新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題11 立體幾何 11.2外接球和內(nèi)切球（解析版）

專題十一《立體幾何》講義11.2外接球與內(nèi)切球題型一.長(zhǎng)方體模型1．已知球O面上的四點(diǎn)A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC=3，則球OA．43π B．162π3 【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圓的直徑為AC，AC=6由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD為球的直徑，CD=DA∴球的半徑R=3∴V球=43πR3故選：D．2．四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為200π．【解答】解：四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，補(bǔ)形成為長(zhǎng)方體，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為長(zhǎng)方體面對(duì)角線的長(zhǎng)．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c．則a2那么：2（a2+b2+c2）＝400．a(chǎn)2+b2+c2＝200．長(zhǎng)方體的對(duì)角線：200，外接球的半徑2R=200∴R＝52．四面體A﹣BCD外接球的表面積S＝4πR2＝200π．故答案為：200π．3．（2012?遼寧）已知正三棱錐P﹣ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為3的球面上，若PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面ABC的距離為33【解答】解：∵正三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，∵球O的半徑為3，∴正方體的棱長(zhǎng)為2，即PA＝PB＝PC＝2球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P﹣ABC的體積V=13S△ABC×h=13S△PAB×PC=13△ABC為邊長(zhǎng)為22的正三角形，S△ABC=34×∴h=∴正方體中心O到截面ABC的距離為3故答案為3題型二.柱體模型1．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B．3π4 C．π2 【解答】解：∵圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，∴該圓柱底面圓周半徑r=1∴該圓柱的體積：V＝Sh=π×(3故選：B．2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于8π．【解答】解：設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圓的圓心分別是點(diǎn)P，M，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半徑為R，如圖所示：，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O為線段PM的中點(diǎn)，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得：cos1200=A∴由正弦定理得：2r=BCsin1200∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面積為：4πR2＝8π，故答案為：8π．3．若三棱錐P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．103π B．18π C．20π D．93π【解答】解：三棱錐P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，故該三棱錐為圖中正六棱柱內(nèi)的三棱錐P﹣ABC，所以該三棱錐的外接球即為該六棱柱的外接球，所以外接球的直徑2R=4則R=5所以該球的表面積為S=4πR2=4π?(故選：C．題型三.正棱錐模型1．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（）A．81π4 B．16π C．9π D．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則∵棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，∴R2＝（4﹣R）2+（2）2，∴R=9∴球的表面積為4π?（94）2=故選：A．2．一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)以球心為圓心的圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．334 B．33 C．3【解答】解：正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，設(shè)球的半徑為1，所以底面三角形的邊長(zhǎng)為a，23×32該正三棱錐的體積：13故選：C．3．如圖ABCD﹣A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方體，S﹣ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．916π B．2516π C．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則∵底面正方形的外接圓的半徑為22∴由勾股定理可得R2＝（22）2+（2﹣R）2∴R=9∴球的表面積為4πR2=8116故選：D．題型四.一般錐的外接球1．已知三棱錐D﹣ABC四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為R的球面上，且AB=BC=2，AC＝2，若該三棱錐體積的最大值為43，則這個(gè)球的表面積為289π【解答】解：因?yàn)锳B=BC=2，AC則AB⊥BC，且△ABC外接圓的半徑為1，因?yàn)樵撊忮F體積的最大值為43則V=1則h＝4，即點(diǎn)D到平面ABC的距離最大為4，設(shè)球的半徑為R，則R2＝1+（4﹣R）2，解之得R=17則表面積為289π16故答案為：289π162．四面體PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，則球O的表面積為（）A．64π B．65π C．66π D．128π【解答】解：由于PB＝PC，取BC的中點(diǎn)為O'，則PO'⊥BC，由于平面ABC⊥平面PBC，即有PO'⊥平面ABC，∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，∴PB＝6，PO'＝42，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，∴sin∠ABC=4∴2r=6設(shè)球的半徑為R，球心到平面ABC的距離為h，則（922）2+h2＝（42?h）2+（42?92解得R=65球O的表面積為4πR2＝65π，故選：B．3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB=3，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小為2π3，則三棱錐P﹣A．43π B．32π C．776π【解答】解：取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則∠PEC=2π3，PE＝設(shè)△BCD的外接圓的圓心與球心的距離為h，三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑為R，則R2∴R=72，h∴三棱錐P﹣BCD的外接球體積為43故選：C．4．已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝4，則此棱錐的體積為（）A．423 B．433 C．【解答】解：因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以△ABC外接圓的半徑r=2所以點(diǎn)O到平面ABC的距離d=RSC為球O的直徑，點(diǎn)S到平面ABC的距離為2d=4此棱錐的體積為V=1故選：A．題型五.內(nèi)切球1．將半徑為3，圓心角為2π3A．2π3 B．3π3 C．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr=2π∴r＝1，h=32?1設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則R2∴R=22，V=43πR3=43π（故選：A．2．正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1：(3+3) C．(【解答】解：三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它的對(duì)角線的長(zhǎng)度，就是球的直徑，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，則它的對(duì)角線的長(zhǎng)度為：3a球的半徑為：3a再設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，根據(jù)三棱錐的體積的兩種求法，得13×12×a3=∴r=3?∴該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為3?3故選：D．3．如圖是棱長(zhǎng)為2的正八面體（八個(gè)面都是全等的等邊三角形），球O是該正八面體的內(nèi)切球，則球O的表面積為（）A．8π3 B．4π3 C．86【解答】解：由題意，該八面體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)球O的半徑為r，13S表所以球O的表面積為：4π×(2故選：A．課后作業(yè).外接球與內(nèi)切球1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥底面ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若PB＝1，∠APB＝∠BAD=π3，則三棱錐P﹣AOB的外接球的體積是43π【解答】解：如圖，∵底面ABCD為菱形，∴OA⊥OB，∴AB中點(diǎn)N為△AOB的外心，取PA中點(diǎn)M，則MN∥PB，∵PB⊥底面ABCD，∴MN⊥底面ABCD，∴M為三棱錐P﹣AOB的外接球球心，∵PB＝1，∠APB=π∴AP＝2，∴外接球半徑為1，體積為43π故答案為：4π32．已知正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（）A．74π B．2π C．94π 【解答】解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R＝2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O＝1，∴Rt△O1OA中，O1A=O又∵E為AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴AE＝AO1cos30°=3∵過(guò)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，∴當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值．此時(shí)截面圓的半徑r=3可得截面面積為S＝πr2=9π故選：C．3．（2018·全國(guó)3）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為93，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．123 B．183 C．243 D．543【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為93，可得34×AB球心為O，三角形ABC的外心為O′，顯然D在O′O的延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)如圖：O′C=23×32則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：13×3故選：B．4．已知在四面體ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．20π3 B．6π C．22π3 【解答】解：如圖取BD中點(diǎn)H，AC中點(diǎn)M，連接MH因?yàn)锳B＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC所以BD⊥CH，BD⊥AH，則BD⊥面ACH，三角形ACH是等腰直角三角形．所以MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH=3所以球心必落在直線MH上，設(shè)為點(diǎn)O，連接OA、OD，則OA＝OD＝OC＝OB．設(shè)OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以O(shè)D2＝x2+1在三角形AOH中，OA2＝x2+32﹣23xcos45所以x2+1＝x2+32﹣23xcos45°，解得x=6故外接球的表面積S＝4π故選：A．5．（2011·遼寧）已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=3，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S﹣ABCA．33 B．23 C．3 D．1【解答】解：設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接OD，CD．因?yàn)榫€段SC是球的直徑，所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC＝∠SBC＝90°所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30°得：AC＝2，SA＝23又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30°得：BC＝2，SB＝23則：SA＝SB，AC＝BC因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=又SD交CD于點(diǎn)D所以：AB⊥平面SCD即：棱錐S﹣ABC的體積：V=13AB?S△因?yàn)椋篠D=352，CD=132，SC＝4所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）則：sin∠SDC=由三角形面積公式得△SCD的面積S=12SD?CD?sin∠SDC所以：棱錐S﹣ABC的體積：V=13AB?S△故選：C．6．在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，AP＝3，AB＝23，Q是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PQ與平面ABC所成角的最大值為π3，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為57π；則三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑為【解答】解：如圖，Q是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC