廣東省肇慶市2024屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省肇慶市2024屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?故選：A.3.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，得，解得，，.故選：C.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，則，故充分性成立，若，所以，所以，則，所以必要性不成立，即是的充分不必要條件.故選：A5.若，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又，，所以.故選：B.6.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，有正弦定理得，則，所以，故，即，代入上邊等式可得，，則三角形為等邊三角形，故故選：7.已知，，且，則的最大值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：B.8.“順德眼”是華南地區(qū)首座雙立柱全拉索設(shè)計(jì)的摩天輪總共設(shè)有36個(gè)等間距座艙，其中親子座艙4個(gè)，每2個(gè)親子座艙之間有8個(gè)普通座艙，摩天輪上的座艙運(yùn)動(dòng)可以近似地看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行軌跡為圓弧，運(yùn)行距離為弧長，“順德眼”在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙每秒運(yùn)行約0.2米，轉(zhuǎn)一周大約需要21分鐘，則兩個(gè)相鄰的親子座艙在運(yùn)行一周的過程中，距離地面的高度差的最大值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）A.40米 B.50米 C.57米 D.63米【答案】C【解析】設(shè)圓的半徑為r，由題意得：，解得，如圖所示：當(dāng)兩個(gè)相鄰親子座艙的連線與底面垂直時(shí)，距離地面的高度差最大，所以兩個(gè)相鄰的親子座艙在運(yùn)行一周的過程中，距離地面的高度差的最大值約為：，故選：C.二、選擇題9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】對(duì)于A，，，又，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，由，所以在和上分別單調(diào)遞增，但在定義域上并不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是的增函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是的增函數(shù)，故D正確.故選：CD.10.已知是模長為1的復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)，由題知，則，故A正確；又，，顯然，故B錯(cuò)誤；，故C正確；因?yàn)椋?，故D正確，故選：ACD.11.已知，是夾角為的單位向量，且，，則（）A.在上的投影向量為 B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，B，，，則，，，，所以在上的投影向量為，故A，B正確；對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且，則（）A.或1 B.是偶函數(shù)C.， D.，【答案】BD【解析】在中，又有，令得，所以，A錯(cuò)；令得，所以，是偶函數(shù)，B正確；令得，所以，令得，所以，令得，，C錯(cuò)；令得，所以，由此，即，所以，是周期為6的周期函數(shù)，，，，，所以，D正確．故選：BD．三、填空題13.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】【解析】，，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，又，，，.故答案：.14.已知向量，，若，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則，，又，即，解得，則故答案為：15.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則___________.【答案】【解析】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋捎?，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)取得最小值，符合題意，所以.故答案為：16.已知不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，令，所以，令，所以，所以?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以有，故答案為：.四、解答題17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知為銳角，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.解：（1）由已知可得,，解得.因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以.（2）由題，，又由正弦定理，得.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為或.18.已知是公差為等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）記，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.解：（1）由可得，解得，所以，.（2）因?yàn)?，由題意得.19.設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，函數(shù)，試問是否存在極小值點(diǎn)?若存在，求出的極小值點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1），，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，且時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，，故.令，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.又，，，故，使得.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，故存在極小值點(diǎn)，且極小值點(diǎn)為.20.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為1的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列落在區(qū)間，內(nèi)的項(xiàng)數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以①，當(dāng)時(shí)，②.由①-②整理得.當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題意知，所以，所以，故.由題可知，得，則③，④，③-④得，所以.21.如圖，在四邊形中，，，，.（1）若，求；（2）求的最大值.解：（1）由題意知，，，所以.在中，，，所以.在中，由余弦定理得，，所以.（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，，，，可得，，①②設(shè)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖①，，則.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，如圖②，，則.又，所以當(dāng)，且時(shí)，.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，滿足上式，所以，其中.令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，因?yàn)?，所以為銳角，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.22.已知函數(shù).（1）求的極值點(diǎn)；（2）若（且），證明：對(duì)一切，都有（?。?；（ⅱ）.（1）解：因?yàn)?，所以為偶函?shù)，由題意得，故先考慮時(shí)的極值點(diǎn)情況：令可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.再考慮時(shí)的極值點(diǎn)情況：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以時(shí)