高考數(shù)學B版真題及模擬：函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用

函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用A組

自主命題·北京卷題組1.(2015北京,8,5分,0.85)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了

甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是

()

A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油答案

D對于A選項:由題圖可知,當乙車速度大于40km/h時,乙車每消耗1升汽油,行駛里程

都超過5km,則A錯;對于B選項:由題意可知,以相同速度行駛相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三輛車中甲車

耗油最少,則B錯;對于C選項:甲車以80千米/小時的速度行駛時,燃油效率為10km/L,則行駛1小時,消耗了汽油8

0×1÷10=8(升),則C錯;對于選項D:當行駛速度小于80km/h時,在相同條件下,丙車的燃油效率高于乙車,則在該市用

丙車比用乙車更省油,則D對.綜上,選D.思路分析先認真審題,對燃油效率的定義要有清楚的認識,然后通過圖象中的信息,依次對選

項進行判斷.2.(2015北京文,8,5分)某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情

況.注:“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為

()A.6升

B.8升

C.10升

D.12升加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600答案

B根據(jù)題意可知5月1日至5月15日這段時間的行程為35600-35000=600千米,耗油48

升,所以該車每100千米平均耗油量為48×(100÷600)=8升.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一函數(shù)的實際應用1.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,

則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為

()A.

B.

C.

D.

-1答案

D設兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a,則第二年年底的生產(chǎn)總值為a(1+p)(1+q).設這

兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,則a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于連續(xù)兩年持續(xù)增加,所以x>0,因

此x=

-1,故選D.2.(2018浙江,11,6分)我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢

五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設雞翁,雞母,雞

雛個數(shù)分別為x,y,z,則

當z=81時,x=

,y=

.答案8;11解析把z=81代入方程組,化簡得

解得x=8,y=11.3.(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關系y=ekx+b

(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時間是192小時,在22℃的保

鮮時間是48小時,則該食品在33℃的保鮮時間是

小時.答案24解析依題意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=

=

=

,所以e11k=

或-

(舍去),于是該食品在33℃的保鮮時間是e33k+b=(e11k)3·eb=

×192=24(小時).評析本題考查了函數(shù)的應用,考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.考點二函數(shù)的綜合應用(2014山東,15,5分)已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關于f(x)的“對稱函數(shù)”

為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對任意x∈I,兩個點(x,h(x)),(x,g(x))關于點(x,f(x))對稱.若h(x)是g(x)=

關于f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是

.答案(2

,+∞)解析函數(shù)g(x)=

的圖象是以坐標原點為圓心,2為半徑的圓在x軸上及其上方的部分.由題意可知,對任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0,f(x0))是點(x0,h(x0))和點(x0,g(x0))連線的中點,

又h(x)>g(x)恒成立,所以直線f(x)=3x+b與半圓g(x)=

相離且b>0,即

解之得b>2

.所以實數(shù)b的取值范圍為(2

,+∞).

評析本題考查新定義問題以及直線與圓的位置關系的應用.本題的易錯點有兩處:①不能正

確理解“對稱函數(shù)”的定義,造成題目無法求解;②忽視h(x)>g(x)的隱含條件:直線f(x)=3x+b與

半圓相離,且直線f(x)=3x+b在y軸上的截距b>0.C組

教師專用題組考點一函數(shù)的實際應用1.(2010北京,14,5分)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動.設頂點P(x,y)的縱坐標與橫

坐標的函數(shù)關系式是y=f(x),則f(x)的最小正周期為

;y=f(x)在其兩個相鄰零點間的圖象

與x軸所圍區(qū)域的面積為

.說明:“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的

是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn),當頂點B落在x軸上時,再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn),如此繼

續(xù).類似地,正方形PABC可以沿x軸負方向滾動.

解析由題意知正方形分別以A、B、C、P為旋轉(zhuǎn)點滾動一次,P點軌跡重復出現(xiàn),P點軌跡如

圖所示,故f(x)的最小正周期為4.y=f(x)在其兩個相鄰零點間的圖形與x軸所圍區(qū)域如圖陰影部

分所示.

圖形由兩個半徑為1的

圓及兩個邊長為1的正方形和一個半徑為

的弓形組成,其面積S=2×

π×12+2+

π×(

)2-

×2×1=

+2+

-1=π+1.答案4;π+1命題立意本題考查了周期的定義及不規(guī)則圖形的求解,分割法是求解此題的關鍵.考查了學

生分析問題、解決問題的能力.2.(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)

狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)

邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為

5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立

平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數(shù)y=

(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值;(2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.

解析(1)由題意知,點M,N的坐標分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=

,得

解得

(2)①由(1)知,y=

(5≤x≤20),則點P的坐標為

,

設在點P處的切線l交x,y軸分別于A,B點,y'=-

,則l的方程為y-

=-

(x-t),由此得A

,B

.故f(t)=

=

,t∈[5,20].②設g(t)=t2+

,則g'(t)=2t-

.令g'(t)=0,解得t=10

.當t∈(5,10

)時,g'(t)<0,g(t)是減函數(shù);當t∈(10

,20)時,g'(t)>0,g(t)是增函數(shù);從而,當t=10

時,函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時f(t)min=15

.答:當t=10

時,公路l的長度最短,最短長度為15

千米.評析本題主要考查函數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義及其應用,考查運用數(shù)學模型及數(shù)學知識

分析和解決實際問題的能力.1.(2014湖北,14,5分)設f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0,對任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(a,f(a)),

(b,-f(b))的直線與x軸的交點為(c,0),則稱c為a,b關于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當f(x)=

1(x>0)時,可得Mf(a,b)=c=

,即Mf(a,b)為a,b的算術平均數(shù).(1)當f(x)=

(x>0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);(2)當f(x)=

(x>0)時,Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)

.(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)考點二函數(shù)的綜合應用解析(1)若Mf(a,b)是a,b的幾何平均數(shù),則c=

.由題意知,(a,f(a)),(

,0),(b,-f(b))共線,∴

=

,∴

=

,∴可取f(x)=

.(2)若Mf(a,b)是a,b的調(diào)和平均數(shù),則c=

,由題意知,(a,f(a)),

,(b,-f(b))共線,∴

=

,化簡得

=

,∴可取f(x)=x.2.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函數(shù)F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故當x≤1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,當x>1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a].(2)(i)設函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定義知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=

(ii)當0≤x≤2時,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),當2≤x≤6時,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=

max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=

評析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎知識,同時考查推

理論證能力、分析問題和解決問題的能力.思路分析(1)先分類討論去掉絕對值符號,再利用作差法求解;(2)分段函數(shù)求最值的方法是

分別求出各段上的最值,較大(小)的值就是這個函數(shù)的最大(小)值.A組

2016—2018年高考模擬·基礎題組(時間:25分鐘分值:40分)選擇題(每題5分,共40分)1.(2018北京門頭溝一模,8)某電力公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準

進行綜合評分的,按照綜合得分的高低進行綜合排序,綜合排序高者中標.分值權重表如下:總分技術商務報價100%50%10%40%技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質(zhì)、資信等實力來決定的.報價標則相對靈活,報

價標的評分方法:基準價的基準分是68分,若報價每高于基準價1%,則在基準分的基礎上扣0.8

分,最低得分為48分;若報價每低于基準價1%,則在基準分的基礎上加0.8分,最高得分為80分.

若報價低于基準價15%以上(不含15%),每再低1%,在80分的基礎上扣0.8分.在某次招標中,基準價為1000萬元.甲、乙兩公司的綜合得分如下表:公司技術商務報價甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的報價為1100萬元,乙公司的報價為800萬元,則甲,乙公司的綜合得分分別是

()A.73分,75.4分

B.73分,80分

C.74.6分,76分

D.74.6分,75.4分答案

A甲公司的報價為1100萬元,高于基準價10%,所以扣8分,報價分為68-8=60分,所以甲

公司的綜合得分為80×50%+90×10%+60×40%=73分;乙公司的報價為800萬元,報價低于基準

價20%,所以報價分為80-0.8×5=76分,所以乙公司的綜合得分為70×50%+100×10%+76×40%=7

5.4分,故選A.2.(2017北京東城二模,7)動點P從點A出發(fā),按逆時針方向沿周長為l的平面圖形運動一周,A,P兩

點間的距離y與動點P所走過的路程x的關系如圖所示,那么動點P所走的圖形可能是

()

答案

D對于A,當點P在邊AB上運動時,y=x,不符合題意;對于B,在橢圓中,y與x的函數(shù)關系的圖象不是對稱的,不符合題意;對于C,當點P在邊AB上運動時,y=x,不符合題意;對于D,當點P運動到AP是直徑時,y最大,此時,x=

,符合題意.故選D.3.(2017北京順義二模,8)某學校為了提高學生綜合素質(zhì)、樹立社會主義榮辱觀、發(fā)展創(chuàng)新能

力和實踐能力、促進學生健康成長,開展評選“校園之星”活動.規(guī)定各班每10人推選一名候

選人,當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于7時再增選一名候選人,那么,各班可推選候選人人數(shù)y與該

班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為

()A.y=

B.y=

C.y=

D.y=

答案

B采用特值法.令余數(shù)分別為7或8,將兩個臨界值代入選項加以判斷.

=0,

=0,排除A;

=0,

=1,B符合;

=1,

=1,排除C;

=1,

=1,排除D.故選B.4.(2016北京東城二模,6)一名顧客計劃到商場購物,他有三張優(yōu)惠券,每張優(yōu)惠券只能購買一件

商品.根據(jù)購買商品的標價,三張優(yōu)惠券的優(yōu)惠方式不同,具體如下:優(yōu)惠券1:若標價超過50元,則付款時減免標價的10%;優(yōu)惠券2:若標價超過100元,則付款時減免20元;優(yōu)惠券3:若標價超過100元,則超過100元的部分減免18%.若顧客購買某商品后,使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多,則他購買的商品的標價

可能為

()A.179元

B.199元C.219元

D.239元答案

C設他購買的商品的標價為x元(x>100),則

解得200<x<225,故選C.5.(2016北京朝陽一模,6)某工廠一年中各月份的收入、支出情況如圖所示,下列說法中錯誤的

是

()A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個月的平均收入為40萬元(注:結余=收入-支出)答案

D

A、B、C均正確,D:前6個月的平均收入為

=45(萬元).6.(2017北京平谷零模,8)某位股民購進某支股票,在接下來的交易時間內(nèi),他的這支股票先經(jīng)歷

了5次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了5次跌停(每次下跌10%),則該股民購進的這支股票的盈虧

情況(不考慮其他費用)為

()A.略有盈利B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況答案

B設該股民購進這支股票的價格為a元,則(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a<a.所以該股民購進的這支股票略有虧損.故選B.7.(2016北京朝陽統(tǒng)一考試)設某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值

t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生

產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎上增長了1.2x%.

若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是

()A.15

B.16

C.17

D.18答案

B由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t(萬元),分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)

(1+1.2x%)t(萬元),則由

解得0<x≤

.因為x∈N*,所以x的最大值為16.8.(2016北京房山二模,8)為促進資源節(jié)約型和環(huán)境友好型社會建設,引導居民合理用電、節(jié)約

用電,北京居民生活用電試行階梯電價.其電價標準如下表:北京市某戶居民2016年1月的平均電費為0.4983(元/千瓦時),則該用戶1月份的用電量為

(

)A.350千瓦時

B.300千瓦時C.250千瓦時

D.200千瓦時用戶類別分檔電量(千瓦時/戶·月)電價標準(元/千瓦時)試行階梯電價的用戶一檔1~240(含)0.4883二檔241~400(含)0.5383三檔400以上0.7883答案

B∵北京市某戶居民2016年1月的平均電費為0.4983(元/千瓦時),∴設該戶居民月用電量為x千瓦時,則241≤x≤400,根據(jù)題意得240×0.4883+(x-240)×0.5383=0.4983x,解得x=300.所以B選項是正確的.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:20分鐘分值:30分)一、選擇題(共5分)1.(2018北京房山一模,8)如圖,直線AB與單位圓相切于點O,射線OP從OA出發(fā),繞著點O逆時針

旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過程中,記∠AOP=x(0<x<π),OP經(jīng)過的單位圓O內(nèi)區(qū)域(陰影部分)的面積為S,記

S=f(x),則下列判斷正確的是

()

A.當x=

時,S=

-

B.當x∈(0,π)時,f(x)為減函數(shù)C.對任意x∈

,都有f

+f

=πD.對任意x∈

,都有f

=f(x)+

答案

C當x=

時,S=π-

=

+

,故A錯,f(x)顯然是增函數(shù),故B錯;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程可得函數(shù)f(x)的圖象關于x=

對稱,故D錯,C正確.解后反思本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與實際問題的結合,通過幾何圖形得到函數(shù)的對稱性、單

調(diào)性是關鍵.2.(2018北京東城一模,14)單位圓的內(nèi)接正n(n≥3)邊形的面積記為f(n),則f(3)=

.下面是關于f(n)的描述:①f(n)=

sin

;②f(n)的最大值為π;③f(n)<f(n+1);④f(n)<f(2n)≤2f(n).其中正確結論的序號為

.(注:請寫出所有正確結論的序號)二、填空題(每題5分,共25分)答案

;①③④解析單位圓的內(nèi)接正n邊形可拆解為n個等腰三角形,腰長為單位長度1,頂角為

,每個三角形的面積為

sin

,所以正n邊形的面積為f(n)=

sin

,所以①正確,f(3)=

sin

=

×

=

.正n邊形的面積無法等于圓的面積,所以②不對.隨著n的值增大,正n邊形的面積也越來越大,所以③正確.當且僅當n=3時,有2f(3)=f(6),由幾何圖形可知其他情況下都有f(2n)<2f(n),所以④正確.3.(2018北京東城二模,14)某種物質(zhì)在時刻t(min)的濃度M(mg/L)與t的函數(shù)關系為M(t)=art+24

(a,r為常數(shù)).在t=0min和t=1min時,測得該物質(zhì)的濃度分別為124mg/L和64mg/L,那么在t=4

min時,該物質(zhì)的濃度為

mg/L;若該物質(zhì)的濃度小于24.001mg/L,則最小的整數(shù)t的值

為

.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)解析

t=0時,M=124,即a+24=124,解得a=100;t=1時,M=64,即ar+24=64,∴r=

,即M(t)=100

+24,將t=4代入得M(4)=26.56.由題意得100

+24<24.001,即100

<0.001,即

<10-5,兩邊取以10為底的對數(shù)得tlg

<-5,t(lg2-lg5)<-5,t[lg2-(1-lg2)]<-5,t(2lg2-1)<-5,∴t>

,∴tmin=13.答案26.56;13解題思路先由已知條件求出M(t)=art+24的解析式,易得第一個空的答案,第二個空的難度主

要是解對數(shù)不等式.解不等式時要注意lg

<0,否則非常容易出錯.4.(2018北京朝陽二模,14)如圖,已知四面體ABCD的棱AB∥平面α,且AB=

,其余的棱長均為1.四面體ABCD以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)x弧度,且始終在水平放置的平面α的上方.如果將四面

體ABCD在平面α內(nèi)正投影的面積看成關于x的函數(shù),記為S(x),則函數(shù)S(x)的最小值為

;

S(x)的最小正周期為

.

答案

;π解析從側面看,如圖1,只需考慮△BCD繞著B點旋轉(zhuǎn)時,C,D兩點在直線l上的投影.

圖1①當旋轉(zhuǎn)

時,投影最短為

,∴Smin=

×

×

=

.②隨著旋轉(zhuǎn),S=

圖2當△BCD第一次旋轉(zhuǎn)到圖2位置時,C,D兩點在直線l上的投影又回到了圖1,∴S(x)的最小正周

期為π.5.(2017北京房山一模,14)《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定:從2011年9月1日開始,個人

所得稅起征點由原來的2000元提高到3500元,也就是說原來月收入超過2000元的部分需要

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