數(shù)學(xué)八年級(jí)下華東師大版194逆命題與逆定理測(cè)試題

19.4逆命題與逆定理測(cè)試題（120分100分鐘）一、基礎(chǔ)題（8題7分，其余每題各4分，共35分）1．在兩個(gè)直角三角形中，有兩條邊分別對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？如果不一定全等，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．2．寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷這些命題的真假．（1）如果∠α與∠β是鄰補(bǔ)角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等，那么這兩個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊相等．3．已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求證：AB=AE．4．已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，BD=CD．求證：AB=AC．5．已知：如圖，AC⊥CD，BD⊥CD，AB的垂直平分線EF交AB于E，交CD于F，且AC=FD．求證：△ABF是等腰直角三角形．6．判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形．（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a=，b=1，c=.7．在△ABC中，AC=2a，BC=a2+1，AB=a2-1，其中a﹥1，△8．如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=DA=2，∠D=90°，求∠BAD的度數(shù).二、學(xué)科內(nèi)綜合題（5分）9．已知等腰△ABC的底邊BC=8cm，且|AC-BC|=2A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm三、學(xué)科間綜合題（5分）10．一平面鏡以與水平成45°角固定在水平桌面上，如圖，小球以1米／秒的速度沿桌面向平面鏡勻速滾去，則小球在平面鏡里所成的像（）A．以1米／秒的速度，做豎直向上運(yùn)動(dòng) B．以l米／秒的速度，做豎直向下運(yùn)動(dòng)C．以2米／秒的速度，做豎直向上運(yùn)動(dòng) D．以2米／秒的速度，做豎直向下運(yùn)動(dòng)四、應(yīng)用題（10分）11．如圖，河南區(qū)一個(gè)工廠在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，到河上公路橋較近橋頭（圖中A點(diǎn)）的距離與到公路東側(cè)學(xué)校（圖中B點(diǎn)）的距離也相等，試在圖上標(biāo)出工廠的位置．五、創(chuàng)新題（每題10分，共40分）（一）教材中的變型題12．（課本原題）（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD為∠（2）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線，交AB于D,交AC于E,∠EBC=30°求∠A的度數(shù).（二）一題多解13．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)．（三）一題多變14．如左圖所示，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC于E，垂足為D，△ABE的周長(zhǎng)是15cm，BD=6cm（1）一變：如右圖所示，在△ABC中AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，D為垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周長(zhǎng)為b，求△BCE的周長(zhǎng)．（四）開(kāi)放題15．如果兩個(gè)等腰三角形，那么這兩個(gè)等腰三角形全等．（只填一種能使結(jié)論成立的條件即可）六、中考題（13分）16．（2分）如下圖左，Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，AE平分∠BAC，那么下列關(guān)系不成立的是（）A．∠B=∠CAEB．∠DEA=∠CEAC．∠B=∠BAED．AC=2EC17．（2分）如上圖中所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP.當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論始終正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)18．（2分）如上圖右所示，△ABC中，AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一個(gè)條件是.19．（2分）若等腰三角形的一個(gè)底角是30°，則這個(gè)等腰三角形的頂角是.20．（2分）如下圖，AM是△ABC的角平分線，N為BM的中點(diǎn)，NE∥AM，交AB于D，交CA的延長(zhǎng)線于E，下列結(jié)論正確的是（）A．BM=MCB．AE=BDC．AM=DED．DN=BN21．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角為（）A．30° B．75° C．30°或60° D．75°或15°七、實(shí)驗(yàn)題（12分）22．把18根火柴首尾相接圍成一個(gè)等腰三角形，試問(wèn)最多能?chē)煞N不同的等腰三角形.加試題：競(jìng)賽趣味題（6分）（2002，全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽）已知：如下圖左，AB=10，P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作兩個(gè)等邊三角形APC和BPD，則線段CD的長(zhǎng)度的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．3-5Ⅵ.探究題1．如上圖右，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：①∠EBO=DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.（1）從這4個(gè)條件中選出2個(gè)條件，能判定△ABC是等腰三角形的方法用種.（2）選擇（1）中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形.2．已知a、b、c是直角三角形的三條邊，c是斜邊，且a、b、c都是正整數(shù).當(dāng)a=5時(shí)，b、c只能是12，13；當(dāng)a=7時(shí)，b，c只能是24，25；當(dāng)a=9時(shí)，b，c可以是40，41，也可以是12，15.你能求出當(dāng)a=15時(shí)，b，c可能取的值嗎？課堂內(nèi)外勾股計(jì)算尺如下圖，兩把直尺，在尺上各貼一條坐標(biāo)紙.以一個(gè)端點(diǎn)為0，以1mm為單位長(zhǎng)，在0的右方1mm處標(biāo)上1，表示12；在0的右方4mm處標(biāo)上2；表示22；在0的右方9mm處標(biāo)上3，16mm處標(biāo)上4，分別表示32用這種尺，可以在已知直角三角形兩邊的情況下，求出第三邊.例如，已知兩條直角邊a=3，b=4，求斜邊.先將上尺的0與下尺的3對(duì)齊，在上尺找到4，4在下尺所對(duì)的數(shù)5，便是所求的c的長(zhǎng).如果已知斜邊c=5，一條直角邊a=3，求另一條直角邊，仍然是先將上尺的0與下尺的3對(duì)齊，然后在下尺上找到5，5在上尺上所對(duì)的數(shù)，就是另一條直角邊的長(zhǎng).請(qǐng)你用勾股計(jì)算尺，求一條直角邊長(zhǎng)是5，斜邊長(zhǎng)為13的直角三角形的另一條直角邊長(zhǎng).必記答案:1．也相等；等角對(duì)等邊2．相等；等邊對(duì)等角3．頂角的角平分線；底邊上的中線；底邊上的高4．全等5．兩邊的距離6．這個(gè)角的平分線上7．相等8．在這條線段的垂直平分線上9．斜邊的平方10．直角三角形測(cè)試題答案:一、1．不一定全等，反例如圖D27-2-2.2．（1）逆命題：如果∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β是鄰補(bǔ)角.這是假命題.（2）逆命題：如果一個(gè)三角形的兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的內(nèi)角相等.這是真命題.3．證明：由∠ACD=∠ADC，得AC=AD.再由△ABC≌△AED，得AB=AE.4．證明：由已知，可得DE=DF.于是可證Rt△BDE≌Rt△CDF，∠B=∠C.故AB=AC.5．證明：由EF垂直平分AB，可得FA=FB.再由Rt△BDE≌Rt△CDF，可得∠CAF=∠DFB.而∠CAF+∠CFA=90°，故∠DFB+∠CFA=90°，∠AFB=90°，即△AFB為等腰直角三角形.6．（1）是；（2）是；（3）不是.7．解：是.因?yàn)锳C2+AB2=(2a)2+(a2-1)2=(a2+1)2=BC2，因此，△ABC是直角三角形，且BC邊所對(duì)的角是直角.8．解：連結(jié)AC.由CD=DA=2，∠D=90°，得AC=2，∠CAD=45°.由AC2+AB2=(2)2+12=9=BC2，得∠CAB=90°.故∠BAD=135°.二、9．A點(diǎn)撥：當(dāng)AC﹥BC時(shí)，|AC-BC|=AC-BC=2cm，所以AC=10當(dāng)AC﹤BC時(shí)，|AC-BC|=BC-AC=2cm，所以AC=6cm.因此腰AC的長(zhǎng)為10cm或6三、10．B四、11．點(diǎn)撥：用交軌法.工廠的位置是公路與河岸夾角的角平分線與連結(jié)河上公路橋較近橋頭與公路東側(cè)學(xué)校的線段的垂直平分線的交點(diǎn).五、（一）12．（1）證明：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°.∴∠BAD=∠ABC.∴BD=AD.∴D在AB的垂直平分線上.（2）解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE.∴∠A=∠EBD.∵∠ABC=∠A+30°，又∵AB=AC，∴∠C=∠A+30°.∴∠A+30°+∠A+30°+∠A=180°（三角形的內(nèi)角和定理）.∴∠A=40°.（三）13．解法一：∵AB=AC.∴∠C=∠ABC.同理∠C=∠BDC，∠A=∠AED，∠EBD=∠EDB.∵∠A=180°-2∠C=180°-2∠BDC，∠BDC=∠EBD+∠A=∠EBD+∠AED，∠AED=∠DBA+∠EDB=2∠DBA.，∴∠A=180°-2∠BDC=180°-2∠A-2∠DBA=180°-2∠A-∠A.∴A=45°.解法二：設(shè)∠A=x.依題意，有∠AED=∠A=x，∠DBA=∠AED=x，∠C=∠BDC=∠A+∠DBA=x，∠ABC=∠C=x.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+x+x=180°.∴x=45°.∴∠A=45°.點(diǎn)撥：“等腰三角形的兩底角相等”是等腰三角形的常用性質(zhì)之一，它在幾何計(jì)算中應(yīng)用較廣，常與“三角形的內(nèi)角和等于180°”一起使用，用來(lái)求三角形的某些內(nèi)角的度數(shù).本例提供的兩種解法，都運(yùn)用了上述的知識(shí)點(diǎn)，但解法二顯然比較簡(jiǎn)捷，它是通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)，找到圖中某個(gè)三角形（如本題中的△ABC）的各個(gè)內(nèi)角與未知數(shù)間的關(guān)系，再利用“三角形內(nèi)角和等于180°”列方程來(lái)解，這種幾何問(wèn)題的代數(shù)解法值得同學(xué)們借鑒.（三）14．解：∵DE是BC的垂直平分線，∴BE=EC，BC=2BD=2×6=12（cm）.∵△ABE的周長(zhǎng)是15cm，即AE+BE+AB=15∴CE+AE+AB=15cm，即AE+BE+AB=15又∵BC=12cm，∴△ABC的周長(zhǎng)是27cm.（1）∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE.∵AB=a，△ABC的周長(zhǎng)為b，∴AC+BC=AE+CE+BC=b-a，即BE+CE+BC=b-a.∴△BEC的周長(zhǎng)為b-a.（四）15．腰與頂角分別對(duì)應(yīng)相等（腰與底角分別對(duì)應(yīng)相等，或腰與底邊分別對(duì)應(yīng)相等）六、16．D17．C18．略.19．120°20．B21．D七、22．4點(diǎn)撥：設(shè)每根火柴的長(zhǎng)度為1，且腰長(zhǎng)為x﹥0，x可取5，6，