安徽省淮南市興學(xué)教育咨詢(xún)有限公司2024屆高三上學(xué)期第二次階段性測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1安徽省淮南市興學(xué)教育咨詢(xún)有限公司2024屆高三上學(xué)期第二次階段性數(shù)學(xué)測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即，所以；又，所以．故選：A.2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A3.“，為正數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，故“，為正數(shù)”是“”的不充分條件當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，為正數(shù)，故“，為正數(shù)”是“”的不必要條件綜上：“，為正數(shù)”是“”的既不充分也不必要條件故選：D.4.函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)，都有，則a+b為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足：對(duì)，都有，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意，所以，故選：C.5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則，故選：C．6.直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若，則此球的表面積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，三角形的外心是，外接圓半徑，在中，，，可得，由正弦定理，，可得外接圓半徑，設(shè)球心為，連接，，，在中，求得球半徑，此球的表面積為．故選：B．7.已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因?yàn)?所以.設(shè)可得則是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以與的面積之比為即為.故選：A.8.已知向量，對(duì)任意的，恒有，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，又，令則上式等價(jià)于，對(duì)任意的恒成立，故，解得，解得，即；對(duì)A：由，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故，C正確；對(duì)D：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，D錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.已知d為等差數(shù)列的公差，為其前n項(xiàng)和，若為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列 B.數(shù)列是等差數(shù)列C，，依次成等差數(shù)列 D.若，，則【答案】BD【解析】由題意可知數(shù)列等差數(shù)列，且遞減，則，不妨舉例如：則，這三項(xiàng)不構(gòu)成遞減數(shù)列，故A錯(cuò)；而,這三項(xiàng)不構(gòu)成等差數(shù)列，說(shuō)明C錯(cuò)；對(duì)于B，，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于D，，則，，則，故，故D正確，故選：BD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得與異面B.不存在點(diǎn)，使得C.直線(xiàn)與平面所成角的正切值的最小值為D.過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】CD【解析】對(duì)于A，連接，由正方體的性質(zhì)知，，所以四點(diǎn)共面，，平面，故A不正確；對(duì)于B，設(shè)中點(diǎn)為，連接，若為中點(diǎn)，則平面ABCD，MN在面ABCD內(nèi)，所以，在中，，，所以，故，，平面，所以平面，平面，所以，故B不正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作平面，連接，所以直線(xiàn)與平面所成角為，所以，當(dāng)在時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，由正方體中心對(duì)稱(chēng)（類(lèi)比為球體，MN看作弦），故過(guò)的截面經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心O所得截面最大，此時(shí)截面交棱于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面最大，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，所以過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面最大值為正六邊形，面積為，故D正確．故選：CD.11.已知函數(shù)(ω>0)，下列說(shuō)法中正確的有（）A.若ω=1，則f(x)在上是單調(diào)增函數(shù)B.若，則正整數(shù)ω的最小值為2C.若ω=2，則把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.若f(x)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BD【解析】依題意，，對(duì)于A，，，當(dāng)時(shí)，有，因在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，A不正確；對(duì)于B，因，則是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，，整理得，而，即有，，B正確；對(duì)于C，，，依題意，函數(shù)，這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，D正確.故選：BD12.已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解且，則有（）A. B.C. D.的最小值為【答案】ABD【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，：當(dāng)0<時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，易知f(x)與直線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)，分別為（-2，1），（0，1），（，1），（4，1），因?yàn)橛兴膫€(gè)不同的解且，所以故C錯(cuò)誤；且A正確；，又，所以，即，B正確；所以，且，構(gòu)造函數(shù)，且，可知g(x)在（1，4]上單調(diào)遞減，且，所以的最小值為—．D正確．故選：ABD．三、填空題13.已知，則______.【答案】【解析】由題意，，，∵，∴，故答案為：.14.已知數(shù)列滿(mǎn)足，的前項(xiàng)的和記為，則______.【答案】【解析】，，因此，.故答案為：.15.在中，角的對(duì)邊分別是,若是銳角三角形且角，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】由正弦定理可得，,因?yàn)槭卿J角三角形，所以即即即，所以，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.16.已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】6【解析】由已知條件得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故答案為：6.四、解答題17.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角、、所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是、、，若，，，求的面積.解：（1）令，解得∴的增區(qū)間是，（2）∵∴解得又∵∴中，由正弦定理得∴18.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)和的解析式.（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）記，若，且，求的值.解：（1）由題知：函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，且，①則，又由，，故②，則由①②式，解得，.（2）方法一：由在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，則在上恒成立，令，易知在上單調(diào)遞增；故，即在上恒成立.由，即，又由在上單調(diào)遞增，且，故在上的最小值為，故；方法二：由的對(duì)稱(chēng)軸為，則①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在處取得最小值，即，解得，故.②當(dāng)時(shí)，時(shí)，由即可滿(mǎn)足條件，故，解得，易知，故此時(shí)，故綜上①②可知，；（3）由，令，又由，且，故，，故19.已知數(shù)列和，，，.（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若△ABC的三條角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．解：（1）由及，有，又由正弦定理，有，有，有，有，又由，可得；（2）由，有，可得，在△OAB中，由△OAB的面積為，有，可得，又由余弦定理及AB＝7，有，有，代入，有AO＋BO＝8，聯(lián)立解得或由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)在△OAB中，有，可得，又由OA為角A的角平分線(xiàn)，有，在△OAC中，由正弦定理有，有，可得．21.如圖，四棱臺(tái)中，上?下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，分別為的中點(diǎn)，上下底面中心的連線(xiàn)垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線(xiàn)所成的角為.（1）求證：∥平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）邊上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）證明：因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)閭?cè)棱所在的直線(xiàn)與上下底面中心的連線(xiàn)所成的角為，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以∥平面；?）解：由（1）知，，所以點(diǎn)到平面距離為；（3）解：假設(shè)邊上存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，由題意可得，化簡(jiǎn)得，則或（舍去），即存在點(diǎn)符合題意，此時(shí).22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，且），求的取值范圍．（1）解：由題知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零