2021高中數(shù)學(xué)人教A版必修五章節(jié)練習(xí)試題（第三章不等式）含答案解析

2021年09月30日試卷

一、單選題(共10題；共o分)

1(0分)已知實(shí)數(shù)Q,b,c滿足c<b<a且ac<0,那么下列不等式一定成立的是

()

A.ac(a—c)>0B.c(b—a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac

2、(0分)若不等式—23的解集為()

X

A.[-1,0)

B.[-1,+8)

C.(-8,-1]

D.(-8,-1]U(0,+8)

x+2y-3W0

3、(0分)已知居y滿足％+3y-3N0,z=2x+y的最大值為m,若正數(shù)滿足a+b=則

y<i

花的最小值為()

B.3

2

C.4

D.5

32

4^(0分)已知函數(shù)f(%)=x2+2(1-d)x4-(1-a)2,g(x)=x-1,若/(無)和g(x)圖象有三條公切

線，則a的取值范圍是()

33

A.a>l+樂B-"1+%

C.0VQ<1+D-1+樂<a<4

5、(0分)若Q>b>0,則()

B.1

A.a2c>b2c(cG/?)

D.G)a<@b

C.lg(a—h)>0

6、(0分)方程x24-ax—2=0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-y,l]C.(一或+8)D.(一8,一羊

B.(1,+oo)

7、(0分)已知a=logo6°5，b=\n0.5>竄;=擷腐濾，則()

A.撕對詼觸京B-c>a>h

c

-D.<r；>,§?>ss'

8、（0分）如果渤軸題，給出下列不等式：（1）b；（2）(3)/+1>〃+I；

（4）2">2".其中成立的不等式有（）

A.(3)(4)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)

9、（。分）設(shè),=2；，"=早"，"叱，則（）

A.缶;?<謝百:愚B?

C.:@的:幽所:幻;D?h<a<c

10、（0分）若a>b,c>d,則下列不等式成立的是（）

c

A.Q+d>b+cB.ac>bd-MD.d—a<c—b

二、填空題（共10題；共0分）

%>0

11、（0分）變量X,y滿足約束條件｛%-2yW2當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取得最大值時，其

y<0

最優(yōu)解為12、（0分）不等式x>-的解是_13、（0分）

X

若xeR,則二7與￡的大小關(guān)系為—

14、（0分）不等式義》2的解集為（）

A-（-2,2]B.[-2,1]C.（-2,2）D.[-3,-2）

x-y>0,

15、（0分）已知實(shí)數(shù)滿足｛X+y-5S0,,貝|jX的最小值為

K,J'\、14Jx--------------------------------

V>一廿+-

7124

16、（0分）直線x-4y+9=0上方平面區(qū)域的不等式表示為________.

17、（0分）不等式（x—l）一工一220的解集為_________.

18、（0分）不等式三文>0的解集是_________.

x+1

x—y>0,

19、(0分)已知x,y滿足尤+yW2“則z=N：的最大值為.

,y>0,

x—y>—1,

20、(0分)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+yW4,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值

y>2,

為.

三、解答題(共6題：共。分)

21、(0分)(滿分16分)

設(shè)數(shù)列｛&J的前ri項和為Sn.若對任意的正整數(shù)m總存在正整數(shù)m,使得=am,

則稱5｝是“，數(shù)列”.

(1)若數(shù)列｛an｝的前幾項和為Sn=2"(n6N*),證明：Q｝是“H數(shù)列”.

(2)設(shè)｛冊｝是等差數(shù)列，其首項的=1,公差d<0,若｛5｝是““數(shù)列”，求d的

值；

(3)證明：對任意的等差數(shù)列｛an｝,總存在兩個“H數(shù)列”｛%｝和｛%｝,使得an=

bn+cn(neN*)成立.

22、(0分)已知數(shù)集4=｛%,&2,…,即｝(1=<a2<...<an,n>2)具有性質(zhì)P:對任意的2(2<

k<n),3i,;(l<i<jWn),使得ak=at+%成立.

(I)分別判斷數(shù)集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(II)求證與42%+。2+…+a"-i(n22);

(III)若an=72,求數(shù)集4中所有元素的和的最小值.

23、(0分)設(shè)函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-8,0)上遞增，且f(2a

2+a+l)<f(2a2-2a+3),求a的取值范圍.

24、(0分)不等式<0的解集為R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

7nxz+2(m+l)x+9m+4

25、(0分)設(shè)a=K+2&,b=2+V7,則a、b的大小關(guān)系為？并證明你的結(jié)論.

26、(0分)(I)解關(guān)于％的不等式a/一式>O(Q￥0)；

(II)已知不等式(m2—2m—3)x2—(m—3)x—1<0對一切實(shí)數(shù)％恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍

四、計算題（共4題；共0分）

1%—1|V32

27、（0分）解不等式組：｛2、1.28、（0分）解關(guān)于x的不等式ax2-（2a+2）x+4

—>1

x—3

x+3?

>0.29、（0分）解不等式組｛右一”.30、（0分）解關(guān)于x的不等式12x2-ax>

x2—6%—8<0

a9~（,a￡R、）.

五、作圖題（共1題；共。分）

x—y+5N0

31、（0分）畫出不等式組｛%+y>0表示的平面區(qū)域.

x<3

試卷答案

1.［答案】D

【解析】因?yàn)閏〈b〈a,且ac<0,所以c<0,a>0,因?yàn)閎>c,所以ab>ac,故應(yīng)選D.

【點(diǎn)評】本小題用到了不等式的性質(zhì)：若a>b,c>0則ac>bc;若a〉b,c〈O,則ac<bc.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：竺3=三二一320=統(tǒng)S0=—1Wx<0故選A.

XXX

首先X為分母，故x不等于0,當(dāng)x#0時，將不等式化簡為—X<0，進(jìn)而求出不等式

解集.

3.【答案】B

面區(qū)域如圖：(陰影部分)

由z=2%+y得y=—2x+z,平移直線、=—2x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-2工+z經(jīng)過點(diǎn)力(3,0)時，直線y=-2%+z的截距最大，此時z最

大.

代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2x3=6.

即771=6.

則a+b=6,ab-6(-a+-b)(a+b)

=-(1+4+-+^)>-(5+2日岑)=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,6=4取等號，

6ab6ab2

故選：B.

本題主要考查線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.

4.【答案】A

【解析】設(shè)公切線與/(%),g(x)分別相切于點(diǎn)(m,f(7n)),(7i,g(n)),對/(x),g(x),根據(jù)題意可得

n~1-{m+l-a)2

g(a)-f(xi)即―一=2(m+1—a)=

g'(xo)=rajXQ-Xtn-m

解得m=-^---(1-a),代入化簡得Q=l+2n+匚=l+7^+n+巳一之l+2(7l>0).

244v4

設(shè)公切線與f(%),g(%)分別相切于點(diǎn)(九,。(九)),/'(%)=2(%+1-a)

n-1-(7n+l-a)2

“(%)=-%-2,g'(&)=1(%i)=—n-2=2(m4-1—a)=

二二n-m

解得m=———(1—a),代入化簡得a=1+2H+=1+71+71H——N1+3^(71>0),

函數(shù)MX)=l+2n+?在區(qū)間(—8,0)遞增，在區(qū)間(0,專)遞減，在區(qū)間喘，+8)遞增，

且"°,八⑺T+8,〃—“恤?也可知a無上界'即。>1+2_時,

V4

方程。=;15),(71M0)有三解，故選A.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求公切線的斜率，屬難題.

5.【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)閈a>b>0那么利用不等式的可乘性可知當(dāng)c=0時，選項A錯

誤，而對于選項B,由于不等式的可乘性，兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變因此

詼,

因此錯誤。選項C中，根據(jù)對數(shù)函數(shù)，只有真數(shù)大于1時函數(shù)值大于零，因此錯

誤。故選D.

解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性來得到不等式關(guān)系，熟練的運(yùn)用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。

6.【答案】A

【解析】由題意知方程在區(qū)間上有且只有一個根，由函數(shù)零點(diǎn)的存在定理，方程有且僅有

一個根，得到函數(shù)式對應(yīng)的函數(shù)值的符合相反，即乘積小于0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍可

得.

【解答】由于方程k2+火一2=0有解，設(shè)它的兩個解分別為x|,x智，則x!?x

2<0,

故方程卜2+公一2=0在區(qū)間［1，5］上有唯一解?

設(shè)f(x)=x?+ax,—2，則有f(l)f(5)VO,即(a-1)(5a+23)WO,

23

解得：-M-WaWl,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系

7.【答案】C

【解析】試題分析：由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知衡=螭黔/世軍?◎，來嘮，

A=In0.5e(-oo,0),c=0.6OJ€(0,l),所以故選C.

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

8.【答案】C

【解析】試題分析：由y=F單調(diào)性可知/>/正確；由y=2"的單調(diào)性可知皆屈臂成立

考點(diǎn)：不等式性質(zhì)

9.【答案】B

-1=1

【解析】試題分析：依題意有叱：觸□=(如渤加蜜=>卜貨9，故國.武說.

考點(diǎn)：比較大小.

10.【答案】D

【解析】利用不等式的性質(zhì)判斷即可.取a=2,b=-1,c=3,d=-100,

則a+d=—98,b+c=2,a+d<b+c,故A錯.

又ac=6,bd=100,ac<bd,故B錯.

取a=2,b=—100,c=3,d=—1,則g-=100>故C錯.

c3ac

當(dāng)a>b,c>d時，-a<—b,故d+(—a)<c+(—b)即d—a<c—b,故D正確，

故選D.

本題考察不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】（2,0）

【解析】【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示:

由z=2x-y得：y=2x-z,

顯然直線過A（2,0）時，z最大，

故答案為：（2,0）.

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最優(yōu)解.

12.【答案】（-3,0）U（3,+8）

【解析】【解答】解：原不等式等價于—>0等價于（x+3）（x-3）x>0,

X

由穿根法得到不等式的解集為（-3,0）U（3,+8）；

故答案為：（-3,0）U（3,+8）；

首先通分化簡分式不等式，最后化簡為整式不等式，利用穿根法解答即可.

-^-<1

13.【答案】田2-2

【解析】

將兩式做差和。比即可.

X12X-1-X2-Qr-1)2一cX1

----------------=-----------------=---------------<(1---------—

1+X222(1+*2)2。+2)-,/.工+*Y2.

故答案為:

【點(diǎn)睛】

這個題目考查了比較兩式的大小關(guān)系，常見的方法有：做差和0比或者做商和1比；或者

應(yīng)用不等式等性質(zhì)得到大小關(guān)系.

14.【答案】A

【解析】本題考查分式不等式.2》2n工-220=%<0=-2<xW

X+2X+2X+22

15.【答案】]

【解析】畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，由于丫=匕;，即所求目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是區(qū)域

xx-0

內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知k=Y是曲線的切線的斜率時最小。設(shè)切點(diǎn)

X

則/^=畢=予3+卷，又丫，=4*b3=]3,故由導(dǎo)數(shù)的兒何意義可得切線

的斜率k=?3,則專t3+a=33,解之得t=l,故k=7的最小值為（"in號，應(yīng)填答案號

點(diǎn)睛：本題的設(shè)置將函數(shù)的圖像與導(dǎo)數(shù)知識與線性規(guī)劃有機(jī)地整合在一起，綜合檢查學(xué)生

的數(shù)形結(jié)合能力及綜合運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識分析問題和解決問題的能力。

16.【答案】x-4y+9<0

【解析】【解答】解：作出直線x-4y+9=0,當(dāng)x=0,y=0時，式子x-4y+9=9>0,

，原點(diǎn)0在直線x-4y+9=0的下方，此時不等式為x-4y+9>0,

直線x-2y+5=0上方的平面區(qū)域的不等式表示為x-4y+9<0,

故答案為：x-4y+9<0.

作出直線x-2y+5=0,判斷0所在的平面區(qū)域，即可得到結(jié)論.

17.【答案】{x|x22或x=-1}

【解析】原不等式等價于（x—l）?—%一2>0①

或(x—1)Vx2—x-2=0,②

解①，由,：三一》一翦/蒯得x>2；解②，由x'—x—2=0或x—1=0且7#—久—2有意義，

得x=-1或x=2.

綜上可知，原不等式的解集是{x|x22或x=-1}.

18.【答案】（-1,*

【解析】不等式宗>0等價于（1-2x）（x+l）>。,也就是Q->x+l）〈。,所以一l<x《

19.【答案】1

20.【答案】6.5

【解析】分析：由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到

最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

詳解:由題作出可行域如圖，聯(lián)立裾4）化目標(biāo)函

數(shù)丫=+|由圖可知過A時截距最大，故z的最大值為6.5,故答案為6.5

點(diǎn)睛：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

21.【答案】（1）證明見解析：（2）d=—1；（3）證明見解析.

nn-1n-1

【解析】（1）首先%=51=2,當(dāng)nN2時，an=Sn-Sn_r=2-2=2,所以=

｛7n-i9-所以對任意的n€N*,S“=2n是數(shù)列｛3｝中的n+1項，因此數(shù)列｛an｝是““數(shù)

列”.

（2）由題意即=l+（n—l）d,Sn=n+^^d,數(shù)列｛a“｝是“H數(shù)列”，則存在keN*,使

"+"=i+（k_i）d,k=等+專也+1,由于吟父6N*,又keN*,則學(xué)6Z對一切正

整數(shù)n都成立，所以d=—l.

（3）首先，若dn=bn（6是常數(shù)），則數(shù)列｛%｝前n項和為無=竺嚴(yán)人是數(shù)列｛4｝中的第

與2項，因此｛d“｝是“，數(shù)列”，對任意的等差數(shù)列｛即｝,即=%+5-1）4（d是公差），

設(shè)匕=71%,cn=（d-a1）（n-l）,則而=%+%,而數(shù)列｛九｝，｛7｝都是“H數(shù)列”，證畢.

【考點(diǎn)】（1）新定義與數(shù)列的項，（2）數(shù)列的項與整數(shù)的整除；（3）構(gòu)造法.

22.【答案】（1）具有（2）見解析（3）最小值為147

【解析】試題分析：

（1）利用性質(zhì)P的含義及特例可判斷數(shù)集｛1,3,4｝不具有性質(zhì)P,數(shù)集｛1,2,3,6｝具有性質(zhì)

P.（2）數(shù)集A具有性質(zhì)P可得an_]W2ctn_2，an_22an_3,?--a3<2a2>a2<2ax,

aaa

將上述不等式相加得。2+…+n-l+n-2（%+a?+…+n-l）,化簡得W2al+a2+,?1+

即_1，即為所求.（3）由的=1及性質(zhì)P可得。2=2%=2,從而易知數(shù)集4的元素都是整

數(shù)，構(gòu)造A=｛1,2,3,6,7,18,36,72｝或者4=｛1,2,4,5,9,18,36,72｝,此時元素和為147,然后再證明147

是最小的和.

試題解析：

（1）V31+1,

???數(shù)集｛134｝不具有性質(zhì)P.

V2=1+1,3=14-2,6=3+3,

???數(shù)集｛123,6｝具有性質(zhì)P.

（2）???集合4=｛的,。2，???，@71｝具有性質(zhì)2：即對任意的依24上工九），玉，使得

以=Q/+可成立,

又1=Q1V。2…VQn，n>2,

??Qj<CL/^,CLj<CLj^,

ai—ak-l?aj-ak-l?

??cik~~Qj+Qj-2@上一］,

&PQn—i—2a九一？，a九一242a九_3，ci242a2，。2—2。1，

將上述不等式相加得。2+…+an-l+即42（的+。2+…+an-l）9

a

化簡得anW2al+@2+…+n-l-

（3）最小值為147.

首先注意到的=1,根據(jù)性質(zhì)P,得到g=2。1=2,

所以易知數(shù)集A的元素都是整數(shù)，

構(gòu)造4=｛1,236,7,18,36,72｝或者A=｛1,2,4,5,9,18,36,72｝,這兩個集合具有性質(zhì)P,此時元素和為

147.

下面，證明147是最小的和.

假設(shè)數(shù)集A=｛的,3…,冊｝（。1Vg<…<an，兀N2）,滿足S=￡匕at<147最小（存在性顯然，

因?yàn)闈M足2匕火4147的數(shù)集4只有有限個）.

第一步：首先說明集合4=｛的,。2,…,%J（Q1V。2〈…Van?nN2）中至少有8個元素：

由（2）可知，a2<2alfa3<2a2y…，

又％=1,

/.a2<2,a3<4,an<8,a5<16,a6<32,a7<64<72,

:.n>8.

第二步：證明a71T=36,an_2=18,an_3=9,

若36eA,設(shè)%=36,

?.?an=72=36+36,為了使S=XLQj最小，

在集合4中一定不含有元素以，使得36<以<72,

從而a九_1=36；

若36C4,根據(jù)性質(zhì)P,對冊=72,有四，%,使得an=72=Qj+%,

顯然見WQj,

/.an+4-卬=144,

此時集合4中至少有5個不同于an,的元素，

從而S>（an+Qj+a7）+5al=149,矛盾,

/.36E71,進(jìn)而，at=36,且Qn_i=36.

同理可證：若18WA,則an_2=18.

假設(shè)18任4,

Van_i=36,根據(jù)性質(zhì)P,有即dj,使得an_i=36=Q,+%?,

顯然QiHq，

CLn+Un-i+Qj+Oy=144,

此時集合A中至少還有4個不同于an,an_i，Qj,%?的元素，

從而S>（Qn+ct[+Qj+Q九一i）+4al=148,矛盾，

18EA,且an_2=18,

同理可證：若9W4則an_3=9.

假設(shè)904

Van_2=18,根據(jù)性質(zhì)P,有四，%,使得a吁2=18=Qi+%，

顯然火。Qj，

***an+即-1+。八-2+四+%=144,

此時集合4中至少還有3個不同于Qn,Qn_i，an_2，Qj的元素，

從而S>an+cin-i+%-2+%+Qj+3al=147,矛盾，

/.9Gi4,且冊_3=9.

至此，我們得到3。九_1=36,an_2=18,an_3=9,a=7,%=2,

根據(jù)性質(zhì)P,有心,Q/,使得9=%+卬，我們需要考慮如下兒種情形:

①為=8,ay=1,此時集合中至少還需要一個大于等于4的元素a。才能得到元素8,則S>

148；

②%=7,aj=2,此時集合中至少還需要一個大于4的元素以，才能得到元素7,則S>

148；

③為=6,%=3,此時集合4={1,2,3,6,9,18,36,72},S最小=147；

④為=5,a,=4,此時集合4={1,2,4,5,9,18,36,72},S=147.

綜上所述，若a“=72,則數(shù)集A中所有元素的和的最小值是147.

23.【答案】解：由f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-8,0)上遞增，可知f(x)

在(0,+8)上遞減.

:2a2+a+l=2(a+)2+?>0,2a2-2a+3=2(a->0,且f(2a

2+a+l)<f(2a2-2a+3),

A2a2+a+l>2a2-2a+3,即3a-2>0,解得a>?.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a>.

【解析】利用函數(shù)f(x)的奇偶性、單調(diào)性可判斷函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性，根據(jù)

2a2+a+l,2aJ2a+3的范圍可知其大小關(guān)系，解出即可.

24.【答案】m的取值范圍是(一8,-》

【解析】試題分析：給出的分式不等式的分子恒大于0,因此不等式恒成立轉(zhuǎn)化為二次不

等式恒成立問題，然后分m=0和mWO討論，當(dāng)mWO時只需二次項系數(shù)小于0,且判別式

小于0聯(lián)立不等式組求解.

???/_8x+20=(x-4)2+4>0,不等式「一皇華?！?lt;0的解集為R

2

...不等式mx+2(m+l)x+9m+4<0①的解集為R

當(dāng)m=0時，不等式①可化為2%+4<0,解集不為R,不合題意.

當(dāng)m*。時，則b⑺+1）產(chǎn)：需97n+4）<0

解得m<-的取值范圍是（-oo,-1）.

考點(diǎn)：不等式恒成立問題；考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法；分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

25.【答案】解：a、b的大小關(guān)系為：a<b,證明如下：；a=.+20,b=2+

>0,

/.a2=11+4,b2=11+4,

..22

.a<b,

/.a<b

【解析】由已知求得a2,b2的值并比較大小即可得解.

26.【答案】（1）見解析.

（2）^m|—1<m<3j.

【解析】（I）方程ax2-x=0的兩根為％=0或x='分（1）當(dāng)a>0時、（2）當(dāng)a<0

時兩種情況，依據(jù)三和0的大小關(guān)系，解一元二次不等式求得它的解集；（II）利用不等

a

式恒成立，通過二次項的系數(shù)是否為0,分類轉(zhuǎn)化求解即可.（I）Va0,.??方程收一

x=0的兩根為刀=0或x=；

.?.當(dāng)a>0時，5>0,此時不等式的解集為｛x|x<0或4>非

.?.當(dāng)a<0時，：<0,此時不等式的解集為｛*<x<。｝.

(細(xì)則：解集寫不等式的扣1分，寫區(qū)間不扣分)

(II)當(dāng)巾2—2m—3=0時,m=-1或m=3.

當(dāng)m=3時，一1<0符合題意；當(dāng)zn=-l時不合題意，所以m=3.

當(dāng)巾2_2m_3羊0時，m需滿足°/江

(.(m