x09-2級(jí)數(shù)斂散性的判別法

§9-2級(jí)數(shù)斂散性的判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì):部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理9-1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有上界.若收斂,∴部分和數(shù)列有上界,故從而又已知故有界.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”解重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).

幾何級(jí)數(shù)（等比級(jí)數(shù)）證明：應(yīng)用（P375）5.（3）證明Sn≤Cσn≤CM,即部分和數(shù)列有上界定理9-2比較審斂法因增減有限項(xiàng)不改變斂散性，所以不妨設(shè)N=1證明證明例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性。證明:(推論2）比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;

(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;

(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.例由比較審斂法知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.證明收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).當(dāng)一般項(xiàng)含n!,nn,an,

因子時(shí)用此法。

兩點(diǎn)注意:解比值審斂法失效,改用比較審斂法級(jí)數(shù)收斂.例.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;矛盾故級(jí)數(shù)收斂二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).證明滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂解原級(jí)數(shù)收斂.解原級(jí)數(shù)收斂.三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).證明注1注2注3定理：若∣un∣用比值法判定發(fā)散，則：un一定發(fā)散。證明：因ρ>1,ヨε0，ρ-ε0>1對(duì)ε0，ヨN當(dāng)n>N

恒有∣un+1∣/∣un∣>ρ-ε0>1∣un+1∣>∣un∣un單調(diào)增加故∣un∣≠0=>un≠0級(jí)數(shù)發(fā)散上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)（-1）n-11/n2

絕對(duì)收斂

(2)（-1）n-11/n條件收斂解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解由達(dá)朗貝爾判別法|x|<1級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.|x|>1級(jí)數(shù)發(fā)散.x=1為調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散x=-1為交錯(cuò)級(jí)數(shù),由萊布尼茨判別法條件收斂收斂域?yàn)閇-1，1)小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);

un≠0發(fā)散

un=0(1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：比較，比值，根值等。

(2)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：先判斷是否絕對(duì)收斂：絕對(duì)收斂發(fā)散（3）交錯(cuò)級(jí)數(shù)：（萊布尼茨定理）級(jí)數(shù)判別法絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂例1.

判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.例