2023年云南省曲靖市陸良縣高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合9=卜|上一次一3<0},集合8={x|x—120},則0(AcB)=().

A.(-co,l)Uf3,+oo)B.(—,l]U[3,+8)

C.S』)U(3,”)D.(1,3)

2.設(shè)且，1一sin2x=sinx-coss，貝!I()

八九,,7乃乃4兀，，3冗

A.04xWB.—---C.—WxW—D.—WxW—

444422

3.若復(fù)數(shù)z滿足z=(2+i)(j)(i是虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.叵B.Vi(jC.此D.75

22

4.已知集合A={x||x—l|W3,xeZ},8={xeZ|2'eA},則集合8=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

v-224

5.已知雙曲線C：—-v2_=i（a>0,30）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為一的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|04|=|0尸

a-b-3

則雙曲線的離心率為（）

A.耶>B.75C.2D.百+1

1-i

6.設(shè)2=市+公，則⑶=

D.6

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（）

倚視圖

A.3A/2B.275C.276D.277

8.若不等式/+依+120對(duì)于一切工€（0,3恒成立，則“的最小值是（）

A.0B.-2C.--D.-3

2

TT

9.已知函數(shù)/（x）=cos（2x+§）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)/（力的最小正周期為7T

B.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)［go］對(duì)稱

（-TT24\

C.函數(shù)/（X）在［寸彳）上單調(diào)遞增

D.函數(shù)“X）的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度得到

2X—YY0

10.已知函數(shù)/（x）=2'"則/（/（T））=（）

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

11.已知定點(diǎn)AB都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)尸右。,尸8，。,。是&內(nèi)異于4,8的動(dòng)點(diǎn)，且PC_LAC,那么動(dòng)點(diǎn)C在平

面a內(nèi)的軌跡是（）

A.圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B.橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C.雙曲線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D.拋物線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）

1153

A.—B.—C.—D.—

433216

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一次體育水平測(cè)試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%,女生成績(jī)的優(yōu)秀

率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率；

③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

14.(1-3x)(1+X)、展開式中項(xiàng)的系數(shù)是

15.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1.麗7=2礪，點(diǎn)N、T分別為線段8C、C4上的動(dòng)點(diǎn)，則

麗?而+比?俞+D5?麗取值的集合為

16.設(shè)片，居分別是橢圓C：三+當(dāng)=1(a>/,>())的左、右焦點(diǎn)，直線/過(guò)耳交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交/軸

CTb

于E點(diǎn)，若滿足電=2福，且NE6鳥=60,則橢圓C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.(12分)如圖,設(shè)點(diǎn)鳥(1,0)為橢圓￡[+l=13>。>0)的右焦點(diǎn)，圓C:(x-a)2+〉2=a2,過(guò)入且斜率為

a~b~

-々>0)的直線/交圓。于AB兩點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)P,。兩點(diǎn)，已知當(dāng)％=6時(shí)，AB=2R.

(1)求橢圓E的方程.

(2)當(dāng)「6:號(hào)時(shí)，求APQC的面積.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)J+1(x+l)(x〉0).

k

(1)若/?(犬方仁恒成立，求整數(shù)上的最大值；

X+1

(2)求證：(1+1X2>(1+2X3)…[l+“x(”+l)]>e2"-3.

x=n

x=1-m

19.(12分)在直角坐標(biāo)系xOv中，直線4的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線/，的參數(shù)方程c〃(為參

y=7k/(m-l)

I'k

數(shù))，若直線44的交點(diǎn)為P，當(dāng)上變化時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是曲線c

(1)求曲線c的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，設(shè)射線4的極坐標(biāo)方程為

6=a(p..O),tana=g[o<a<|^,點(diǎn)Q為射線&與曲線C的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的極徑.

20.(12分)已知矩形紙片ABCO中，AB=6,49=12,將矩形紙片的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點(diǎn)8落

在矩形的邊AO上，記該點(diǎn)為￡且折痕MN的兩端點(diǎn)M,N分別在邊AB,BC上.設(shè)NMNB=dMN=I,AEMN的

面積為S.

(1)將/表示成。的函數(shù)，并確定0的取值范圍；

(2)求/的最小值及此時(shí)sin6的值；

(3)問(wèn)當(dāng)。為何值時(shí)，AEMN的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.

21.(12分)已知AABC中，BC=2,8=45°,D是AB上一點(diǎn).

(1)若53=1,求C￡)的長(zhǎng)；

(2)若4=30°,BD=3AD,求叱黑的值.

sinZ.DCB

22.(10分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用

于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊8C上的高所在直線

AO旋轉(zhuǎn)180。而成，如圖2.已知圓。的半徑為設(shè)ZB40=，,0<0<],圓錐的側(cè)面積為ScM.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰AB的長(zhǎng)度.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

算出集合A、8及再求補(bǔ)集即可.

【詳解】

由丁一21一3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},又8={1|兀21},

所以AcB={x|l〈x<3},故a(4門3)={%[%<1或％23}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出sinx..cosx,即可求出x的范圍.

【詳解】

Vl-sin2x=Vsin2%+cos2x-2sinxcosx

=J(sinx-cosx)2

=|sinx-cosx|

=sinX—cosx

sinx-cosx..0,即sinx..cosx

?.,滕！k21

.-.-M—

44

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)sinx,cosx的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.

3.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,由此求得回.

【詳解】

依題意z=2+i—2i—『=3-，所以忖=小?+(—1)-=V10?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

弄清集合8的含義，它的元素x來(lái)自于集合4,且2,也是集合A的元素.

【詳解】

所以一故又A則

Hl%-H<3,2WxW4,4={-2,-1,0,1,2,3,4},xeZ,2-GA，x=(M,2,

故集合B={0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

y=c（j2+h2h2\

以。為圓心，以|。目為半徑的圓的方程為f+y2=c2,聯(lián)立/、2_,可求出點(diǎn)A絲J——，一，則

/一萬(wàn)=1IcC）

b2

74

一/§,,=可，整理計(jì)算可得離心率.

aylc~+hJ

【詳解】

解：以。為圓心，以目為半徑的圓的方程為f+y2=/

ayjc2+/72

x2+y2=c2x=-------------

聯(lián)立尤2y2_,取第一象限的解得＜c

b2

y=—

c

b2

22

ayJc+bnl4

即A----------，一，則

cayjc2+b23

/

整理得(9c2-5a2)(c2-5?2)=0,

r25r2

則二二士＜1(舍去)，i-=5,

a29a2

e=—=\/5.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.

6.C

【解析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共扼復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)二，然后求解復(fù)數(shù)的模.

詳解…蕓+2i=

(IT)。1)+2i

(Ji)(l+i)

=—i+2i=i，

則|z|=l,故選c.

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共

物復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式

相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

7.C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱錐S—ABC,并且平面SAC1平面ABC,ACYBC,過(guò)S作連

接，AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示：

由三視圖得：該幾何體是一個(gè)三棱錐S—ABC,且平面SAC,平面ABC,ACVBC,

過(guò)S作S￡>_LAC,連接3D,則和=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以勿=^DCZ+BCZ=V20，SB=>JSD2+BD2=2指，SA=yJSD2+AD2=2&，

SC=y/SD2+AC2=275，

該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為2指.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

8.C

【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，即可得到結(jié)論.

解：不等式x2+ax+lK)對(duì)一切xG(O,成立，等價(jià)于*-x-L對(duì)于一切xe(0，!成立，

2xI2_

I

?；y=?x--在區(qū)間|0,—上是增函數(shù)

X

?

??—X----1-S-----1---2o=----5-

x22

:.a>--

2

???a的最小值為-3故答案為C.

2

考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題

9.D

【解析】

由7可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)％=與時(shí)，2x+^=—可判斷選項(xiàng)段利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；

co1232

y=sin2(x+］)=cos(2x-?豐/(x)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

由題知最小正周期7=4=兀，所以A正確；當(dāng)“=看時(shí)，

2X+；=5，所以B正確；當(dāng)弓)時(shí)，2x+^e］兀,事｝所以C正確；由/=5由2%

的圖象向左平移卡■個(gè)單位，W=sin2^x+-^|^=sin^2x+^=sin2N+5-三)=

cos(2x-］卜/(x),所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.

10.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.

【詳解】

Y—xx0

因?yàn)?□)=，「,二所以/.(/(一1))=/(2)=22-2=2.

x+l,x<0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

11.A

【解析】

根據(jù)題意可得AC_L3C,即知C在以A8為直徑的圓上.

【詳解】

?/PB±a,ACcza,

:.PB±AC,

又PC_LAC,PBcPC=P,

AC±平面PBC,又8Cu平面PBC

:.AC±BC,

故C在以A3為直徑的圓上，

又C是。內(nèi)異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，

所以C的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,3

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.

12.A

【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為25=32個(gè)，再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求

出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

樣本空間樣本點(diǎn)為2$=32個(gè)，

具體分析如下：

記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，

有以下3種位置1___1.

剩下2個(gè)空位可是()或1,這三種排列的所有可能分別都是2x2=4，

但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為2+2=4,

事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：4+4+4—2—2=8個(gè).

Q1

故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，—

324

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(2X3)

【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；

因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女

生成績(jī)的優(yōu)秀率，故②正確；

因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)

系，故③正確.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

14.-20

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，再分情況考慮即可求解.

【詳解】

解：(1-3x)(1+4=(1+4-3x(1+x)s展開式中『項(xiàng)的系數(shù)：

5

二項(xiàng)式(1+X)由通項(xiàng)公式Tr+l=C；(x)~

當(dāng)r=3時(shí)，/項(xiàng)的系數(shù)是僅=10,

當(dāng)尸=2時(shí)，/項(xiàng)的系數(shù)是仁=10,

故V的系數(shù)為。；-3仁=-20；

故答案為：-20

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題.

15.{-6}

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出祈，而，麗，的表達(dá)式，再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求

和即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：以BC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),8c所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為,軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(O,⑹,3(—書，

則麗品=(2,0),5=(-1,右)，

設(shè)N(/,0),Af=AAC,

OT=OA+Wf=OA+AAC=(0,6)+4(1,-百)=(2,而1-2)),

即點(diǎn)T的坐標(biāo)為(A,73(1-2)),

則行=卜7,6(1_/1))府=---A,—-73(1-2)\W=t+,

133J(33,

所以麗?標(biāo)+方幣7+建?麗

=—lx(A—/)+(―\/3)x^3(1+2xf———A1+0X—^^(1—A)+

故答案為：{-6}

本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算，以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算，是中檔題.

16.

3

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，計(jì)算歸唬［以及然后根據(jù)橢圓的定義可得|福并使用余弦定理以及e=（,可得結(jié)果.

【詳解】

如圖

由NE/譙=6（?,所以|耳目=——=2c

11cos60

由證=2麻二所以|麗卜;|在卜c

又卜用+,乙卜2。，貝！瑞|=2a-c

|阿2+|鈦「一狗之

所以cosNA百鳥=

在i、i/+（2c）“-（2a-c）2

所以cos120=———一-----L

2c?2c

化簡(jiǎn)可得：7c2=（2a—c）2n2a—c=V7c

則￡=小=①

aV7+13

故答案為：立二1

3

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線段的長(zhǎng)度，考查分析能力以及計(jì)算能力，屬中檔

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.⑴介營(yíng)⑵與

【解析】

",再根據(jù)A-〃得到6+地/“解之即得a

(1)先求出圓心C(a,O)到直線/的距離為d=

的值，再根據(jù)c=l求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出再求得APQC的面積

5十鳥.(凡一力)哼.

【詳解】

⑴因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)6(1,0),且斜率％=百.

所以直線/的方程為y=G(x—l),即百x—y—JJ=0,

|>/3a--s/sl

所以圓心。(a,0)到直線I的距離為d=I,

，⑼+1

又因?yàn)锳3=2灰，圓。的半徑為明

由”/ABY,22Hn3（a—I）?2

所以---+小=。~,即6H——---—=a29

I2）4

解之得，。=3或a=—9（舍去）.

所以〃2=42—，=g,

22

所以所示橢圓E的方程為上+上=1.

98

cI

(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為=9,離心率e=—=彳，

a3

10

則點(diǎn)p到右準(zhǔn)線的距離為“=￡殳=?=io,

e1

3

元2y28

所以9f=10,即與=1,把/=-1代入橢圓方程]+}=i得，力=±三，

因?yàn)橹本€/的斜率女＞(),

所以孫=-3，

因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)鳥(1,0)和P(-l,-1

4

所以直線/的方程為＞=—

y=*T),

聯(lián)立方程組＜得3/一41一7=0,

EL

7

解得％=—1或x=小

3

所以。

所以APOC的面積S=gc/V(yQ_yp)=gx2x[，+|)=當(dāng)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

18.(1)整數(shù)上的最大值為3；(2)見解析.

【解析】

.,,Kr/\k+i(x+1)+(尤+l)ln(x+1)遼3―s/\(x+1)+(x+l)ln(x+1).

(1)將不等式/(x)>n■變形為——''J\——L,構(gòu)造函數(shù)/?(x)=^——)\\——L,利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=h(x)的單調(diào)性并確定其最值，從而得到正整數(shù)k的最大值;

=2-3^-^＞利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論?

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到ln[l+〃(〃+1)]>2-----

【詳解】

,、,/\l+ln(x+lL)k3(x+l)+(x+l)ln(x+l)

(1)由f(x)=----——>——得"——二————L

xx+iX9

令心)=(x+l)+(x+l)m(x+l),")「—1—?x+l),

XX

令g(x)=x-l-ln(x+l),g<x)=l--^j>0對(duì)Vx>0恒成立，

所以，函數(shù)y=g(x)在((),+。)上單調(diào)遞增，

?.?g(0)=—l<0,g(l)<0,g(2)<0,g⑶>0,

故存在/<2,3)使得g(x())=0，即/一l=ln(/+l),

從而當(dāng)x>x0時(shí)，有g(shù)(x)>g(x(J=0,/z'(x)>0,所以，函數(shù)y=/z(x)在(如+。。)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x<x°時(shí)，有g(shù)(x)<g(x0)=0,〃'(x)<(),所以，函數(shù)y=/z(x)在(0,%)上單調(diào)遞減.

所以，〃(5產(chǎn)小)=a+l)+(Xo+l)ln(Xo+l)=(x°+l)+(x°+l)(x°T)=x°+ie(3,4),

X。xo

:.kQ3,因此，整數(shù)攵的最大值為3；

(2)由(1)知匕11111tQ>工恒成立，.?.ln(x+l)>仝-1=2--—>2--,

Xx+1x+1x+1X

3

令X=〃(〃+1)(力￡?/*)則1口[1+拉(九+1)]>2-2-3|-

〃+1；

ln(l+2x3)〉2—3(g—g),…，ln[l

?.ln(l+lx2)>2-3++1)]>2-31-^

\nn+\

上述等式全部相力口得In(1+1x2)+In(1+2x3)+...+ln[l+/(〃+1)]>2〃-3(1——2〃-3,

所以，In[(l+lx2)(l+2x3)……(1+?(/?+1))]>2?-3,

因此，(1+1X2>(1+2X3)…口+“x(“+l)]>e2"3

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用，以及放縮法證明不等式的技巧，屬于難題.

8

19.(1)/9+(y-137=1(x^0)；(2)-

【解析】

(1)將兩直線化為普通方程，消去參數(shù)人，即可求出曲線C的普通方程；

43

(2)設(shè)。點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為(/??05。,。5皿￡)(夕>0),求出5m。=1,35。=1,

代入曲線C可求解.

【詳解】

X

(1)直線4的普通方程為y=k(-x)，直線I,的普通方程為y-2=—

k

聯(lián)立直線IJ方程消去參數(shù)A,得曲線C的普通方程為y(y-2)=-x2

整理得x2+(y_l)2=i(xw0).

(2)設(shè)。點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為(pcosa,osina)(。>0),

4(7i\43

由tana=§［0<Q<5)可得$皿4=?^305。=己

8

代入曲線C的方程可得夕29一］夕=0,

Q

解得p=M，2=0(舍),

Q

所以點(diǎn)。的極徑為

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，極徑的求法，屬于中檔題.

20.(1)/=-3父(2)sin。=走，/的最小值為也.(3)0=］時(shí)，面積S取最小值為86

sm6cos-外124)326

【解析】

(1)NENM=NMNB=0,NEMA=2。,利用三角函數(shù)定義分別表示NB,MB,ME,AM,且朋"MB=6,即可得到

3

BN=——-——<12

sincos

3

/關(guān)于。的解析式；則,BM=——<6，即可得到。的范圍;

cos~0

0<^<-

[2

(2)由⑴，若求/的最小值即求sinGcos%的最大值,即可求sin^ecose的最大值，設(shè)為/2(e)=sin2ecos4。,令

x=cos2。，則/⑹)=(I一X)f,即可設(shè)g(x)=(1_x?2,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得g(X)的最大值，進(jìn)而

求解;

(3)由題,S=L/2sin6cos8=2x——/-二/±46?工]，則S2=—x—」~「，設(shè)

22sin^cos3^U24廣4sin2^cos6^

(jr-rr\

-<e<-\,〃⑺=(IT)/,利用導(dǎo)函數(shù)求得h(t)的最大值，即可求得s的最小值.

【詳解】

解：(1)NENM=NMNB=e,NEMA=2?,

故NB=Icos9,MB=ME=Isin6,AM=MEcos23=1sin9cos20.

因?yàn)锳M+A/B=6,所以/sin6cos2e+/sine=6,,

sin6(cos20+1)sin6cos?0

3

BN=------------<12

sincos

37TTT

又BNW12,5A/46,則——<6，所以一<。<一,

cos?。124

°Y

所以/=----—<0<-]

sin^cos2^U24)

(2)記/(^)=sin6?cos20,-<O

則/(6)=sin2。cos*,

設(shè)》=8$26,xw[g,]，則于2(9)=(1-%)%2,

記g(x)=(1-%)%2,則1g'(x)=2x-3x2,

令g'(x)=o,則X=|e[g,2Tl,

當(dāng)Iep|時(shí)，g?x)>°；當(dāng)xe熱三"時(shí),g")<0,

所以g(x)在i，|上單調(diào)遞增，在，，句y上單調(diào)遞減，

故當(dāng)X=cos2e=2時(shí)/取最小值，此時(shí)sin。=也，/的最小值為述.

332

(3)AEMV的面積S=工廠sin6>cos6>=|-x--(二

22sin6?cos36>l124

所以S2卷X]，設(shè)f=cos2《專4”7],則！w2+6

sin28cos6024

設(shè))=(1—，則"⑺=3/一4/,令/?)=o/=1€]g,弓

所以當(dāng)re1,|時(shí),//'?)>()；當(dāng)re(，檸亙時(shí),〃'(/)<0,

-1Q-|o24-/3

所以〃?)在5，；上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

Qjr

故當(dāng)/=2=COS2。，即?！箷r(shí)，面積S取最小值為873

4