河南省周口市項(xiàng)城市五校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算出集合、，運(yùn)用并集運(yùn)算得出中元素個(gè)數(shù)，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式即可得子集個(gè)數(shù).【詳解】，由，解得，即，即，共有4個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可整理求得結(jié)果.【詳解】由得：.故選：B.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式可推導(dǎo)證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，故選：D.4.已知非零向量滿足，且，則的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積和模長求夾角即可.【詳解】由已知可得，即，又因?yàn)?，所以，所以夾角為.故選：C5.已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可討論求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，在，由于的單調(diào)遞減區(qū)間為，則，得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，這與的單調(diào)遞減區(qū)間為矛盾，故不符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增，故不符合題意，綜上可得，故選：A6.已知命題，則（）A.，，且是真命題B.，，且是假命題C.，，且是假命題D.，，且是真命題【答案】D【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的性質(zhì)得出，再驗(yàn)證的真假，變形等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)幫助比較大小即可得.【詳解】由，，則，，由，則有，等價(jià)于等價(jià)于，令，則，則時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，即，故原命題錯(cuò)誤，則是真命題.故選：D.7.已知圓錐的高為，體積為，若圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的所有點(diǎn)均在球上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓錐體積公式可求得圓錐底面圓半徑，分別討論球心位于圓錐內(nèi)部和外部的情況，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得球的半徑，代入球的體積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，球的半徑為，則，解得：；當(dāng)球心位于圓錐內(nèi)部時(shí)，過圓錐頂點(diǎn)，底面圓圓心和球心作出軸截面如下圖所示，，即，解得：，球的體積；當(dāng)球心位于圓錐外部時(shí)，過圓錐頂點(diǎn)，底面圓圓心和球心作出軸截面如下圖所示，，即，解得：，舍去；綜上所述：球的體積為.故選：C.8.已知為偶函數(shù)，對任意有，當(dāng)時(shí)，，則方程的所有實(shí)根之和為（）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)圖象和對稱性即可求解.【詳解】由得，又為偶函數(shù)，所以，故，，因此為周期為2的周期函數(shù)且為偶函數(shù)，由時(shí)，，作出和的圖象，又，由于和均關(guān)于對稱，由圖象可知和的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱可知：方程所有實(shí)根之和為6.故選：B二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，下表為不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.70.80.9設(shè)材料1?材料2?材料3的吸光度分別為、、，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件得出、、，A，B，C三個(gè)選項(xiàng)利用作差比較大小即可，選項(xiàng)D，利用對數(shù)的運(yùn)算性，重要不等式及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果.【詳解】由題知，，，對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，故，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，故，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，故，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A.的最小正周期為B.將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象C.在上有3個(gè)零點(diǎn)D.的圖象的對稱軸為直線【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)可得，進(jìn)而結(jié)合周期以及，即可得，進(jìn)而可得，結(jié)合選項(xiàng)，利用整體法即可逐一求解.詳解】依圖可得，，，所以，由于位于單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，所以,因此，又，得，即，由于，故，所以，因此，故，故，將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到為偶函數(shù)，B正確，令,所以，所以在上的零點(diǎn)有，故有2個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，令，，故D正確，故選：ABD11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.若，則D.過坐標(biāo)原點(diǎn)僅有一條直線與曲線相切【答案】ABC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的極值點(diǎn)，結(jié)合該極值點(diǎn)為的零點(diǎn)可構(gòu)造方程求得的值，從而得到；利用的正負(fù)可確定的單調(diào)性，知A正確；驗(yàn)證可知，知B正確；利用AB中的結(jié)論可推導(dǎo)得到C正確；利用過某一點(diǎn)切線方程的求法可確定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意知：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；是的極小值點(diǎn)，即是的極小值點(diǎn)，也是的零點(diǎn)，，解得：，；對于A，在上恒成立且不恒為，在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B正確；對于C，由得：，在上單調(diào)遞增，，由B知：，即，，，C正確；對于D，設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，，切線方程為：，即切線方程為：，代入點(diǎn)得：，即，解得：或，過坐標(biāo)原點(diǎn)有兩條不同的直線與相切，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為.對任意正整數(shù)，設(shè)，其中，記，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，分和，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出答案；B選項(xiàng)，作差得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，，二次求導(dǎo)得到單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，證明出結(jié)論；C選項(xiàng)，得到，，設(shè)，，，只需，故；D選項(xiàng)，計(jì)算出在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，結(jié)合，得到，得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足要求，綜上，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，令，，則，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞增，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，綜上，，B正確；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，，故，，設(shè)，，由于，，只需即可，此時(shí)，又，，C正確；D選項(xiàng)，，由C選項(xiàng)可知，，，又，故，所以，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問題，主要針對于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對常見的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與導(dǎo)函數(shù)等知識的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)弦化切得，即可由正切的和差角公式求解.【詳解】由可得，所以，故答案為：14.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為棱上的點(diǎn)，，且平面，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平行線分線段成比例等知識求得正確答案．【詳解】設(shè)，連接，由于平面，平面，平面平面，則，由于,,所以，所以．故答案為：．15.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，記設(shè)函數(shù)，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】先求出切線方程，再結(jié)合函數(shù)的新定義和函數(shù)圖像找到最小值點(diǎn)，代入橫坐標(biāo)即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，由和函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，最小值為兩函數(shù)的交點(diǎn)，所以，此時(shí)，故答案為：16.如圖，一個(gè)池塘的東?西兩側(cè)的端點(diǎn)分別為，現(xiàn)取水庫周邊兩點(diǎn)，測得，，池塘旁邊有一條與直線垂直的小路，且點(diǎn)到的距離為.小張（點(diǎn)）沿著小路行進(jìn)并觀察兩點(diǎn)處豎立的旗幟（與小張的眼睛在同一水平面內(nèi)），則小張的視線與的夾角的正切值的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】解三角形求出，再利用直角三角形得出的正切值，根據(jù)兩角差正切公式化簡，由均值不等式求最值即可.【詳解】在中，，所以，，由正弦定理可得，所以（），在中，，所以，所以（），在中，由余弦定理，，所以（），設(shè)與的交點(diǎn)為，，，如圖，則，由，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即（）時(shí)，等號成立，故答案為：四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的公比，記其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列基本量計(jì)算可得，進(jìn)而可求解通項(xiàng)，（2）根據(jù)等比求和公式得，即可由分組求和求解.【小問1詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，得，即，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，則.18.如圖，在三棱柱中，平面分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，易知四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理證得命題成立；（2）建系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)以及平面的法向量，利用線面角的公式求解即可．【小問1詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以在平面內(nèi).因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，所以平?【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)，.設(shè)平面的法向量為，由得不妨令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.19.在鈍角三角形中，角所對的邊分別為，已知.（1）證明：是等腰三角形；（2）若且，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合二倍角公式可得，即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解，（2）根據(jù)正弦定理即可求解，進(jìn)而由面積公式求解.【小問1詳解】由條件及正弦定理可得，所以.因?yàn)?，且，所以或，即?因?yàn)槭氢g角三角形，所以，所以，所以是等腰三角形.【小問2詳解】由題意及（1）得，從而.由正弦定理得，所以，且，由，可得，整理得，,所以.所以，由，得，所以.20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，，且（為常數(shù)）.（1）若構(gòu)成等比數(shù)列，求的值；（2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別令和可用表示出，根據(jù)等比數(shù)列定義可構(gòu)造方程求得；（2）由與關(guān)系和已知等式可推導(dǎo)得到，采用裂項(xiàng)相消法可求得，由此可得結(jié)果.【小問1詳解】令，則，；令，則，，即；成等比數(shù)列，，即，解得：或，又，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由得：，即，，，，，，，又，，，，即的最小值為.21.如圖，在三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可利用勾股定理可證線線垂直，進(jìn)而可利用線面垂直的判定求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】因?yàn)榉謩e是線段的中點(diǎn)，所以，且.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)槠矫妫?，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，且有，所以是直角三角形，其中.由（1）可知平面，所以可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，設(shè)，則.則，所以.不妨設(shè)平面與平面的法向量分別為，則有即有令即令，此時(shí)有.則，整理得.因?yàn)?，所以，即，所?22.已知函數(shù)，.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分離變量得到恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的取值范圍；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為；利用切線進(jìn)行放縮，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得在點(diǎn)處的切線方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得，并推導(dǎo)得到；取即可證得結(jié)