雙曲線考點(diǎn)總結(jié)

雙曲線考點(diǎn)總結(jié)考點(diǎn)1雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1：運(yùn)用雙曲線的定義[例1](2004·廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s.已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s:相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)【解題思路】時(shí)間差即為距離差，到兩定點(diǎn)距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線型的．[解析]如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－|PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，ABABCPOxy依題意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處.【名師指引】解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學(xué)模型”題型2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例2]已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，2）.求雙曲線C的方程．【解題思路】運(yùn)用方程思想，列關(guān)于的方程組[解析]解法一：設(shè)雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點(diǎn)（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為－=1.解法二：設(shè)雙曲線方程為－＝1，將點(diǎn)（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1.【名師指引】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.考點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)題型1求離心率或離心率的范圍[例3]已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為．【解題思路】這是一個(gè)存在性問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題來解決[解析](方法1)由定義知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得．即的最大值為．(方法2)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使，等價(jià)于(方法3)設(shè)，由焦半徑公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值為．【名師指引】（1）解法1用余弦定理轉(zhuǎn)化，解法2用定義轉(zhuǎn)化，解法3用焦半徑轉(zhuǎn)化；（2）點(diǎn)P在變化過程中，的范圍變化值得探究；（3）運(yùn)用不等式知識轉(zhuǎn)化為的齊次式是關(guān)鍵題型2與漸近線有關(guān)的問題[例4](2007·汕頭)若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系[解析]焦點(diǎn)