2023年高考數(shù)學母題題源解密（全國通用）：圓錐曲線（原卷版）

專題16圓錐曲線-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學母題題源解密(全國通用)

考向一橢圓

【母題來源】2022年高考全國乙卷(文科)

【母題題文】已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過/(0,-兩點.

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過點尸(1,-2)的直線交E于N兩點，過加且平行于x軸的直線與線段交于點T,點〃滿足

MT=TH-證明：直線HN過定點.

【試題解析】【小問1詳解】

解:設(shè)橢圓片的方程為加x?+即2=1過4(0,_2),3(|,一1

4n=1

則＜9/解得加=:,〃=］，

—〃？+〃=134

14

所以橢圓E的方程為：^+―=1.

43

【小問2詳解】

32

力(0,-2),8(5，-1),所以/B:y+2=]X,

22

①若過點P(L-2)的直線斜率不存在，直線x=1.代入二+匕=1,

34

可得〃(1,一半)，N(1,半)，代人方程y=|x—2,可得

T(―-^6+3,-----)1由MT=TH得,到H(―25/6+5,—.求得HV方程:

y=(2+半口一2,過點(0,-2).

②若過點尸(1,-2)的直線斜率存在，設(shè)Ax-y-6+2)=0,"(X］，M),N(X2，%).

kx-y-（k+2）=0

聯(lián)立x2y2，得（3/+4）》2—6%（2+左）x+3左/+4）=0,

—+—=1

34

66（2+〉）一8（2+左）

X+X

12-3左2+4一二寸7

可得

3左（4+左）4（4+4左一2左2）'

3左2+4"2=..3^+4

—24%..

且再必+尤2弘=T7I-T（*）

3K?4

y=yt

。，可得（學+必）,〃（七,必）.

聯(lián)"273,3M+6—

y=-x-22

3

可求得此時初"一%=3乂+",：：—々(a%)'

將(0,-2)，代入整理得2($+x2)-6(必+y2)+xiy2+x2y{-3yly2T2=0.

將(*)代入，得24k+12左2+96+48k-24(-48-48左+24廿一36/—48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線"N過定點(0,-2).

【命題意圖】

本題考查了橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點坐標公式以及

直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學生的運算求解能力.

【命題方向】

這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題，當看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位

置關(guān)系的問題時，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.

【得分要點】

求定點、定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

考向二雙曲線

【母題來源】2022年高考浙江卷

【母題題文】已知雙曲線5-《=1（〃＞。力＞。）的左焦點為凡過/且斜率為9的直線交雙曲線于點

A（xt,y｝）,交雙曲線的漸近線于點6（%,必）且玉＜0＜々.若|F5|=3|E4|,則雙曲線的離心率是

國題隔圈

【試題解析】過戶且斜率為2的直線Z3：_y=2（x+c）,漸近線/2：y=2x,

4a4aa

U—_b_fy_i_?

聯(lián)立，4a，得5你當,由I旗1=3典I，得I，給，

b\33a）\99aJ

y=-x

a

而I五加H仲！-工口25c2b2c2,c281的“由、夕376

而人1、A在雙曲線上，J'/u---------――=1,解得：—=—,所以離心個e=-----

2

81/81/〃a244

故答案為：巫.

4

【命題意圖】本題考查了雙曲線標準方程的求解、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學生的運算求解能

力.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題，當看到題目中出現(xiàn)直線與圓

錐曲線位置關(guān)系的問題時，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.

【得分要點】

(1)第一問主要利用圓錐曲線的簡單性質(zhì)解答；

(2)第二問聯(lián)立直線和圓錐曲線并消元；

考向三拋物線

【母題來源】2022年高考全國甲卷(理科)

【母題題文】設(shè)拋物線C：/=2px(p>0)的焦點為2點。(p,0),過尸的直線交C于MN兩點.當

直線"9垂直于x軸時，|初刊=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線A/。,與C的另一個交點分別為aB,記直線的傾斜角分別為a,￡.當a-￡取

得最大值時，求直線48的方程.

【試題解析】【小問1詳解】

拋物線的準線為x=-5,當MD與x軸垂直時，點M的橫坐標為p,

W\MF\=p+^=3,所以p=2,所以拋物線C的方程為/=以；

【小問2詳解】

設(shè)”今，凹，N多%，8，直線MN:x=w+l,

14yV47\47k4J

x=my+1

2可得,2—4加、_4=0,△>0,必先二一4,

y=4x

k_—一%一4―--乂_4

MN

由斜率公式可得~±_yl~yl+y2,'廠一為+”，

4444

x,—2,4（X1—2）

直線〃D:x==——y+2,代入拋物線方程可得y2一一U—Ly-8=0.

乂

k

44“MM

△>°,必先=-8,所以%=2%,同理可得為=2,，所以38=------=77-------?

%+”2（弘+%）~T

乂因為直線的傾斜角分別為Q,尸，所以《s=tan￡=殍=9|q

若要使a—￡最大，則

tan<7-tan/?_k

設(shè)kMN=2k.B=2k>0,則tan(a-￡)=旦

1+tanatan/3l+2k24,

當且僅當1整即心日時’等號成立，所以當"0最大時，左

，設(shè)直線AB:x=6y+n,

AB2

代入拋物線方程可得y2-4〃=0.△＞。,外瑞=-4〃=4凹為=T6,

所以”=4.所以直線45:x=+4.

【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義及直線與拋物線的交點問題，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道

較難的題目.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn).試題難度較大，多為高

檔題，重點考查拋物線的定義、性質(zhì)及直線與拋物線的交點等.

【得分要點】

利用拋物線方程對斜率進行化筒，利用韋達定理得出坐標間的關(guān)系.

一、單選題

1.（2022?湖南?周南中學高二期末）已知橢圓C：與+￥=1的左右焦點分別為B、/2,過左焦點B,作直

2516

線交橢圓C于4、3兩點，則三角形48巳的周長為（）

A.10B.15C.20D.25

22

2.（2022?青海?海東市第一中學模擬預(yù)測（文））已知橢圓C：^T+￡=1（〃＞力＞0）,直線1=三與橢圓。交

于4B兩點,。為原點，若三角形405是等腰直角三角形，則橢圓。的離心率為（）

A.&B.也C.3D.巫

4224

3.（2022?河南洛陽?模擬預(yù)測（文））已知點尸是雙曲線f-仁=1的右焦點，點尸是雙曲線上在第一象限

8

內(nèi)的一點，且尸尸與x軸垂直，點0是雙曲線漸近線上的動點，則|尸。|的最小值為（）

A0心R）581672.16>/2

A.2V2+—B.Z72--C.1------Dn.1+----

3333

22

4.（2022?江西九江?三模（理））雙曲線二-二」=1（0<〃?<1）的左右焦點分別為耳，B,P為圓/+/=1

與該雙曲線的一個公共點，則△尸丹瑪?shù)拿娣e為（）

A.\-mB,〃？C.2mD.1

5.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知拋物線。:/=22工（2>0）的焦點為尸，且歹與圓加：。+4）2+/=］上的點之

間距離的最小值為4,則〃的值為（）

A.5B.4C.3D,2

6.（2022?貴州?貴陽一中模擬預(yù)測（文））過拋物線C:必=2px（p>0）的焦點廠的直線/與拋物線C交于點

4B,若萬5=2而,若直線/的斜率為左，則公（）

A.272B,-2yf2C.20或-20D.屈或二

7.（2022?北京市第十二中學三模）已知點P在拋物線C:/=4x上，若以點P為圓心的圓與C的準線相切,

且與x軸相交的弦長為6,則點尸到y(tǒng)軸的距離為（）

A.4B.4應(yīng)C.5D.5板

22

8.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線6：3-q=1仍>0）,其左、右焦點分別為用F2.點名到G的一

條漸近線的距離為1,若雙曲線G的焦點在V軸上且與G具有相同的漸近線，則雙曲線G的離心率為（）

A.75B.2C.V3D.好

二、填空題

22

9.（2022?上海普陀?二模）設(shè)橢圓「：二+匕=1的左、右兩焦點分別為4，K,P是「上的點，則使得△尸尸怎

84

是直角三角形的點P的個數(shù)為.

10.（2022?上海靜安?二模）已知橢圓一+4=1（a>0）的一個焦點坐標為（0,1）,則。=.

a

11.（2022?四川成都?模擬預(yù)測（文））某雙曲線的實軸長為4,且經(jīng)過（1,2忘），則該雙曲線的離心率為

22

12.(2022?上海長寧?二模)已知雙曲線C:十方=l(a>0力>0)的左、右焦點分別為耳、鳥，過鳥且斜率

為-當?shù)闹本€與雙曲線C的左支交于點A.若(而+即)?即=0,則雙曲線C的漸近線方程為.

三、解答題

13.(2022?四川成者卜模擬預(yù)測(理))平面直角坐標系中，橢圓￡+￡=1(。>6>0)的焦距為2而，過焦點

a'h

的最短弦長為

(1)求橢圓的標準方程；

(2)斜率為方的直線與橢圓交于48兩點，P為橢圓上異于48的點，求△尸45的面積的最大值.

22

14.(2022?山東濰坊?模擬預(yù)測)已知雙曲線。］-}=1(4>0,6>0)的左、右焦點分別為耳、入，雙曲線

C的右頂點A在圓。:—+_/=3上，且福.麗=-1.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)動直線/與雙曲線。恰有1個公共點,且與雙曲線。的兩條漸近線分別交于點M、N,設(shè)。為坐標原點.求

證：△。及W的面積為定值.

15.(2022?黑龍江?雞西市第四中學三模(理))已知拋物線C：x2=2py(p>0),圓。x2+/=l.

⑴若拋物線C的焦點尸在圓。上，且“為C和圓。的一個交點，求|力尸

(2)若直線/與拋物線C和圓。分別相切于點N,求|MN