高考數(shù)學(xué)B版真題及模擬：直線、圓的位置關(guān)系

直線、圓的位置關(guān)系高考理數(shù)

(北京市專用)A組

自主命題·北京卷題組(2014北京,19,14分,0.52)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位

置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解析(1)由題意知,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故橢圓C的離心率e=

=

.(2)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.當(dāng)x0=t時(shí),y0=-

,代入橢圓C的方程,得t=±

,故直線AB的方程為x=±

.圓心O到直線AB的距離d=

.此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切.當(dāng)x0≠t時(shí),直線AB的方程為y-2=

(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圓心O到直線AB的距離d=

.又

+2

=4,t=-

,故d=

=

=

.此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切.評(píng)析本題考查了橢圓的相關(guān)知識(shí),直線與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)法等知識(shí);考查數(shù)形結(jié)合思想、

推理論證能力.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,6,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△

ABP面積的取值范圍是

()A.[2,6]

B.[4,8]

C.[

,3

]

D.[2

,3

]答案

A本題考查直線與圓的位置關(guān)系.由圓(x-2)2+y2=2可得圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=

,△ABP的面積記為S,點(diǎn)P到直線AB的距離記為d,則有S=

|AB|·d.易知|AB|=2

,dmax=

+

=3

,dmin=

-

=

,所以2≤S≤6,故選A.方法總結(jié)與圓有關(guān)的最值問題的解題方法(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題,一般利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)的代數(shù)式的最值的常見類型及解法.①形如u=

的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題;②形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截

距的最值問題;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,4,5分)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=

()A.-

B.-

C.

D.2答案

A圓的方程可化為(x-1)2+(y-4)2=4,則圓心坐標(biāo)為(1,4),圓心到直線ax+y-1=0的距離為

=1,解得a=-

.故選A.3.(2015廣東,5,5分)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是

()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+

=0或2x+y-

=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+

=0或2x-y-

=0答案

A切線平行于直線2x+y+1=0,故可設(shè)切線方程為2x+y+c=0(c≠1),結(jié)合題意可得

=

,解得c=±5.故選A.4.(2015重慶,8,5分)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作

圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=

()A.2

B.4

C.6

D.2

答案

C圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=22,圓心為C(2,1),半徑r=2,由直線l是圓C的對(duì)稱軸,知直線l過點(diǎn)C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=

=

=6.故選C.5.(2018江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB

為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若

·

=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

.答案3解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)A(a,2a),a>0,則C

,∴圓C的方程為

+(y-a)2=

+a2,由

得

∴

·

=(5-a,-2a)·

=

+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.一題多解由題意易得∠BAD=45°.設(shè)直線DB的傾斜角為θ,則tanθ=-

,∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.∴AB的方程為y=-3(x-5),由

得xA=3.

6.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,16,5分)已知直線l:mx+y+3m-

=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=2

,則|CD|=

.答案4解析由題意可知直線l過定點(diǎn)(-3,

),該定點(diǎn)在圓x2+y2=12上,不妨設(shè)點(diǎn)A(-3,

),由于|AB|=2

,r=2

,所以圓心到直線AB的距離為d=

=3,又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

=3,解得m=-

,所以直線l的斜率k=-m=

,即直線l的傾斜角為30°.如圖,過點(diǎn)C作CH⊥BD,垂足為H,所以|CH|=2

,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|=

=4.

解后反思涉及直線與圓的位置關(guān)系的問題要充分利用圓的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的思想方法

求解.7.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相

切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知該直線過定點(diǎn)(2,-1),從而點(diǎn)(1,0)與直線mx-y-2m-1=0的距離的最大值為

=

,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.8.(2014湖北,12,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2

=

.答案2解析由題意知直線l1和l2與單位圓C所在的位置如圖.因此

或

故a2+b2=1+1=2.

評(píng)析本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,考查了直線的斜率和截距,考查了數(shù)形結(jié)合的思想方

法.正確畫出圖形求出a和b的值是解題的關(guān)鍵.9.(2014課標(biāo)Ⅱ,16,5分,0.293)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的

取值范圍是

.答案[-1,1]解析解法一:當(dāng)x0=0時(shí),M(0,1),由圓的幾何性質(zhì)得在圓上存在點(diǎn)N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.當(dāng)x0≠0時(shí),過M作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A、B.若在圓上存在N,使得∠OMN=45°,應(yīng)有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.綜上,-1≤x0≤1.

解法二:過O作OP⊥MN,P為垂足,OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤

,∴OM2≤2,∴

+1≤2,∴

≤1,∴-1≤x0≤1.評(píng)析本題考查了數(shù)形結(jié)合思想及分析問題、解決問題的能力.C組

教師專用題組1.(2015四川,10,5分)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且

M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是

()A.(1,3)

B.(1,4)

C.(2,3)

D.(2,4)答案

D當(dāng)直線AB的斜率不存在,且0<r<5時(shí),有兩條滿足題意的直線l.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),由拋物線與圓的對(duì)稱性知,kAB>0和kAB<0時(shí)各有一條滿足題意的直線l.設(shè)圓的圓心為C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則x0=

,y0=

,∴kAB=

=

=

.∵kCM=

,且kABkCM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+

>4(∵y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中點(diǎn)為M知B(6-x1,2y0-y1),∵點(diǎn)B,A在拋物線上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①

=4x1,②由①,②得

-2y0y1+2

-12=0,∵Δ=4

-4(2

-12)>0,∴

<12.∴r2=(3-5)2+

=4+

<16,∴r<4.綜上,r∈(2,4),故選D.2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與

直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為

()A.

πB.

πC.(6-2

)πD.

π答案

A由題意得以AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O,圓心C為AB的中點(diǎn),設(shè)D為切點(diǎn),要使圓C的面

積最小,只需圓的半徑最短,也只需OC+CD最小,其最小值為OE(過原點(diǎn)O作直線2x+y-4=0的垂

線,垂足為E)的長(zhǎng)度.由點(diǎn)到直線的距離公式得OE=

.∴圓C面積的最小值為π

=

π.故選A.

評(píng)析本題考查了直線和圓的位置關(guān)系.考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法.利用圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直

線的距離公式得到圓的直徑的最小值為OE的長(zhǎng)度是求解的關(guān)鍵.3.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上.若

·

≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

.答案[-5

,1]解析本題考查平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用,圓的方程的應(yīng)用及圓與圓的相交.解法一:設(shè)P(x,y),則由

·

≤20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即(x+6)2+(y-3)2≤65,所以P為圓(x+6)2+(y-3)2=65上或其內(nèi)部一點(diǎn).又點(diǎn)P在圓x2+y2=50上,聯(lián)立得

解得

或

即P為圓x2+y2=50的劣弧MN上的一點(diǎn)(如圖),

易知-5

≤x≤1.解法二:設(shè)P(x,y),則由

·

≤20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即x2+12x+y2-6y≤20,由于點(diǎn)P在圓x2+y2=50上,故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,∴點(diǎn)P為圓x2+y2=50上且滿足2x-y+5≤0的點(diǎn),即P為圓x2+y2=50的劣弧MN上的一點(diǎn)(如圖),

同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5),易知-5

≤x≤1.4.(2015廣東,20,14分)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不

存在,說明理由.解析(1)圓C1的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),則x0=

,y0=

.由題意可知直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y=tx.將上述方程代入圓C1的方程,化簡(jiǎn)得(1+t2)x2-6x+5=0.由題意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=

,所以x0=

,代入直線l的方程,得y0=

.因?yàn)?/p>

+

=

+

=

=

=3x0,所以

+

=

.由(*)解得t2<

,又t2≥0,所以

<x0≤3.所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為

+y2=

.(3)由(2)知,曲線C是在區(qū)間

上的一段圓弧.如圖,D

,E

,F(3,0),直線L過定點(diǎn)G(4,0).聯(lián)立直線L的方程與曲線C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判別式Δ=0,解得:k=±

,由求根公式解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xH,I=

∈

,由圖可知:要使直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),則k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈

∪

.

5.(2014江蘇,18,16分)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).

規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋

兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處,點(diǎn)C

位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=

.(1)求新橋BC的長(zhǎng);(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?

解析解法一:(1)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-

.因?yàn)锳B⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=

.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),則kBC=

=-

,kAB=

=

.解得a=80,b=120.所以BC=

=150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(0≤d≤60).由條件知,直線BC的方程為y=-

(x-170),即4x+3y-680=0.由于圓M與直線BC相切,故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,即r=

=

.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,所以

即

解得10≤d≤35.故當(dāng)d=10時(shí),r=

最大,即圓面積最大.所以當(dāng)OM=10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.解法二:(1)如圖,延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F.

因?yàn)閠an∠FCO=

,所以sin∠FCO=

,cos∠FCO=

.因?yàn)镺A=60,OC=170,所以O(shè)F=OCtan∠FCO=

,CF=

=

,從而AF=OF-OA=

.因?yàn)镺A⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=

.又因?yàn)锳B⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=

,從而BC=CF-BF=150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連接MD,則MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=rm,OM=dm(0≤d≤60).因?yàn)镺A⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=

=

=

=

,所以r=

.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,所以

即

解得10≤d≤35.故當(dāng)d=10時(shí),r=

最大,即圓面積最大.所以當(dāng)OM=10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.評(píng)析本題主要考查直線方程、直線與圓的位置關(guān)系和解三角形等基礎(chǔ)知識(shí),考查建立數(shù)學(xué)

模型及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時(shí)間:20分鐘分值:35分)一、選擇題(每題5分,共15分)1.(2018北京通州一模,6)已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與圓心為C的圓x2+y2+2x-8=0交于A,B兩點(diǎn),則|

-

|等于

()A.2

B.2

C.2

D.4

答案

D易知圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為3,則|

-

|=|

|=2

=4

,故選D.2.(2017北京海淀二模,4)圓x2+y2-2y=0與曲線y=|x|-1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

()A.4

B.3

C.2

D.0答案

D圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1,圓心為(0,1),半徑為1.y=|x|-1=

圓心(0,1)到直線y=x-1(或y=-x-1)的距離d=

>1,故公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.故選D.3.(2016北京海淀二模,8)已知直線l:ax+

y-1=0與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,直線l與圓O:x2+y2=1的交點(diǎn)為C,D.給出下面三個(gè)結(jié)論:①?a≥1,S△AOB=

;②?a≥1,|AB|<|CD|;③?a≥1,S△COD<

.其中,正確結(jié)論的序號(hào)是

()A.①②

B.②③C.①③

D.①②③答案

C由ax+

y-1=0得A

,B(0,a),S△AOB=

·

=

,故①正確;設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為h,因?yàn)镾△AOB=

|AB|h=

|OA|·|OB|=

,S△COD=

|CD|h=

|OC|·|OD|·sin∠COD≤

,所以|AB|≥|CD|,故②錯(cuò)誤,③正確.選C.4.(2017北京西城一模,12)曲線

(θ為參數(shù))與直線x+y-1=0相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

.二、填空題(共5分)答案2解析將曲線的參數(shù)方程化為普通方程為x2+(y-1)2=1,∴圓心為(0,1),∵直線x+y-1=0過圓心,∴AB為圓的直徑,|AB|=2.5.(2018北京西城一模,19)如圖,已知圓O:x2+y2=4和橢圓C:x2+2y2=4,F是橢圓C的左焦點(diǎn).(1)求橢圓C的離心率和點(diǎn)F的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P在橢圓C上,過P作x軸的垂線,交圓O于點(diǎn)Q(P,Q不重合),l是過點(diǎn)Q的圓O的切線.圓F的圓

心為點(diǎn)F,半徑長(zhǎng)為|PF|.試判斷直線l與圓F的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

三、解答題(共15分)解析(1)由題意,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1,所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故橢圓C的離心率e=

=

.橢圓C的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-

,0).(2)直線l與圓F相切.證明如下:設(shè)P(x0,y0),其中-2<x0<2,則

+2

=4,依題意可設(shè)Q(x0,y1),則

+

=4,直線l的方程為y-y1=-

(x-x0),整理為x0x+y1y-4=0.所以圓F的圓心F到直線l的距離d=

=

.因?yàn)閨PF|2=(x0+

)2+

=(x0+

)2+

(4-

)=

+2

x0+4,所以|PF|2=d2,即|PF|=d,所以直線l與圓F相切.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時(shí)間:25分鐘分值:45分)一、選擇題(每題5分,共15分)1.(2018北京海淀期末,5)已知直線x-y+m=0與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),且△OAB為正三角形,

則實(shí)數(shù)m的值為

()A.

B.

C.

或-

D.

或-

答案

D如圖,過O作OC⊥AB,則C為AB的中點(diǎn),|BC|=

,所以|OC|=

=

=

,所以|OC|=

=

,所以m=±

.

2.(2017北京海淀一模,6)已知曲線C:

(t為參數(shù)),A(-1,0),B(1,0).若曲線C上存在點(diǎn)P滿足

·

=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()A.

B.[-1,1]

C.[-

,

]

D.[-2,2]答案

C解法一:∵A(-1,0),B(1,0),曲線C上存在點(diǎn)P滿足

·

=0,∴點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=1.曲線C的普通方程為y=x+a,圓心(0,0)到曲線C的距離d=

,由題意,

≤1,即-

≤a≤

,∴選C.解法二:曲線C的普通方程為y=x+a,設(shè)P(x0,x0+a),則

=(x0+1,x0+a),

=(x0-1,x0+a),因?yàn)榍€C上存在點(diǎn)P滿足

·

=0,所以

-1+

+2ax0+a2=0,即2

+2ax0+a2-1=0,只需方程2

+2ax0+a2-1=0有實(shí)根,所以Δ=4a2-4·2(a2-1)≥0,解得-

≤a≤

.方法點(diǎn)撥當(dāng)直線和圓以參數(shù)方程的形式給出時(shí),常用方法為將參數(shù)方程化為普通方程,通過

研究直線和圓的位置關(guān)系解題,也可以直接利用直線的參數(shù)方程找到等量關(guān)系,構(gòu)造方程或不

等式解題.3.(2016北京西城二模,8)設(shè)直線l:3x+4y+a=0,圓C:(x-2)2+y2=2,若圓C上存在兩點(diǎn)P,Q,直線l上存

在一點(diǎn)M,使得∠PMQ=90°,則a的取值范圍是

()A.[-18,6]

B.[6-5

,6+5

]

C.[-16,4]

D.[-6-5

,-6+5

]答案

C如圖,在圓C上取P、Q兩點(diǎn),連接PQ,設(shè)弦心距為x,以PQ為直徑作圓D,與直線3x+4y+

a=0相切,此時(shí)圓心C(2,0)到直線3x+4y+a=0的距離d=x+

|PQ|=x+

,∴d2=2+2x

≤2+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”),∴

≤2,解得-16≤a≤4,故選C.

解題關(guān)鍵數(shù)形結(jié)合,把圓心C到直線l的距離等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.4.(2018北京一六一中學(xué)期中,9)已知圓C與直線x-y=0和x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則

圓C的方程為

.二、填空題(每題5分,共15分)答案(x-1)2+(y+1)2=2解析∵圓心在x+y=0上,∴設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a).∵圓C與直線x-y=0和x-y-4=0都相切,∴

=

=r,解得a=1,r2=2,∴圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.思路分析不妨設(shè)圓心為(a,-a),將相切的條件轉(zhuǎn)化為方程,即可求a和半徑,從而得到圓C的方

程.方法總結(jié)求圓的方程一般設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式,利用待定系數(shù)法求解.5.(2018北京朝陽一模,12)已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),若點(diǎn)M是圓x2+y2-2x+2y=0上的動(dòng)點(diǎn),則△ABM面

積的最小值為

.答案2解析圓M:x2+y2-2x+2y=0可化為(x-1)2+(y+1)2=2,故圓心為(1,-1),半徑r=

.因?yàn)锳(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2

.要求△ABM面積的最小值,只需求圓上的動(dòng)點(diǎn)M到直線AB的距離d的最小值,而圓心(1,-1)到直線AB的距離為2

,所以dmin=2

-r=2

-

=

,所以S△ABM的最小值為

·|AB|·dmin=

×2

×

=2.

思路分析|AB|為定值,要求△ABM面積的最小值,只需求圓上的動(dòng)點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值.6.(2016北京朝陽二模,14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)A(2,0)、曲線y=

上的動(dòng)點(diǎn)B、第一象限內(nèi)的點(diǎn)C為頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形ABC,且∠A=90°,則線段OC長(zhǎng)的最大值是