圓周角與圓心角的關(guān)系(一)

第三節(jié)圓周角和圓心角的關(guān)系(一)第三章圓中牟縣平安路學(xué)校邱建波北師大版九年級數(shù)學(xué)(下)情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣

在射門游戲中，球員射中球門的難易與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關(guān)。提出問題，引入思考

如圖，當(dāng)小明站在B、D、E的位置射球時,對球門AC的張角的大小相等嗎？圓周角和圓心角的關(guān)系（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷探索圓周角和圓心角的關(guān)系的過程，理解圓周角的概念，知道圓周角的兩個特征.

2、了解并證明圓周角定理的內(nèi)容，會用圓周角定理進(jìn)行簡單的推理與計算.

3、感受“由特殊到一般”思想在數(shù)學(xué)探索中的應(yīng)用.一、溫故而知新如圖1.∠AOB是

角.OAB如圖2.AB=CD,則∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是：

.BAOCD圓心相等圓心角的定義：頂點在圓心，兩邊與圓分別相交的角叫圓心角.二、新知初探

觀察圖中的∠ABC，頂點在什么位置？角的兩邊有什么特點？.OACB用心想一想，馬到功成

觀察圖中的∠ABC，可以發(fā)現(xiàn)：它的頂點在圓上，它的兩邊分別與圓還有另一個交點。

頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角..OACB圓周角定義:牛刀小試：判斷下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。不是不是是不是不是圖１圖２圖３圖４圖５用心想一想，你一定能行通過上面的有關(guān)練習(xí)，你能歸納出圓周角的主要特征嗎？1、頂點在圓上；2、兩邊是圓的兩條弦.OBCA圓周角的特征：為了解決這個問題，我們先研究一條弧所對的圓周角與它所對的圓心角之間的關(guān)系。

操作1：請同學(xué)們在圓上確定一條劣弧，并畫出它所對的圓心角與圓周角。AC三、類比圓心角探知圓周角在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓心角相等.在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角有什么關(guān)系？O你知道∠ABC與∠AOC的大小有什么關(guān)系嗎？說說你的想法，并與同伴進(jìn)行交流。歸納同學(xué)們的意見我們得到以下幾種情況：①圓周角的一邊BC經(jīng)過圓心O.②圓心O在圓周角∠ABC的內(nèi)部.③圓心O在圓周角∠ABC的外部.BAOC①ABCO②BACO③BAOC∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=2∠ABO∴∠ABC=∠AOC121.首先考慮一種特殊情況：當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的一邊(BC)上時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系證明：

想一想：

當(dāng)∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心O時，∠ABC與∠AOC又有怎樣的大小關(guān)系呢？ABCOBACOABCO溫馨提示：連接BO并延長，與圓相交于點D。D（此時我們得到與圖①同樣的情形）132BAOC①由①可得：54

∠4=∠512

2.當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的內(nèi)部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會怎樣?∴∠ABC=∠AOC12

∠2=∠12112∴∠2+∠4=（∠1+∠5）溫馨提示：連接BO并延長，與圓相交于點D。（此時我們得到與圖①同樣的情形）由①可得：

3.當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的外部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會怎樣?●OABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD∴∠ABD-∠CBD

=(∠AOD-∠COD)∴∠ABC=∠AOC.認(rèn)真觀察，探求結(jié)果通過對三種情形的證明，同學(xué)們再認(rèn)真觀察圖形，你會得到什么結(jié)果？一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

。一半BAOC①ABCO②BACO③AOCB學(xué)以致用1.如圖，在⊙O中，∠BOC=50°則∠BAC=

.變式2：如圖，∠BAC=40°，則

∠OBC=

.ABCO變式1：如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，∠BAC=40°，則∠BOC=

.25°

50°

80°

溫馨提示：由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。開拓創(chuàng)新試一試

2.如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，且∠

AOB=2∠BOC，則∠

ACB與∠

BAC的大小有什么關(guān)系？為什么？ABCO溫馨提示：請同學(xué)們認(rèn)真觀察∠AOB與∠ACB，∠BOC與∠BAC的關(guān)系。

ABCDO3.如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°

，求∠BOD（弧BCD所對的圓心角）和∠BAD的大小。