列，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字證明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知，，．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．19．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在上的最值．20．（12分）如圖，在五面體中，四邊形為矩形，平面，且，正三角形的邊長為2．（1）證明：．（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．21．（12分）圓稱為橢圓的蒙日圓．已知橢圓的離心率為，的蒙日圓方程為．（1）求的方程；（2）若為的左焦點，過上的一點作的切線，與的蒙日圓交于，兩點，過作直線與交于，兩點，且，證明：是定值．22．（12分）（1）證明：當時，．（2）已知函數(shù)，試討論的零點個數(shù)．高三年級12月聯(lián)考數(shù)學參考答案1．D，，．2．B．3．C，．4．B由表中數(shù)據(jù)，計算可得，，因為回歸直線過樣本中心點，所以有，解得．5．D因為，所以，可得，所以．6．D有題可知，解得或．7．B，，兩式相減可得，所以．因為，所以，即．故．8．A由題意可得，在上有解，即有解．令，，則．令函數(shù)，．當時，，所以在上單調(diào)遞增．為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．，．故，．9．ABD我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速從小到大依次為，，，，，，，．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為，A正確．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確．，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的分位數(shù)為，C錯誤．我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為，D正確．10．BD由題意可知圓，圓，則，，則．A不正確．因為，所以與的位置關(guān)系為內(nèi)含．B正確，C不正確．由題易知的最大值為．D正確．11．AC令，得，A正確．令，得，令，得，則為奇函數(shù)，C正確．由，可得，當時，可設(shè)，則當時，，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有極值點，D錯誤．的值不確定，B錯誤．12．BC當這兩個球體的表面積之和取最大值時，有一個球體和圓錐的底面相切，過底面圓的直徑作截面，如圖所示．過點作，垂足為，過點作垂足為，過點作，垂足為．設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，的最大值為，且取最大值時，，所以，．，，．因為，所以①，整理得，解得．令函數(shù)，，．令函數(shù)，，所以是增函數(shù)．又因為，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，所以，即這另個球體的半徑之和的最大值為．由①可得，這兩個球體的表面積之和為．令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即這兩個球體的表面積之和的最大值為．13．的漸近線方程為，則，解得．14．取的中點，連接．因為是的中點，所以．又，，三棱柱為直三棱柱，所以，，，，故異面直線與所成角的余弦值為．15．因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得．因為在上單調(diào)，所以，即，解得．當時，．當時，，所以當時，單調(diào)遞減，故的最大值為．16．因為是偶函數(shù)，所以，．因為成等差數(shù)列，所以，則．因為，所以，解得，．17．解：（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）由（1）可得．因為，所以，解得．18．解：（1）因為，所以，，…，，累加得，所以．（2）．．注：答案寫成不扣分．19．解：（1）因為，所以，則，，故曲線在點處的切線方程為．（2）因為，所以當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，，所以在上的最大值為，最小值為．20．（1）證明：因為四邊形為矩形，所以．又，，所以．因為平面，，所以．又，，所以．（2）解：分別取的中點，連接，因為平面，為正三角形，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，則由得令，得．因為直線AE與平面BCF所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去），故．21．（1）解：由題意得得所以C的方程為．（2）證明：當?shù)男甭实扔?時，，，所以．當?shù)男甭什坏扔?時，設(shè)，則．由得，令，得．設(shè)O到的距離為d，則，得．設(shè)，，由得，則則．故．綜上，是定值．22．（1）證明：令函數(shù)．當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以，即．令函數(shù)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即．綜上，當時，．（2）解：的定義域為，且．．令函數(shù)，解得，．所以，即