高考數(shù)學B版真題及模擬：二項式定理

二項式定理高考理數(shù)

(北京市專用)A組

自主命題·北京卷題組1.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展開式中,x2的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案60解析

Tr+1=

·16-r·(-2x)r=(-2)r

·xr,令r=2,得T3=(-2)2

x2=60x2.故x2的系數(shù)為60.方法點撥求二項展開式中的特定項及特定項的系數(shù)問題,一般抓住通項,并進行整理,令字母

的指數(shù)符合要求,解出項數(shù),代回通項即可.2.(2015北京,9,5分,0.95)在(2+x)5的展開式中,x3的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案40解析(2+x)5的展開式的通項為Tr+1=

25-r·xr(r=0,1,…,5),則x3的系數(shù)為

×22=40.思路分析先寫出二項展開式的通項,令整理后的x的指數(shù)等于特定項中x的指數(shù),求出項數(shù),代

回通項即可.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標全國Ⅲ,5,5分)

的展開式中x4的系數(shù)為()A.10

B.20

C.40

D.80答案

C本題考查二項式定理.

的展開式的通項Tr+1=

(x2)5-r·(2x-1)r=2r

·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系數(shù)為22×

=40.故選C.2.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展開式中,含x3項的系數(shù)為()A.30

B.20

C.15

D.10答案

C在(1+x)6的展開式中,含x2的項為T3=

·x2=15x2,故在x(1+x)6的展開式中,含x3的項的系數(shù)為15.評析本題考查二項展開式中求指定項的系數(shù),屬容易題.但在(1+x)6前面乘x后,易誤求T4=

x3.3.(2015陜西,4,5分)二項式(x+1)n(n∈N+)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

C因為(x+1)n的展開式中x2的系數(shù)為

,所以

=15,即

=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).4.(2017課標全國Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為

()A.-80

B.-40

C.40

D.80答案

C本題考查二項式定理,求特定項的系數(shù).(2x-y)5的展開式的通項為Tr+1=

·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-r

·x5-ryr.其中x2y3項的系數(shù)為(-1)3·22·

=-40,x3y2項的系數(shù)為(-1)2·23·

=80.于是(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為-40+80=40.5.(2013課標全國Ⅱ,5,5分,0.736)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=

()A.-4

B.-3

C.-2

D.-1答案

D由二項式定理得(1+x)5的展開式的通項為Tr+1=

·xr,所以當r=2時,(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為

,當r=1時,x2的系數(shù)為

·a,所以

+

·a=5,a=-1,故選D.6.(2017課標全國Ⅰ,6,5分)

(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為

()A.15

B.20

C.30

D.35答案

C本題考查二項式定理中項的系數(shù)問題.對于

(1+x)6,若要得到x2項,可以在

中選取1,此時(1+x)6中要選取含x2的項,則系數(shù)為

;當在

中選取

時,(1+x)6中要選取含x4的項,即系數(shù)為

,所以,展開式中x2項的系數(shù)為

+

=30,故選C.7.(2015課標Ⅰ,10,5分,0.634)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10

B.20

C.30

D.60答案

C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展開式中只有

(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系數(shù)為

=30,故選C.8.(2018天津,10,5分)在

的展開式中,x2的系數(shù)為

.答案

解析本題主要考查二項展開式特定項的系數(shù).由題意得Tr+1=

x5-r

=

,令5-

=2,得r=2,所以

=

=

.故x2的系數(shù)為

.方法總結(jié)求二項展開式中的某一項的系數(shù)時,直接利用展開式的通項Tr+1=

an-rbr進行求解.9.(2018浙江,14,4分)二項式

的展開式的常數(shù)項是

.答案7解析本題考查二項式定理,二項展開式的通項和相關(guān)計算.

的展開式的通項Tk+1=

·

·x-k=

·

,要使Tk+1為常數(shù),則

=0,∴k=2,此時T3=

×

=7,故展開式的常數(shù)項為7.思路分析(1)求出二項展開式的通項.(2)令通項中x的指數(shù)為0,得k的值.(3)計算此時的Tk+1.10.(2016課標全國Ⅰ,14,5分)(2x+

)5的展開式中,x3的系數(shù)是

.(用數(shù)字填寫答案)答案10解析

Tr+1=

(2x)5-r·(

)r=25-r

·

,令5-

=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系數(shù)為10.11.(2014課標Ⅱ,13,5分,0.719)(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則a=

.(用數(shù)字填寫答

案)答案

解析

Tr+1=

x10-rar,令10-r=7,得r=3,∴

a3=15,即

a3=15,∴a3=

,∴a=

.12.(2014課標Ⅰ,13,5分,0.552)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為

.(用數(shù)字填寫答案)答案-20解析由二項展開式公式可知,含x2y7的項可表示為x·

xy7-y·

x2y6,故(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為

-

=

-

=8-28=-20.13.(2017浙江,13,5分)已知多項式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=

,a5=

.答案16;4解析本題考查二項式定理,求指定項系數(shù),組合數(shù)計算,考查運算求解能力.設(shè)(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,則a4=b2c2+b3c1=

×12×22+13×

×2=16,a5=b3c2=13×22=4.C組

教師專用題組1.(2016四川,2,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為

()A.-15x4

B.15x4C.-20ix4

D.20ix4

答案

A

T3=

x4i2=-15x4,故選A.易錯警示易誤認為i2=1而致錯.評析正確應用二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵.2.(2015湖南,6,5分)已知

的展開式中含

的項的系數(shù)為30,則a=

()A.

B.-

C.6

D.-6答案

D

的展開式的通項為Tr+1=

(

)5-r·

=(-a)r

·

.依題意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·

=30,a=-6,故選D.3.(2014湖北,2,5分)若二項式

的展開式中

的系數(shù)是84,則實數(shù)a=

()A.2

B.

C.1

D.

答案

C

Tr+1=

·(2x)7-r·

=27-r

ar·

.令2r-7=3,則r=5.由22·

a5=84得a=1,故選C.4.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45

B.60C.120

D.210答案

C在(1+x)6的展開式中,xm的系數(shù)為

,在(1+y)4的展開式中,yn的系數(shù)為

,故f(m,n)=

·

.從而f(3,0)=

=20,f(2,1)=

·

=60,f(1,2)=

·

=36,f(0,3)=

=4,故選C.5.(2013江西,5,5分)

展開式中的常數(shù)項為

()A.80

B.-80C.40

D.-40答案

C二項展開式的通項為Tr+1=

(x2)5-r·(-1)r2rx-3r=

·(-1)r·2r·x10-5r.令10-5r=0,解得r=2,所以常數(shù)項為T3=

·22=40,選C.6.(2016天津,10,5分)

的展開式中x7的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案-56解析

Tr+1=

x16-2r(-x)-r=(-1)-r

x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系數(shù)為(-1)-3

=-56.易錯警示本題中,展開式的通項易寫錯,尤其是符號,正負易混,需引起注意.評析本題主要考查二項式定理,對運算求解能力要求較高.屬中檔題.7.(2015天津,12,5分)在

的展開式中,x2的系數(shù)為

.答案

解析

的展開式的通項為Tr+1=

x6-r

=

x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系數(shù)為

×

=

.8.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展開式中,x2的系數(shù)等于

.(用數(shù)字作答)答案80解析

Tr+1=

x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系數(shù)為

×23=80.9.(2015重慶,12,5分)

的展開式中x8的系數(shù)是

(用數(shù)字作答).答案

解析二項展開式的通項為Tr+1=

(x3)5-r·

=

·

,令15-3r-

=8,得r=2,于是展開式中x8的系數(shù)為

×

=

×10=

.10.(2015廣東,9,5分)在(

-1)4的展開式中,x的系數(shù)為

.答案6解析

(

-1)4的展開式的通項為Tr+1=

(

)4-r(-1)r=(-1)r·

·

,令

=1,得r=2,從而x的系數(shù)為

(-1)2=6.11.(2015安徽,11,5分)

的展開式中x5的系數(shù)是

.(用數(shù)字填寫答案)答案35解析展開式的通項為Tk+1=

(x3)7-k·x-k=

x21-4k,令21-4k=5,得k=4,則展開式中x5的系數(shù)為

=35.12.(2014大綱全國,13,5分)

的展開式中x2y2的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案70解析

Tr+1=

·

·

=(-1)r·

·

·

,令

得r=4.所以展開式中x2y2的系數(shù)為(-1)4·

=70.13.(2014山東,14,5分)若

的展開式中x3項的系數(shù)為20,則a2+b2的最小值為

.答案2解析

Tr+1=

(ax2)6-r

=

a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,則r=3.∴

a3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值為2.評析本題考查二項式定理及基本不等式的綜合應用.考查學生推理論證及運算求解能力.14.(2014安徽,13,5分)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),

的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=

.

答案3解析根據(jù)題意知a0=1,a1=3,a2=4,結(jié)合二項式定理得

即

解得a=3.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間:25分鐘分值:55分)一、選擇題(共5分)1.(2017北京海淀二模,2)二項式

的展開式的第二項是

()A.6x4

B.-6x4

C.12x4

D.-12x4

答案

D展開式的第二項為T2=

x5

=-12x4,故選D.2.(2018北京海淀二模,10)在

的展開式中,x3的系數(shù)為

.二、填空題(每題5分,共50分)答案10解析

的展開式的通項公式為Tr+1=

x5-r(2·x-1)r=

2rx5-2r,當5-2r=3,即r=1時,

·2r=5×2=10.故x3的系數(shù)為10.3.(2018北京一六一中學期中,10)在(2x-

)5的展開式中,

的系數(shù)是

.(用數(shù)字作答)答案-40解析展開式的通項公式為Tr+1=

(2x)5-r

=25-r

(-1)r·

,令5-

=

,得r=3,∴

的系數(shù)為4

(-1)3=-40.思路分析利用二項展開式的通項公式表示第r+1項,令x的指數(shù)等于

,求出r,即可求出

的系數(shù).4.(2018北京十四中期中,9)在(2+x)5的展開式中,x3的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案40解析二項展開式中含x3的項為

22x3=40x3,∴x3的系數(shù)為40.5.(2018北京東城期末,10)(1+2x)5的展開式中,x2的系數(shù)等于

.答案40解析(1+2x)5的展開式的通項公式為Tr+1=

15-r(2x)r,當r=2時,x2的系數(shù)為

×22=40.6.(2018北京西城二模,10)在

的展開式中,x2的系數(shù)是

.答案6解析∵Tr+1=

(x2)4-r

=

x8-3r,∴當8-3r=2時,r=2,∴x2的系數(shù)為

=6.7.(2018北京一七一中學期中,9)在(1-x)5-(1-x)6的展開式中,含x3的項的系數(shù)是

.答案10解析在(1-x)5,-(1-x)6的展開式中,含x3的項的系數(shù)分別為

(-1)3,-

(-1)3,故系數(shù)的和為

(-1)3-

(-1)3=-10-(-20)=10,故填10.解后反思關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個方面命題:(1)考查二項展開

式的通項公式Tr+1=

an-rbr(可以考查某一項,也可考查某一項的系數(shù));(2)考查各項系數(shù)和與各項的二項式系數(shù)和;(3)二項展開式定理的應用.8.(2017北京西城一模,9)在(1+2x)5的展開式中,含x2項的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案40解析在(1+2x)5的展開式中,含x2的項為T3=

·13·(2x)2=40x2,∴含x2項的系數(shù)為40.9.(2016北京朝陽一模,9)在二項式

的展開式中,含x4的項的系數(shù)是

(用數(shù)字作答).答案10解析

的展開式的通項為Tr+1=

(x2)5-r

=

x10-2r·x-r=

x10-3r,令10-3r=4,得r=2,∴含x4的項的系數(shù)為

=10.10.(2016北京東城一模,9)在

的展開式中,含x3的項的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)答案20解析

Tr+1=

(2x)5-r

=

25-3rx5-2r,令5-2r=3,得r=1,所以含x3的項的系數(shù)為

22=20.11.(2016北京西城二模,9)在

的展開式中,常數(shù)項為

.答案160解析

Tr+1=

x6-r·

=

2rx6-2r,當6-2r=0,即r=3時,T4=23

=160,即常數(shù)項為160.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:20分鐘分值:50分)一、選擇題(每題5分,共10分)1.(2018北京東城二模,3)在

的展開式中,x3的系數(shù)為10,則實數(shù)a等于

()A.-1

B.

C.1

D.2答案

D∵Tr+1=

x5-r

=

arx5-2r,∴當5-2r=3時,r=1,∴a

=10,所以a=2.故選D.思路分析準確地掌握二項式定理的內(nèi)容及有關(guān)概念,正確運用二項式定理中的通項公式是

解題的關(guān)鍵.2.(2016北京海淀二模,5)在(x+a)5(其中a≠0)的展開式中,x2的系數(shù)與x3的系數(shù)相同,則a的值為

()A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

C(x+a)5的展開式的通項為Tr+1=

x5-rar=

arx5-r,∵x2的系數(shù)與x3的系數(shù)相同,∴

a3=

a2,解得a=1或a=0(舍去),故選C.3.(2018北京通州摸底,10)二項式

的展開式中的常數(shù)項是

.二、填空題(每題5分,共40分)答案-160解析

的展開式中的常數(shù)項為

(2x)3

=-160.4.(2018北京門頭溝一模,9)在

的展開式中,x6的系數(shù)是

.答案15解析根據(jù)通項公式Tr+1=

(-1)rx12-3r,令12-3r=6,得r=2,所以x6的系數(shù)為

(-1)2=15.5.(2018北京海淀期末,12)已知(5x-1)n的展開式中,各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為

64∶1,則n=

.答案6解析當x=1時,各項系數(shù)的和為(5×1-1)n=4n,二項式系數(shù)的和為2n,易得

=64,所以n=6.