大學(xué)物理熱學(xué)部分部分習(xí)題課件

大學(xué)物理習(xí)題課——熱學(xué)部分12010.11.29^2統(tǒng)計(jì)物理學(xué)^理想氣體狀態(tài)方程理想氣體壓強(qiáng)公式理想氣體內(nèi)能麥克斯韋速率分布分子碰撞統(tǒng)計(jì)規(guī)律（平均自由程和碰撞頻率）^基本規(guī)律1.理想氣體狀態(tài)方程2.理想氣體壓強(qiáng)公式^43.溫度與分子平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系5.理想氣體內(nèi)能公式4.能量按自由度均分定理平衡態(tài)下，氣體分子的每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能都等于。若氣體分子具有i個(gè)自由度，則分子的能量為^56.麥克斯韋速率分布律數(shù)學(xué)表達(dá)式物理意義：速率在區(qū)間氣體分子數(shù) 占總分子數(shù) 的百分比，或者說(shuō)一個(gè)分子的速率處于區(qū)間的概率。速率分布函數(shù)物理意義：處在速率 附近單位速率區(qū)間內(nèi)氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。概率密度6^三種特征速率最概然速率：平均速率：方均根速率：^77.玻爾茲曼能量分布律表示氣體處于平衡態(tài)時(shí)，在一定溫度下，在速度分布區(qū)間

、

、 和坐標(biāo)區(qū)間

、

、 內(nèi)的分子數(shù)；是分子的平動(dòng)動(dòng)能； 是分子在力場(chǎng)中的勢(shì)能體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù)

n為空間粒子數(shù)密度n0為Ep

=08處的粒子數(shù)密度^重力場(chǎng)中粒子按高度的分布--

恒溫氣壓公式8.

平均碰撞頻率平均自由程^910五種類型問(wèn)題利用理想氣體方程、壓強(qiáng)公式、內(nèi)能公式，計(jì)算相關(guān)物理量麥克斯韋速率分布率相關(guān)問(wèn)題利用三種特征速率公式的一些計(jì)算平均自由程相關(guān)問(wèn)題玻爾茲曼能量分布律的應(yīng)用^例1.體積和壓強(qiáng)都相同的氦氣和氫氣（均視為剛性分子理想氣體），在某一溫度T下混合，所有氫氣分子所具有的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能在系統(tǒng)總熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能中所占的百分比是多少？^氫氣為雙原子分子，自由度為5，一個(gè)分子平均動(dòng)能：所有氫氣分子總動(dòng)能為氦氣為單原子分子，自由度為3，一個(gè)分子平均動(dòng)能：所有氦氣分子總動(dòng)能為：^氫氣分子動(dòng)能的百分比為知道氫氣和氦氣分子的摩爾比就可確定氫氣分子動(dòng)能百分比。根據(jù)條件，兩種氣體P和V都相同，在同一溫度T下混合。理想氣體壓強(qiáng)公式：氫氣氦氣^T相同，P相同，因此n1=n2,即分子數(shù)密度相同。V也相同。摩爾量為:^例2.

容積為10L的盒子以速率V=200m/s勻速運(yùn)動(dòng)，容器中充有質(zhì)量為50g，溫度為18oC的氫氣，設(shè)盒子突然停止，氣體的全部定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，容器與外界沒有能量交換，則達(dá)到平衡后氫氣的溫度和

壓強(qiáng)增加多少？（氫氣分子視為剛性分子）^動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，內(nèi)能只與溫度有關(guān)，內(nèi)能增加即溫度增加，等體變化中，溫度增加引起壓強(qiáng)增加。定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能這些能量全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，氫氣分子內(nèi)能增加量為1mol氫氣分子內(nèi)能與溫度關(guān)系：50g氫氣總的內(nèi)能為^內(nèi)能增加量和溫度增加量之間存在關(guān)系理想氣體壓強(qiáng)方程P=nkT,氣體總量不變，容器體積不變，因此分子數(shù)密度n沒有變化，壓強(qiáng)增加量和溫度增加量存在關(guān)系^例3.

用絕熱材料制成的一個(gè)容器，體積為2V0，被絕熱板隔成

A、B兩部分，A內(nèi)儲(chǔ)存有1

mol單原子分子理想氣體，B沒儲(chǔ)存有2mol剛性雙原子分子理想氣體，A、B兩部分壓強(qiáng)相等，均為P0，兩部分體積均為V0，則兩種氣體各自的內(nèi)能分別為多少？抽取絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時(shí)的溫度為多少？^根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：（1）兩種氣體各自的內(nèi)能分別為多少？1mol理想氣體內(nèi)能為A中為單原子理想氣體，自由度為3，因此內(nèi)能為A中氣體的內(nèi)能為：^B中為雙原子剛性理想氣體，自由度為5，因此內(nèi)能為根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：帶入上式得出^（2）抽取絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時(shí)的溫度為多少？混合后兩種氣體溫度相同，溫度與內(nèi)能有關(guān)。因此應(yīng)從內(nèi)能入手。容器絕熱，外界沒有對(duì)氣體做功，也沒有熱傳遞。系統(tǒng)內(nèi)能量守恒。兩種氣體間存在能量轉(zhuǎn)移，但是總內(nèi)能不變。設(shè)混合后溫度為T，則混合后A氣體內(nèi)能B氣體內(nèi)能^混合前總內(nèi)能為：混合前后內(nèi)能相同：混合后總內(nèi)能為：^例4.

容器內(nèi)盛有密度為ρ的單原子理想氣體，其壓強(qiáng)為p，此氣體分子的方均根速率為多少？單位體積內(nèi)氣體的內(nèi)

能為多少？方均根速率肯定和內(nèi)能有關(guān)，理想氣體分子平均內(nèi)能（1）怎樣將密度ρ和壓強(qiáng)P聯(lián)系起來(lái)？理想氣體壓強(qiáng)公式P=nkT由上式可知^代入理想氣體壓強(qiáng)公式：n為分子數(shù)密度，即單位體積內(nèi)分子個(gè)數(shù)。m為一個(gè)分子質(zhì)量。nm即為單位體積內(nèi)氣體分子的質(zhì)量，也就是密度ρ。因此，方均根速率為^（2）單位體積內(nèi)氣體的內(nèi)能為多少？一個(gè)分子平均內(nèi)能為單位體積內(nèi)有n個(gè)分子，內(nèi)能為^例5

：已知某氣體在溫度T時(shí)的速率分布函數(shù)為，說(shuō)明下列各表達(dá)式的意義(1)表示某氣體分子的速率在間隔內(nèi)的間隔內(nèi)的分子數(shù)占總概率?；蛘哒f(shuō)，速率在分子數(shù)的百分比。(2)表示在 間隔的分子數(shù)(3)

表示某氣體分子的速率在間隔內(nèi)的概率?；蛘哒f(shuō)，速率在子數(shù)的百分比。間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分(4)

表示在間隔內(nèi)的分子數(shù)。^26例6

N個(gè)質(zhì)量m的同種氣體分子，其速率分布如圖所示。問(wèn)圖中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)及折線與橫坐標(biāo)所包圍的面積的含 義是什么？已知N、v

，求a求速率在v0/2

到3v0/2

之間的分子數(shù)

(4)求分子的平均速率和平均平動(dòng)動(dòng)能解:(1)橫坐標(biāo)表示氣體分子速率。縱坐標(biāo)表示在速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)；而Nf(v)dv

表示分布在速率v-v+dv區(qū)間的分子數(shù)，對(duì)應(yīng)于折線與橫坐標(biāo)所包圍的面積。27^(2)由圖可得分布函數(shù)為由歸一化條件，得所以28^(3)所以速率在的分子數(shù)為^29(5)求分子的平均速率和平均平動(dòng)動(dòng)能由于所以^30平均平動(dòng)動(dòng)能^例7.設(shè)有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為：（1）畫速率分布曲線；（2）由N和v0求常量a；（3）求粒子的最概然速率；（4）求N個(gè)粒子的平均速率；求速率介于區(qū)間（0~v0/2）的粒子數(shù)；求（v0/2~

v0）區(qū)間內(nèi)分子的平均速率。^例

8

一絕熱容器，體積為

2Vo，由絕熱板將其分隔成的兩部分A和B，如圖所示。設(shè)A內(nèi)貯有1mol的He分子的氣體，

B

內(nèi)貯有

2

mol

的H

2

分子的氣體，

A

、

B

兩部分強(qiáng)均為PO。如果把兩種氣體都看作理想氣體?，F(xiàn)在抽去

絕熱板，求兩種氣體混合后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的溫度和壓強(qiáng)解：混合前，兩種氣體的內(nèi)能為：因此兩種氣體的總內(nèi)能為：^33設(shè)混合氣體的溫度為T，其內(nèi)能為：因?yàn)榛旌锨昂髢?nèi)能不變，所以所以由理想氣體狀態(tài)方程可以得到壓強(qiáng)為：^34例9：由麥克斯韋速率分布律出發(fā)，求：平動(dòng)動(dòng)能 介于分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；平動(dòng)動(dòng)能的最概然值之間的解:(1)根據(jù)麥克斯韋速率分布律，速率介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為由于，，即^35將，代入(1)式，得平動(dòng)動(dòng)能介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率(2)由 式對(duì)求極值，可得平動(dòng)動(dòng)能的最概然值即36^熱力學(xué)^基本概念熱力學(xué)系統(tǒng)（開放、封閉、孤立系統(tǒng)）熱力學(xué)過(guò)程（準(zhǔn)靜態(tài)、非準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程）功對(duì)于平衡過(guò)程2)氣體膨脹時(shí)，，表示系統(tǒng)對(duì)外界作功，氣體壓縮時(shí)，，表示外界對(duì)系統(tǒng)作功，3)功的幾何意義：在 圖上，準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程由一條曲線表示，曲線下面的面積表示該過(guò)程中系統(tǒng)所作的功。38^摩爾熱容：1mol物質(zhì)溫度升高1k時(shí)所吸收的熱量。熱容是過(guò)程量，同一物質(zhì)不同過(guò)程中其熱容是不同的摩爾等體熱容對(duì)于理想氣體摩爾等壓熱容8.內(nèi)能：狀態(tài)量，只與溫度有關(guān)對(duì)于理想氣體邁耶公式4.熱量39^基本規(guī)律熱力學(xué)第零定律：如果兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)中的每一個(gè)都與第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡，則它們彼此處于熱平衡。熱力學(xué)第一定律：第一類永動(dòng)機(jī)不能實(shí)現(xiàn)熱力學(xué)第二定律：第二類永動(dòng)機(jī)不能實(shí)現(xiàn)開爾文表述：不可能從單一熱源吸取熱量使之完全變?yōu)橛杏霉Γ灰鹌渌魏巫兓藙谛匏贡硎觯簾崃坎荒茏詣?dòng)地從低溫物體傳向高溫物體40^熱一律的應(yīng)用，幾個(gè)重要的熱力學(xué)過(guò)程等體等壓等溫絕熱V=CP=CT=CQ=0過(guò)程特點(diǎn) 方程QW000^42三種類型問(wèn)題：(1)當(dāng)理想氣體狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，求解各有關(guān)的物理量有關(guān)循環(huán)過(guò)程和循環(huán)效率熵變計(jì)算功、熱量、內(nèi)能的計(jì)算^功、熱量、內(nèi)能 的計(jì)算（1）直接計(jì)算計(jì)算公式適用對(duì)象適用條件任何系統(tǒng)任何系統(tǒng)理想氣體準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程始末態(tài)為平衡態(tài)，Cm

=

const.始末態(tài)為平衡態(tài)，CV,m

=

const.^43（2）用熱力學(xué)第一定律計(jì)算Q

=

ΔE

+

W—適用于任何系統(tǒng)和任何過(guò)程過(guò)程等容等壓等溫絕熱44^（3）用p—V圖分析1）過(guò)程曲線與V軸所圍的面積=?W?2）理想氣體等溫線上Δ

E

=03）絕熱線上Q=0兩條重要的參考線pV0絕熱線等溫線45^熱機(jī)：卡諾定理：工作于相同的高溫?zé)嵩春拖嗤牡蜏責(zé)嵩粗g的一切可逆熱機(jī)，其效率都相同，與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)。工作于兩熱源間的一切不可逆熱機(jī)的效率都不可能大于可逆熱機(jī)的效率。46循環(huán)過(guò)程和循環(huán)效率^熵的計(jì)算只適用于可逆過(guò)程R對(duì)不可逆過(guò)程的熵變，可以在初末態(tài)之間設(shè)計(jì)一個(gè)可逆過(guò)程，利用熵為態(tài)函數(shù)，與過(guò)程無(wú)關(guān),通過(guò)計(jì)算可逆過(guò)程熵變得到不可逆過(guò)程熵變.熵增加原理：孤立系統(tǒng)中，所自發(fā)發(fā)生的一切過(guò)程，總是朝著熵增加或不變的方向進(jìn)行。47^例1.

已知一定量的理想氣體經(jīng)歷P-T圖上所示的循環(huán)過(guò)程，試分析圖中個(gè)過(guò)程的吸熱、放熱情況。P2T13^PT21312過(guò)程中，T增加，內(nèi)能增加，V增加，對(duì)外做功，A>0因此Q>0,吸熱。23為等溫過(guò)程，根據(jù)PV=vRT可知

P增加，V減小。熱一律13為等壓過(guò)程，根據(jù)PV=vRTT減小，V減小。T減小內(nèi)能減小，A<0Q<0,放熱。^例2.如圖曲線中，AB、CD兩條曲線代表兩個(gè)絕熱過(guò)程，

DEA是等溫過(guò)程，BEC是任意過(guò)程，它們組成一個(gè)循環(huán)。若圖中ECDE所包圍的面積為80J，EABE所包圍的面積為

40J，DEA過(guò)程中系統(tǒng)放熱120J；則整個(gè)過(guò)程對(duì)外做功多少？過(guò)程中系統(tǒng)吸收的熱量為多少？PABECDV^PV圖中，做功為曲線下的面積。熱循環(huán)中，所做凈功為曲線所包圍的面積。正循環(huán)做正功，逆循環(huán)做負(fù)功。此處曲線包圍了兩部分的面積，可以分為兩部分循環(huán)。這兩個(gè)循環(huán)做功分別為70J和-30J，總共為40J.根據(jù)熱一律，一個(gè)循環(huán)中內(nèi)能不變，A=40J，Q=40JDEA放熱120，而AB、CD為絕熱過(guò)程，吸熱為0因此BEC過(guò)程吸熱Q=QBEC+QDEA即40=QBEC-120QBEC=160JP

ABECDV^VP絕熱12Ι所以Q>0，是吸熱。試問(wèn)2ΙΙ

1過(guò)程是吸熱還是放熱？吸熱ΙΙ吸熱【答】仍用熱一律Q=△E-W外，與絕熱線2-1比較：內(nèi)能變化相同，比絕熱過(guò)程的功W外更少，

所以Q>0，也是吸熱。例3.

已知理想氣體經(jīng)歷如圖所示Ι,

ΙΙ

兩個(gè)過(guò)程，試問(wèn)1Ι

2過(guò)程是吸熱還是放熱？【答】

用熱一律

Q=△E+W，1Ι

2與絕熱線1-2比較，始末態(tài)相同，內(nèi)能變化相同，比絕熱過(guò)程的功W更多，52^b2---等容,2b段等容放熱VP絕熱12ΙΙΙ吸熱a吸熱53b即1Ι

2過(guò)程和2ΙΙ

1過(guò)程是否全部吸熱？【答】作輔助線

ab---絕熱,（或從循環(huán)a2ba看）即1

Ι

2

過(guò)程不是否全部吸熱。同理可證，2ΙΙ

1過(guò)程也不是全部吸熱。原因：上述1Ι

2過(guò)程“吸熱”是指凈結(jié)果。整個(gè)過(guò)程中有某段過(guò)程放熱。吸熱ba段絕熱Q=0∴a2段放熱^例4：一定量的理想氣體，經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)過(guò)程，其中

和已知 點(diǎn)溫度是等壓過(guò)程，

和 是絕熱過(guò)程。，C點(diǎn)溫度

。(1)求此熱機(jī)效率

(2)這個(gè)循環(huán)是卡諾循環(huán)么？^54解:

(1)設(shè)等壓膨脹過(guò)程吸熱 ，則等壓壓縮過(guò)程 放熱，則循環(huán)效率^55對(duì)于

， 等壓過(guò)程有對(duì)于

， 絕熱過(guò)程有由式(1)、(2)、(3)和(4)可得^(2)這個(gè)循環(huán)是卡諾循環(huán)么？56(2)這個(gè)循環(huán)不是卡諾循環(huán)。雖然循環(huán)效率的表達(dá)式與卡諾循環(huán)相似，但式中

、 的含義不同。這里只是溫度變化中兩特定點(diǎn)的溫度，不是卡諾循環(huán)中兩等溫?zé)嵩吹暮愣囟?。^57例5已知1摩爾理想氣體的定容熱容量為Cv,m，開始時(shí)溫度為T1、體積為V1，經(jīng)過(guò)下列三個(gè)可逆過(guò)程，先絕熱膨脹到體積為V2(V2=2V1),再等容升壓使溫度恢復(fù)到T1，最后等溫壓縮到原來(lái)體積。設(shè)比熱比γ是已知量。計(jì)算每一個(gè)過(guò)程的熵變是多少？求等容過(guò)程與外界環(huán)境的總熵變是多少？

(3)整個(gè)循環(huán)過(guò)程系統(tǒng)的熵變是多少？58^【解】

(1)ab

過(guò)程是可逆絕熱過(guò)程，根據(jù)熵增加原理，可逆絕熱過(guò)程熵不變，故bc過(guò)程是可逆等容升溫過(guò)程，其熵變因?yàn)門1>T2，等容升溫過(guò)程，氣體吸熱,熵增加。在絕熱線上^59代入上式有第三個(gè)過(guò)程ca

是等溫放熱過(guò)程，熵一定減少,第三過(guò)程熵變?yōu)閊60(2)求等容過(guò)程與外界環(huán)境的總熵變是多少？

(3)整個(gè)循環(huán)過(guò)程系統(tǒng)的熵變是多少？(2)等容過(guò)程系統(tǒng)從外界吸熱，外界向系統(tǒng)放熱，系統(tǒng)和外界構(gòu)成絕熱系統(tǒng)，因?yàn)榻?jīng)歷的過(guò)程是可逆的，所以大系統(tǒng)的熵不變，即(3)因?yàn)殪厥菭顟B(tài)函數(shù)，系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)過(guò)程回到原態(tài)，故61^例6.有1mol剛性多原子分子的理想氣體，原來(lái)的壓強(qiáng)為1.0

atm，溫度為27oC，若經(jīng)過(guò)一個(gè)絕熱過(guò)程，使其壓強(qiáng)增加到16atm，試求：氣體內(nèi)能的增量；在該過(guò)程中氣體所作的功；終態(tài)時(shí)氣體的分子數(shù)密度；^（1）氣體內(nèi)能的變化？?jī)?nèi)能只與溫度有關(guān)，考慮溫度變化。絕熱過(guò)程P和V關(guān)系多原子分子自由度為6^內(nèi)能變化絕熱過(guò)程溫度和體積關(guān)系（2）在該過(guò)程中氣體所作的功；絕熱過(guò)程Q=0^（3）終態(tài)時(shí)氣體的分子數(shù)密度；理想氣體壓強(qiáng)方程^例7.已知:一氣缸如圖,A,B內(nèi)各有1mol

理想氣體氮?dú)?

AB之間有一固定導(dǎo)熱板，且VA=VB

,TA=TB

.有

335J

的熱量緩慢地傳給氣缸,活塞上方的壓強(qiáng)始終是1atm(忽略導(dǎo)熱板的吸熱,活塞重量及摩擦)。求:(1)A,B兩部分溫度的絕熱導(dǎo)熱板66熱源1atm.A

QB

Q

B增量及凈吸的熱量.(2)若導(dǎo)熱隔板換成

可自由滑動(dòng)的絕熱隔板,再求第(1)問(wèn)的各量。^A

:等