初中數學勾股定理填空題訓練

初中數學勾股定理填空題專題訓練

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一、填空題（共22題）

1、如圖，在A/BC中，AC=BC,乙4c8=90。，以點A為圓心，43長為半徑畫弧，交AC

CE

延長線于點D,過點。作CEHAB,交筋于點E,連接BE,則版的值為

2、若3,4,a和5,b,13是兩組勾股數，則a+力的值是.

3、下圖是公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角&BC，而走“捷徑

AC-,于是在草坪內走出了一條不該有的“路力.已知力3=40米，BC=30米，只

為少走米的路.

4、已知一直角三角形兩直角邊的長分別為6cm和8cm,則第三邊上的高為.

5、一個三角形的兩邊的長分別是3和5,要使這個三角形為直角三角形，則第三條邊的

長為.

6、已知A/BC中，AB=13,AC=15,AD1BC于D,且AD=12,則BC=

7、在AAABC中，ZACB=90°,且c+a=9,c-a=4,貝|Jb=.

8、如圖一個圓柱，底圓周長10cm,高4cm,一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點,

則最少要爬行cm.

9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方

形的邊長為7cm,正方形4,B,。的面積分別是8c/"10c?2,14c以,則正

方形D的面積是cm2.

10、已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.

11、如圖，ZC=ZABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,則AD=

12、如圖，有一四邊形空地ABCD,AB±AD,AB=3,AD=4,BC=12,

CD=13,則四邊形ABCD的面積為.

13、如圖，在d4及3中，50=13,過點A作4_LQC于點E,AE=12,EC=W,則

AB=________

14、如圖，W是。。的直徑，弦8U8于點E,8=10,BE=2,則Q。的半徑

OC=.

15、如圖，在Rt△加。中，447=90。，D,￡分別是AB,8c的中點，連接AE,

DE=-9AE=—15_

DE,若2,2,則點A到BC的距禺是.

16、如圖，已知正方形ABCD邊長為1,E為AB邊上一點，以點D為中心，將

AE_2

按逆時針方向旋轉得GCF,連接EF,分別交BD,⑦于點〃，N.若麗=5,則

smZ.EDM=.

17、如圖，兩條寬都為4cm的紙條交叉成45°角重疊在一起，則重疊四邊形的面積為

18、在菱形/靦中，AB=5,BD=8,P為對角線切上的一個動點，過點尸分

別作A9、4?邊的垂線，垂足分別為￡、/兩點，連接"，爐，則"+所=

19、如圖，已知每個小方格的邊長均為1,則08C與△(7%的周長比為

20、如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點△的對應點￡落在⑦邊上，掰為折痕，已知

A8=6,夙7=10.當折痕掰最長時，線段掰的長為.

21、如圖，已知正方形如CQ的邊長為6，點廠是正方形內一點，連接WDF,且

乙4QF=NDCF,點￡是就邊上一動點，連接陽即，則期+E尸長度的最小值為

22、已知菱形加⑺的面積為2柩，點￡是一邊8c上的中點，點戶是對角線8。上的

動點.連接AE,若熊平分N班C,則線段PE與產。的和的最小值為,最大

值為.

_________余老效室=________—

一、填空題

在

1、2.

【分析】

連接AE,過作AFA.AB,延長EC交AF于點、F,過￡作EGJL8C于點G,設AC=

旦

a,求出〃=2°,由勾股定理求出CE,再由勾股定理求出BE的長即可得

到結論.

【詳解】

解：連接AE,過作AFLAB,延長EC交AF于點F,過E作比，a'于點G,如

圖，

設/C=8C=a,

?.?乙4cB=90。

?.AB==42a,4CAB=ZC&4=450

??.AS=^/2a,ZCAF=A5°

CEf/AB

.?.ZECB=ZCBA=45°

?.?乙4cB=90。

ZACF=45

；.ZAFC=90°

AF=CF=—AC=—a

：.22

34.

,_i,—a+x

設"=x，則"=2

在XY△力在'中，AF2+EF2=AE2

.除尸+（爭+x）、（虎4

V6-V2-V6-V2

解得，L2,2’（不符合題意，舍去）

CH_"-0~~

=------a

：.2

?.?Z5C5=45°,ZSGC=90°

ZC￡G=45°

CG=GE=—CE———■x----a-—以

2222

nr刀—-13-\/3

BG=BC-CG=a--------a=---------a

22

在Rt叢BGE中，B（^+GE2=BE2

BE="與J旦尸=（昌l）a

a

CE_2_y[2

'BE~r

故答案為：2.

【點睛】

此題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理與圓的基本概念等知識，正確作出

輔助線構造直角三角形是解答此題的關鍵.

2、17

【詳解】

解：V3,4,a和5,b,13是兩組勾股數，Z.a=5,8=12,a+b=ll.故

答案為17.

3、20

【分析】

先用勾股定理求出AC的長，然后再求出少走的路即可.

【詳解】

解：在RtAABC中，AB=40m,BC=30m,則：AC=V302+402=50m

所以少走的路為40+30-50=20m.

故答案為20.

【點睛】

本題考查了勾股定理的應用，弄清題意靈活運用勾股定理是解答本題的關鍵.

4、4.8cm

【分析】

先由勾股定理求出斜邊的長，再用面積法求解.

【詳解】

解：如圖，在RtA46。中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,CDLAB,

則AB=^AC2+BC2=10(cm),

,SVA￡C=^ACgBC=^AB^D

得6x8=,解得CD=4.8(cm).

故答案為4.8cm.

【點睛】

本題考查了勾股定理和用直角三角形的面積求斜邊上的高的知識，屬于基礎題型.

5,4或取

【詳解】

解：①當第三邊是斜邊時，第三邊的長的平方是：3?+52=34；

②當第三邊是直角邊時，第三邊長的平方是：52-32=25-9=16=42,

故答案是：4或取.

6、14或4

【詳解】

：(1)如圖，銳角AABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，

在RtAABD中AB=13，AD=12,由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=132-122=25，

.\BD=5,

在RtAABD中AC=15,AD=12,由勾股定理得

CD2=AC2-AD2=152-122=81,

.*.CD=9,

ABC的長為BD+DC=9+5=14；

(2)鈍角△ABC中，AB=13，AC=15,BC邊上高AD=12，

在RtAABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=132-122=25，

.\BD=5,

在RtAACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD2=AC2-AD2=15z-122=81，

.*.CD=9,

ABC的長為DC-BD=9-5=4.

故答案為14或4.

7、6

【詳解】

因為b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=9X4=36,所以b=6,故答案為6.

8、百

【詳解】

把圓柱展開后如圖所示，則AC=5,BC=4，根據勾股定理得AB2+BCW5?+42

=25+16=41,所以AB=與，故答案為標.

B

/

/

/

/

/

/

?

?

?

C_________________

9、17

【詳解】

試題解析：根據勾股定理可知，

==

YS正方形?+S正方形2S大正方形49，

=

S正方形C+S正方形DS正方形2，

S正方形A+S正方形B=S正方度1，

S大正方形=S正方形c+S正方形D+S正方彩A+S正方形B=49.

正方形D的面積=49-8-10-14=17(cm)

10、5或萬

【詳解】

試題分析：已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論:

①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：打1=木;

②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：=

/.第三邊的長為：/或5.

考點：1.勾股定理；2.分類思想的應用.

11、13

【詳解】

分析：先根據勾股定理求出AB的長，再根據勾股定理求出AD的長.

詳解：在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,

根據勾股定理，得AB=^C2+5C2=742+32=5.

在RtAABD中,BD=12,

根據勾股定理，得AD=J加+?3+12』3.故答案為13.

點睛：本題考查了勾股定理的應用，能運用勾股定理進行計算是解本題的關鍵.

12、36

【分析】

先根據勾股定理求出BD,進而判斷出4BCD是直角三角形，最后用面積的和即可求出四

邊形ABCD的面積.

【詳解】

如圖，連接BD,

在RtAABD中，AB=3，DA=4，

根據勾股定理得，BD=5，

在4BCD中，BC=12,CD=13,BD=5,

ABC2+BD2=122+52=132=CD2,

/.△BCD為直角三角形，

??S四地形ABCO=SAABD+SABCD

=2AB-AD+2BC-BD

=2X3X4+2X12X5

=36

故答案為：36.

【點睛】

此題主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面積公式，解本題的關鍵是判斷出4BCD是直

角三角形.

13、15

【分析】

因為四邊形加8是平行四邊形，所以AB=CD,AD=BC,在及△40后中，求出）的長,

即可算出CD=DE+CE=RB的長.

【詳解】

解：???四邊形耶⑺是平行四邊形，

..AB=CD,AD=BC=13

?.?過點A作4_LQC于點E,AE=12,EC=10,

在RtLADE中，DE=JAD1-AS1=g-12?=5,

■：DC=DE+CE=5+10=15.

A5=15,

故答案為：15.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質和勾股定理解三角形，掌握平行四邊形的性質是解題的關

鍵.

29

14、~4

【分析】

設半徑為r,則℃=OB=r,得到―,由垂徑定理得到CE=5,再根據勾股定理，

即可求出答案.

【詳解】

解：由題意，設半徑為r,

則OC=OB=r,

'：BE=2,

OE=r-2,

45是。。的直徑，弦SUB于點E,

.?.點E是CD的中點，

?；CD=10,

CE=W=5

2,

在直角AOCE中，由勾股定理得

OC2=CE2+OE2,

即戶=52+9-2)2,

_29

解得：r=T.

29

故答案為：彳.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理進行解題.

36

15、T

【分析】

根據題意可求得AC.AB.BC的長度，設點A到BC的距離是h,由RtZk/C的面積

-?AB?AC=-?BC?h

相等可列式22,從而點A到BC的距離即可求解.

【詳解】

9

解：?.?在RtAlSC中，ZBAC=90°,D,￡分別是8c（的中點，""=5,

水7=9,DE//AC,

AZBDE=ZBAC=90°,

AZADE=90°

AD=JAE2-DE2=6

:.AB=2AD=12,

BC=JAB2+AC2=7122+92=15,

設點A到BC的距離是h,

-?AB?AC=-?BC*h

則22

Ixl2x9=」xl5及

即22

A=36

解得：5,

36

.?.點A到BC的距離是T.

36

故答案為：T.

【點睛】

本題考查了勾股定理的應用、三角形中位線的性質，三角形的面積公式，解題的關鍵是用勾

股定理和中位線的性質求出各線段的長度.

￡

16、5

【分析】

過點A作MJ_劭于尸，將ZEDM構造在直角三角形DEP中，設法求出EP和DE的

長，然后用三角函數的定義即可解決.

【詳解】

解：：四邊形ABCD是正方形，

AB//DC,/A=/BCD=ZADC=90°,

AB=BC=CD=DA=1,BD=^2.

VADAE繞點D逆時針旋轉得到△DCF,

:.CF=AE,DF=DE,/EDF=4ADC=90°.

設=CF=2x,DN=5x,

則BE=1-2x,CV=l-5x,BF=l+2x.

AB//DC,

：.LFNC-LFEB.

NC_FC

~EB~7B.

l-5x_2x

/.1-2xl+2x.

整理得，6/+5x-l=0.

解得，弓二-1（不合題意，舍去）.

12

愈=2x=2,EB=,-2x=-

：.33.

DE=JQ+為"=4+（；）=半

過點￡作皮，物于點P，如圖所示,

設.DP=y,貝?。軧P=&-y.

2

EB-8產2=郎2=DE2_Dpi,

2也

V-----------

解得，3.

EP=^E1D-DP,1=

在七△的0中,

理r

sm^EDP=—=-^=^-

即畫5s"EDM&

3.即5.

故答案為：5

【點睛】

本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函

數、方程的數學思想等知識點，熟知各類圖形的性質與判定是解題的基礎，構造直角三角形,

利用銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

17、16近

【分析】

過點A作AELBC,AFLCD,垂足分別為E,歹，證明AABE^ADF,從而證明四邊形

ABCD是菱形，再利用勾股定理求出BC的長，最后根據菱形的面積公式算出重疊部分的面積

即可.

【詳解】

解：過點A作AE1BC,AFLCD,垂足分別為E,F,如下圖：

ZAEB=ZAFD=90°

由題意可得：ZABE=ZADF=45°

：.△如￡為等腰直角三角形，

二AS=BE

紙條的寬都為4cm

.;AE=AF=BE=4cm

由勾股定理得：3=40cm

ADHCB,AB//CD

：.四邊形四8是平行四邊形

在'ABE和^ADF中

ZABE=AADF=45°

<乙AEB=4AFD=9S

AE=AF

.?.^ABE^AADKAA^)

：.AB=AD=BC=4也cm,

???平行四邊形加8為菱形

重疊部分(圖中陰影部分)的面積=4^/2x4=1672(cm2)

故答案為160

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，巧作輔助線與證明四

邊形ABCD是菱形是解題的關鍵.

24

18、T/4.8

【分析】

連接力。交劭于點。，連接處，由菱形的性質及勾股定理求得0A的長，再根據

%PAD+S&PAB=S△3即可求得PE+PF的長.

【詳解】

連接4。交成于點。，連接必，如圖

?；四邊形ABCD是菱形

1_

AD==5,OA,LOB,OB=2BD=4

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=ylAB2-OB2=yl52-42=3

*/S&PAD+~S&1AD

-AD^PE+-AB^PF=^-BD^OA

：.222

即5(PS+PF)=24

24

PE+PF=—

：.5

24

故答案為：T.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，勾股定理及面積，關鍵是得到面積關系式SAH+S△3=$△皿.

19、2:1

【分析】

設AF.QG分別與BE交于點尸、G,則AFIIDG,可得到乙明G="DG,在網格圖中,

利用銳角三角函數值得到乙必尸=AEDG,繼而ABAG=乙CDE,可得到ABHDE,證得

LABC-LDEC,然后分別求出49、DE,即可解答.

【詳解】

如圖,

設融、工分別與物交于點尸、G,貝IJAFIIDG,

：.Z.FAG=Z.CDG,

211

tanZ.BAF=—=—tanZ.EDG=-

*/42,2,

/戚=AEDG,

￡BAG=乙CDE,

.?.ABUDE,

AABC~J^DEC,

由圖可知：即=7?彳=25，

D￡=Vl2+22=-45

ABDE=2^/s:6=2:1,

即“BC與△CD?的相似比為2:1,

"BC與△CD?的周長比為2:1

故答案為：2:1

【點睛】

本題主要考查了網格圖中的兩個相似三角形周長之比，解題的關鍵是找到相似三角形的相似

比.

34

20、T（或6.8）

【分析】

根據題意確定點￡與點〃重合時，折痕徼最長，根據翻折變換的性質得出HE=BH,設

HC=x，則BH=DH=\0-x,在中根據勾股定理列出方程，解方程即可，再用BC-CH

即可求出答案.

【詳解】

當點E與點D重合時，GH最長，如圖所示，

由折疊可知：BH=HD>

&E)

設HC=x,則BH=DH=10-x,

四邊形ABCD為矩形，

=90°,AB=CD=6,

在RtKHD中,

CH)+Ck=DH),

222

：.X+6=(10-X)1

解得：X=3.2,

BH=BC-CH=\0-3,2=—,

：.5

34

故填：T（或6.8）.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，翻折變換的性質，勾股定理的應用，翻折變換是一種對稱變換，它

屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等，解題關鍵是確定折痕

最長時￡點的位置，根據題意列出方程求解.

21、3而一3

【分析】

根據正方形的性質得到ZADC=90°,推出/DFC=90°，點F在以DC為直徑的

半圓上移動，，如圖，設CD的中點為0，作正方形ABCD關于直線4〃對稱的正方形APGD,

則點B的對應點是P,連接尸。交/，于￡,交半圓。于F,則線段FP的長即為BE+

FE的長度最小值，根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】

解:Y四邊形ABCD是正方形，

/.ZADC=90°,

：.4ADF+乙CDF=90°,

乙ADF-DCF,

：.4DCF*4CDF=90°,

，（DFC=90°,

.?.點尸在以小為直徑的半圓上移動，

如圖，設CD的中點為0,作正方形ABCD關于直線AD對稱的正方形APGD,則點B的

對應點是P,

連接PO交.AD于E,交半圓。于尸，則線段FP的長即為BE+FE的長度最小值，OF

—3,

VZG=90°,PG=DG=AB=6,

：.OG=9,

/.op=J/冉心=V62+92=3而，

FP=3岳-3,

...BE+FE的長度最小值為3而-3,

故答案為：3而-3.

【點睛】