2023學(xué)年上海市魯迅高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知尸為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|4日=5,過點(diǎn)尸的動(dòng)直線/與拋物線8C交于兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為用.給出下列四個(gè)命題：

①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)A僅有一個(gè)；

②若P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，貝！11PAi+|「。|的最小值為2萬;

③無論過點(diǎn)尸的直線/在什么位置，總有=

④若點(diǎn)C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為O,則三點(diǎn)3、O、。在同一條直線上.

其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.若函數(shù)/（幻=九2"一。恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（―,+oo）B.（0,—）C.（0,4e2）D.（0,+oo）

22

3.設(shè)尸為雙曲線C：二一4=1（。＞0,Z?0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。產(chǎn)為直徑的圓與圓*2+y=2交于p、Q

a'b~

兩點(diǎn).若|PQI=|O尸I，則C的離心率為

A.V2B.73

C.2D.75

4.已知M是函數(shù)/（x）=lnx圖象上的一點(diǎn)，過M作圓產(chǎn)+,2-2y=（）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則必.礪

的最小值為（）

55

A.272-3B.-1C.0D._一3

2

5.數(shù)列｛a,,｝滿足：/=:，6,一。,用=24a的,則數(shù)列前10項(xiàng)的和為

6.已知拋物線。：丁=42宜2>0)的焦點(diǎn)為尸，過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)，與》軸的正半軸交于

點(diǎn)S,與準(zhǔn)線/交于點(diǎn)T,且|/%|=2|AS|,則黑=()

II

27

A.-B.2C.-D.3

52

7.已知函數(shù)/(力=2$畝(5+0)+。(0>0),/(—+x)=/(--x),且/心)=5,則—=()

888

A.3B.3或7C.5D.5或8

8.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)N除以正整數(shù)〃?所得的余數(shù)是〃”記為

“N三〃(modm)”，例如7三1(mod2).執(zhí)行該程序框圖，則輸出的〃等于()

A.16B.17C.18D.19

9,若函數(shù)y=2sin(2x+0的圖象過點(diǎn)(3,1),則它的一條對(duì)稱軸方程可能是()

71717154

A.x二一B.x=——C.x——D.x=—

631212

10.若復(fù)數(shù)z二=1+—(i為虛數(shù)單位)，貝”的共朝復(fù)數(shù)的模為()

1+i

好

A.B.4C.2D.V5

2

(冗冗\(yùn)

11.已知a、1—^-,~21,儀6廣，則下列是等式sina-sin/?=a-2月成立的必要不充分條件的是()

A.sina>sin/?B.sina<sin/?

C.cosa>cos/7D.cosa<cosf3

12.設(shè)/'(x)函數(shù)/(x)(x>0)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(力>也立，若在AA8C中，NA=苧，則()

X-卜

A./(sinA)sin2B</(sinB)sin2AB./(sinC)sin2B</(sinB)sin2C

C./(cosA)sin2B>/(sinB)cos2AD./(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量z=(%2),力=(1,3),且B),則向量z與B的夾角的大小為.

14.已知4=log030.2/=log20.2,則a+b.ab(填“:*”或“="或“<”).

15.若|雷卜2,i為虛數(shù)單位,則正實(shí)數(shù)。的值為.

16.根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸入的工的值為2,則輸出的>的值為.

Readx

Ifx>2then

y<-3x-4

Else

EndIf

Printy

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)拋物線。：產(chǎn)=2a(〃>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,A3為拋物線C過焦點(diǎn)F的弦，已知以AB為直

徑的圓與/相切于點(diǎn)(TO).

(1)求P的值及圓的方程；

(2)設(shè)M為/上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)”作。的切線，切點(diǎn)為N,證明：MF1NF.

18.(12分)已知｛q｝是遞增的等比數(shù)列，4=1,且2々、不火、4成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)/--------:-------,〃eN*，求數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和S“.

n>

log2??+1-log2??+3

19.(12分)已知A(—2,0),5(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足直線Q4與直線心的斜率之積為-“設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過點(diǎn)F(l,0)的直線/與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線與x=4相交于點(diǎn)T,求

的最小值及此時(shí)直線/的方程.

20.(12分)已知橢圓C:：?+與=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(一血，0)、F?(忘，0).點(diǎn)M(1,0)

ab-

與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(m,3).過點(diǎn)M任作直線1與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，

設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為ki、k2、k3,若ki+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ox2-a—lnx,w[0,+8),使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù).毛，都有

“止小)<0恒成立.

玉一々

(1)求/(x)的解析式；

(2)若方程二-=/(幻+加有兩個(gè)實(shí)根X1,%2，且用<x,,求證：玉+超>1.

lx

22.(10分)如圖，三棱柱ABC-AgC中，平面ABC,ZACB=9Q°,AC=CB=2,M，N分別為AB，

AC的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面BBC/；

(2)若平面CMNJ_平面々MN,求直線A8與平面4MN所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

①：由拋物線的定義可知|4目=。+1=5,從而可求A的坐標(biāo)；②：做A關(guān)于準(zhǔn)線x=—1的對(duì)稱點(diǎn)為A',通過分析

可知當(dāng)A',P,O三點(diǎn)共線時(shí)|Q4|+|PO|取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時(shí)最小值|A'O|；③：設(shè)出直線/方程,

聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求kMH+kMC=0,從而可判斷出NOMB/OMC

的關(guān)系；④：計(jì)算直線。208的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)B、O、。在同一條直線上.

【詳解】

解：對(duì)于①，設(shè)&。力），由拋物線的方程得尸（1,0）,貝!!|4目=a+l=5,故a=4,

所以A（4,4）或（4,T）,所以滿足條件的點(diǎn)A有二個(gè)，故①不正確；

對(duì)于②，不妨設(shè)4（4,4）,則A關(guān)于準(zhǔn)線x=—1的對(duì)稱點(diǎn)為A'（-6,4）,

^.\P^+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'O\=452=2>/13,

當(dāng)且僅當(dāng)A',P,O三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故②正確；

對(duì)于③，由題意知，/（—1,0）,且/的斜率不為0,則設(shè)/方程為：x=〃少+1（加二0）,

設(shè)I與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為6（玉,y）,C（%,斗），聯(lián)立直線與拋物線的方程為，

x=my+1、

<2\，整理得y2—4my—4=0,則X+%=4乂%二一4，所以

y=4x

22

x,+x2=4m2+2,x[x2—（沖1+l）（7ny2+1）=-4T?2+4m+1=1

+k=y，乃）'|（工2+1）+）'2（的+1）2），|+2上+2，町，|%

人JMB叱―玉+]/+]-（X1+l）（x2+l）"玉+/+%々+1

2X4^77—2/77X4

==0.故MB,MC的傾斜角互補(bǔ),所以NQW8=NOWC,故③正確.

4〃/+2+1+1

對(duì)于④，由題意知。（一1,%），由③知，M+必=4，〃,弘必=~4

7y47..44+y.y八

則勺用=一=一，％。/>=_%,由左。8_自。=一+%=-------2-=0，

王弘y必

知koB=k0D，即三點(diǎn)3、。、。在同一條直線上，故④正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點(diǎn)的

斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時(shí)取最小值.

2.B

【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)/(x)=Ye，-。恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)y=x2e'的導(dǎo)數(shù)為y'=2xex+x1ex=xex(x+2),

令y'=0,貝！］尤=0或一2,

—2<x<0上單調(diào)遞減，(-8,-2),(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0或-2是函數(shù)y的極值點(diǎn)，

,4

函數(shù)的極值為：/(0)=0,/(-2)=4e-2=—,

e-

4

函數(shù)/(元)=/6，一。恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0，F(xiàn)).

e

故選B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象

的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，難度不大.

3.A

【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知軸，

又???|。。|￥。用=c，..」2*=5：.PA為以。尸為直徑的圓的半徑，

.?.人為圓心|。4|=一.

2

:.P,又P點(diǎn)在圓Y+V=/上,

2222

---1—=a2?即一=cz2,e2=—=2.

4424

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，

運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時(shí)事半

功倍，信手拈來.

4.C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知|加4|=|加理，若設(shè)=貝!||次卜|耐|=熹，所以

甌5?旃=|兩12cos26=2sin2e+—3,而要求必.礪的最小值，只要sin。取得最大值，若設(shè)圓

SH1一

尤2+，一2)=0的圓心為C,貝ijsin6=而，所以只要|MC|取得最小值，若設(shè)M(x,lnx),貝！|

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=/+(inx-l)2,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓龍2+y2-2)，=o的圓心為C,設(shè)NAMC=6,則附同=|物理=熹，sin8=尚，設(shè)

M(x,lnx),|MC|2=x2+(lnx-l)2,=x2+(lnx-l)2,則

i2

g，(x)=2x+2(lnx-l)-一=—(/+lnx-l),令/z(x)=V+lnx-l,

xx

因?yàn)椤ā?=/+111%-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且為1)=0,所以當(dāng)0<x<l時(shí)，，2(x)</z(l)=0,g'(x)<0；當(dāng)x>l

時(shí)，/7(x)>〃(l)=0,g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,物)上單調(diào)遞增，所以8(1)二=8(1)=2,即

正，所以雨?礪=|標(biāo)12cos2e=2sin2￡+T--3>0(當(dāng)sin6=正時(shí)等號(hào)成立).

|MC|M/2,0<sin6>

2sin-62

此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.

5.A

【解析】

11c1

分析：通過對(duì)an-an+l=2anan+1變形可知--------=2,進(jìn)而可知4=-----,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

%+1an2rt-l

11c

詳解：%-%+1=2%%+|,---：=2，

an+\an

I

又???一=5,

a3

，!=:+2(n-3)=2n—l,即

%2n—1

???a“a“+i=-??+1)=!|-，

22^2n-l2n+lJ

二數(shù)列｛a/“+i｝前10項(xiàng)的和為:11一;+g_(+…+==與，

故選A.

點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子

-11f11>11/)——廣\

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)—----K=7---------/:(2)/,7==—[^n+k-yjnh(3)

n[n+k)k\nn+kjyjn+k+yjnk'>

1If1111扃-(〃+1；〃+2)；此外'需注意裂項(xiàng)

(2n-l)(2n+l)2(2〃—12n+\)'〃(〃+l)(〃+2)2

之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

6.B

【解析】

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為“，與軸交于點(diǎn)N,由|E4|=2|AS|和拋物線的定義可求得|TS|,利用拋物線的性

質(zhì)麗+西=/可構(gòu)造方程求得忸目，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，AM與>軸交于點(diǎn)N,

由拋物線解析式知：/(〃,0)，準(zhǔn)線方程為x=一〃.

?.?附=2陷，.?.制=g,.■/訓(xùn)=；|叫=§.小閭=：〃，

由拋物線定義知：|AF|=|AMk；.|4S|=；|4F|=gp,.?1M|=2p,

.?.|re|=|SF|=2p.

1121311,,

由拋物線性質(zhì)網(wǎng)+同=方=萬得：丁函K解得」即=加

.冏=竺=,

一兩一行.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸x=J以及函數(shù)值，可得結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)f（x）=2sin（Gx+*）+/?（69>0）,

若八g+x）=/（g-x）,則/（X）的圖象關(guān)于X=J對(duì)稱，

888

JT

又八斤）=5,所以2+〃=5或-2+6=5,

所以〃的值是7或3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問題，屬基礎(chǔ)題

8.B

【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量〃的值，模擬程序的運(yùn)行過程，代入四個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).

若輸出〃=16,貝?。?6三l（mod3）不符合題意，排除；

若輸出〃=17,貝IJ17三2（mod3）,17三2（mod5）,符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.

9.B

【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出。，然后驗(yàn)證各選項(xiàng).

【詳解】

由題意2sin(—F(p)=1,sin(—卜cp)——,(p-2k兀---或0=2Z乃H—,keZ,

?冗471

不妨取°=一;或夕=二,

ITTT

若8=萬，則函數(shù)為丁=$皿2%+萬)=3$2%，四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,

若°=一5,則函數(shù)為y=2sin(2x—g),只有x=g時(shí)，sin(2x^-^)=l,即x=g是對(duì)稱軸.

663363

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出z,再寫出其共朝復(fù)數(shù)，然后由模的定義計(jì)算模.

【詳解】

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共匏復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=sinx-x,/(x)=sinx—2x,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-看?上均為減函數(shù)，由

4TT

5布。-5布夕=。-24得出5皿々一々=5111￡-2/7,分。=0、--<?<0,0<a<Q三種情況討論，利用放縮

法結(jié)合函數(shù)y=h(x)的單調(diào)性推導(dǎo)出一］<=</?<()或0(用<a<g,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,

則/z/(x)=cosx-l<0,/'(x)=cosx-2<0,

當(dāng)一三<無<0時(shí)，貝!J/?(%)>〃(0)=0,/(%)>/(0)=0；當(dāng)0<x<四時(shí)，h(x)<0,/(x)<0.

22

由5抽二一5111萬=0—2/得5m口一2二5抽/7—2/??

①若a=0,貝ijsin4一26=0,即/(/?)=0=>尸=0,不合乎題意；

②若一］<a<0,則一言</<0,則/i(a)=sina-a=sin4一2月》sin4一/?=〃(/?),

7T

此時(shí)，~—<a</3<G,

由于函數(shù)丁=??*在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)y=sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增，則sina<sin￡,

cosa<cosp；

③若0<a<^,則則〃(a)=sina-a=sin分一24vsin乃一/?=〃(4)，

TT

此時(shí)0<p<a<—,

由于函數(shù)丁=??*在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=sinx在區(qū)間［o,g］上單調(diào)遞增，貝!］sina>sin/，

cosa<cos0.

綜上所述，cosa<cos/?.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能

力，屬于中等題.

12.D

【解析】

根據(jù)尸3>加立的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)g(x)=3),求導(dǎo)g，(x)="/⑴二2/3,則g，(x)〉o,g(x)在

XXV7x

(0,+8)上是增函數(shù)，再根據(jù)在AABC中，44=}，得到0</3<：,0<NC<；,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得

到cosZC>sinNB,再利用g(無)的單調(diào)性求解.

【詳解】

設(shè)g(x)=號(hào)，

X

..,/、xff(x\-2f{x］

所以g'(x)=---------,--------->

X.

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)>也立,

X

所以g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

3TTITTT

在AABC中，因?yàn)镹4=土，所以O(shè)<NB(上，0<ZC<-,

444

77ATTTT

—+ZB,且0<N5<—+/8<—，

(4J42

所以sinZ.B<sin|—+ZB|,

即cosZC>sinZB,

..,f(cos/(sinB\

所以一^~L>—~L,

cosC

即/(cosC)sin2B>/(sin6)cos2c

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由必僅詢，解得機(jī)=4,進(jìn)而求出costZ?=孝，即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：因?yàn)椤?1,3>(加一1,-1)=加一1-3=0,解得機(jī)=4,所以85

7T

所以向量￡與坂的夾角的大小為-.

TT

都答案為：T

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的運(yùn)算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.>

【解析】

注意到。>1/<o,故只需比較,+工與1的大小即可.

ab

【詳解】

由已知，a>\,b<0,故有ab<0,a>。.又由'+』=k)go20.3+log()22=log()20.6<l,

ab

故有a+b>ab.

故答案為：>.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

15.V7

【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

由已知可得：必m=2,a>0,解得a=

V2

故答案為：用.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

滿足條件執(zhí)行y—3x-4,否則執(zhí)行

【詳解】

本題實(shí)質(zhì)是求分段函數(shù)y=J232；<2在尤=2處的函數(shù)值，當(dāng)x=2時(shí)，y=l.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查條件語句的應(yīng)用，此類題要做到讀懂算法語句，本題是一道容易題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)2,(X-1)2+/=4；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由題意得/的方程為x=-5,根據(jù)43為拋物線。過焦點(diǎn)尸的弦，以A8為直徑的圓與/相切于點(diǎn)(一1,。)..利

用拋物線和圓的對(duì)稱性，可得-言=-1,圓心為尸(1,0),半徑為2.

(2)設(shè)M(—1,%),MN的方程為丫=%(》+1)+%,代入。的方程，得"_今+4(%+%)=0,根據(jù)直線與拋物線

122

相切，令△=16-16刈％+%)=0,得%+%=；,代入"_分+4(%+〃)=0,解得y.將y=7代入。的方程，

kkk

得x=4，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為然后求解麗■?成.

kk)

【詳解】

(1)解：由題意得/的方程為》=—2,

2

所以"=一1,解得〃=2.

又由拋物線和圓的對(duì)稱性可知，所求圓的圓心為E(l,0),半徑為2.

所以圓的方程為(x—l『+y2=4.

(2)證明：易知直線MN的斜率存在且不為0,

設(shè)M(-1,%),M/V的方程為)，=%(-1)+%,代入C1的方程，

得"-4y+4(%+&)=0.

令A(yù)=16-16Z(x)+Z)=0,得先+&=>!?,

k

所以@2_4y+4(yo+k)=&-'=：4+4=0,解得y=[.

KK

將y=B代入C的方程，得x=±，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為出胃，

所以兩=(-2,%),而

______222(1\2

FM-FN=2-j-^+yo--=2--^+\--k\--=O,

故MFINF.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬

于中檔題.

,032〃+3

18.(1)%=2口(11)5〃=12(〃+1)(〃+2)-

【解析】

(I)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,根據(jù)題中條件求出4的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(II)求得2-一二］,然后利用裂項(xiàng)相消法可求得s“.

2\nn+2J

【詳解】

(I)設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,由題意及4=1，知4>1.

3

,.?2。2、5a3、4成等差數(shù)列成等差數(shù)列，?'?3%=%+2。2，?.?342=q3+2q,

即q2-3q+2=0,解得q=2或q=l(含去)，：.q=2.

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a,,=a?-=2"T.

(n)?.也==z+2)=2(+2)，

lo1

g2?n+i-°g2?n+3n(n+2)21〃n+2)

…+p___M+C、

"2K3j(24j(35)1n+\)n+2)

lf311131(11)32〃+3

2(2n+ln+2J42(〃+ln+2)42(〃+l)(〃+2)，

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

r22im

19.(1)一+—=l(x聲±2)(2)一，山的最小值為1,此時(shí)直線/：x=1

43')\MN\

【解析】

(1)用直接法求軌跡方程，即設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(%,y),把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍;

(2)設(shè)/：x=my+1,將其與曲線。的方程聯(lián)立,消元并整理得(3加2+4)/+6沖一9=0,

設(shè)”(%,%)，NK，%)，則可得X+必，，XV2,由|MN|=，1+的|%-%|求出1例，

將直線ET方程y=T〃（x-1）與x=4聯(lián)立，得7（4,-3〃?），求得|TF|,計(jì)算弓溫，設(shè)/=?顯然此1，構(gòu)

造/（'）=蹤；卜21），由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得其最小值，同時(shí)可得直線/的方程.

【詳解】

3yy3

（1）設(shè)p（x,y）,則5％=一二即二py口=一1

r2V2

整理得士~+匕1(xw±2)

43

⑵設(shè)/：x=my+\,將其與曲線C的方程聯(lián)立，得3（沖+lp+4y2=12

即(3加2+4)V+6my-9=0

設(shè)M（%，%），N（X2，%），則y+%=-、%；"4

12(m2+l)

3加2+4

將直線尸T：丁=一根（尢-1）與％=4聯(lián)立，得丁（4,一3加）

:.附=J9+9加=3J1+W

構(gòu)造價(jià)=株H3+）NI）

（⑴=；（3-《］＞0在fe［1,物）上恒成立

所以N=/（。在［L+8）上單調(diào)遞增

所以黑=+當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即加=。時(shí)取“=”

|MN|4（t）

\TF\

即雨的最小值為L此時(shí)直線

（注：1.如果按函數(shù)y=x+，的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給

x

分.）

【點(diǎn)睛】

本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交

點(diǎn)坐標(biāo)為（石，弘）,（尤2，必），設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達(dá)定理得天+%2，％儼2（或

把這個(gè)代入其他條件變形計(jì)算化簡得出結(jié)論，本題屬于難題，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解能力有一

定的要求.

無2

20.（1）-----Fy2=1；（2）m—n—1=0

3

【解析】

試題分析：（1）利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過M的直線

1的方程，將1與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后將kI+k3表示為直線I斜率的關(guān)系式，化簡后得k|+k3=2,

于是可得m,n的關(guān)系式.

試題解析：（1）由題意，c=夜，b=L所以a=正+c、2=G

故橢圓C的方程為二+丁=1

3-

（2）①當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，方程為x=L代入橢圓得，y=士逅

3

不妨設(shè)A（1,旦）,B（1,一如）

33

22+—

因?yàn)閗i+k3=33=2

F--

又ki+k3=2k2,所以k2=l

〃一2

所以m,n的關(guān)系式為-----=1,即m—n—1=0

tn—3

②當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)1的方程為y=k（x-1）

2

將y=k（x—1）代入上+y2=],

3

整理得：(3k2+l)x2-6k2x+3k2-3=0

6k23氏2一3

設(shè)A(xi,yi),B62,y2),則%+%=

3二+1

又yi=k(xi—1),yi=k(X2—1)

2-y?2-%=(2%)(3-12)+(2-必)(3一百)

所以ki+kj=

3-Xy3—x?(3—Xj)(3—x2)

__1)](3_9)+[2_燈3—DIG-3)

X1%2-3(%+工2)+9

2kx}x2-(4攵+2)(玉+/)+6攵+12

x}x2-3(Xj+x2)+9

3々2_36k2

—(4攵+2)x^^+6攵+12

_3/+13V」+1________

”3x「9

3攵2+13公+1

_2(12^+6)_2

12出2+6

〃一2

所以2k2=2,所以k2=--------=1

m-3

所以m,n的關(guān)系式為m—n—1=0

綜上所述，m,n的關(guān)系式為m—n—1=0.

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，

21.(1)/(x)=-lnx；(2)證明見解析.

【解析】

(D根據(jù)題意，f(x)在(。,+8)上單調(diào)遞減，求導(dǎo)得f(x)=2ar—A=2".-1(甲>0),分類討論.f(x)的單調(diào)性，

XX

結(jié)合題意，得出“X)的解析式；