黑龍江省龍西北名校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1黑龍江省龍西北名校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以．故選：A．2.若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根成共軛復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)，則另一個復(fù)數(shù)根為，根據(jù)兩根之積得，則，根據(jù)兩根之和有，解得，故選：B.3.圓錐的母線長是2，側(cè)面積是，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，因為圓錐的側(cè)面積是，所以，所以，則，故選：A.4.已知有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機取出1件產(chǎn)品，抽出的產(chǎn)品不再放回，那么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次取得次品的條件下，第二次取產(chǎn)品時，共有6件產(chǎn)品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率為.故選：B.5.已知點在直線上移動，當取得最小值時，過點引圓的切線，則此切線段的長度為A. B. C. D.【答案】A【解析】要求解且線段的長度，只要知道圓心到點P的距離和圓的半徑，結(jié)合勾股定理可知．由于利用基本不等式及x+2y=3得到2x+4y≥2，當且僅當2x=4y=2，即x=，y=，所以P（），根據(jù)兩點間的距離公式求出P到圓心的距離=且圓的半徑的平方為，然后根據(jù)勾股定理得到此切線段的長度，故選A.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，故選：D.7.在中，，，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，，可得，，，若，則，，，可得，，，即，即等邊三角形.如圖所示，以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，，，.由題意設(shè)，則，，.因為，所以.故選：C.8.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前n項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則其中不正確結(jié)論的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知：前項所占格子組成長為，寬為的矩形，其面積為，A正確；，以上各式相加得，，化簡得，即，B正確；，C錯誤；易知，，D正確.故選：C.二、多選題9.下列說法正確的有（）A.命題“”的否定為“”B.函數(shù)的值域為C.若冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則D.若隨機變量的方差，則【答案】AB【解析】對于A，根據(jù)含有一個量詞的否定，命題“”的否定為“”，故A正確；對于B，，令，，所以，，因為對稱軸，所以值域為，故B正確；對于C，冪函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或，經(jīng)檢驗時，冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，與矛盾，故C錯誤；對于D，因為，，故D錯誤.故選：AB.10.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且.若將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列各選項正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于點對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AB【解析】，由題意得，所以.因為在上單調(diào)遞減，所以，解得.又且，所以，所以，又，所以，易知為偶函數(shù)；因為，故的圖象關(guān)于直線對稱，當時，，所以在上單調(diào)遞增.故A和B正確，C和D錯誤.故選：AB.11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A.若，則為的重心B.若為的內(nèi)心，則C.若，，為的外心，則D.若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，由，則，所以，所以A，M，D三點共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．12.函數(shù)與之間的關(guān)系非常密切，號稱函數(shù)中的雙子座，以下說法正確的是()A.的最大值與的最大值相等 B.C. D.若，則的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，的定義域為，，由得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，故當時，取最大值，的定義域為，，由得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，故當時，取最大值，故A正確；對于B，當時，，從而，即，當時，，從而，即，又，所以，所以，故B正確；對于C，當時，單調(diào)遞減，則，即，則，即，，故C錯誤；對于D，的定義域為，，由得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，又；當時，；當時，，，即，得，又，所以，，令，，由得’當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，當時，，所以的最小值為．故選：ABD.三、填空題13.已知，且，則在上的投影向量為__________．【答案】【解析】因為，且，則在上的投影向量為，故答案為：.14.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最小值為_________【答案】2【解析】橢圓中心左焦點設(shè)則于是，當時，取最小值，最小值是.15.已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以，即，解得.所以的取值范圍是.故答案為：16.若函數(shù)的定義域為，且，則______．【答案】30【解析】因為,所以，記，所以，，則，周期為4，所以，，且，則，所以，故答案為：30.四、解答題17.已知函數(shù)，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當時，，則，，又，在點處的切線方程為：，即.（2）由題意得：定義域為，；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，若，則；若，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，若，則；若，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若是上一點，為角的平分線，求．解：（1）由題意結(jié)合正弦定理，可得，所以，即，整理，可得.因為，所以，所以，所以.（2）由題可得在中，，，，，所以，解得，則，又因為為角的平分線，，所以，即，所以.19.設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．（1）當，求a的值；（2）當時，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）∵f（x）=log2（1+a?2x+4x），∴f（-1）=log2（1++），f（2）=log2（1+4a+16），由于，即log2（4a+17）=log2（+）+4，解得，a=﹣；（2）因為f（x）≥x﹣1恒成立，所以，log2（1+a?2x+4x）≥x﹣1，即，1+a?2x+4x≥2x﹣1，分離參數(shù)a得，a≥﹣（2x+2﹣x），∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=，此時x=1，所以，a≥﹣=﹣2，即實數(shù)a的取值范圍為[﹣2，+∞）．20.在隧道施工過程中，若隧道拱頂下沉速率過快，無法保證工程施工的安全性，則需及時調(diào)整支護參數(shù)．某施工隊對正在施工的福州象山隧道工程進行下沉量監(jiān)控，通過對監(jiān)控結(jié)果進行回歸分析，建立前t天隧道拱頂?shù)睦奂涌傁鲁亮縵（單位：毫米）與時間t（單位：天）的回歸方程，通過回歸方程預(yù)測是否需要調(diào)整支護參數(shù)．已知該隧道拱頂下沉的實測數(shù)據(jù)如表所示：t（單位：天）1234567z（單位：毫米）0.010.040.140521.382.314.30研究人員制作相應(yīng)散點圖，通過觀察，擬用函數(shù)進行擬合．令，計算得：，．（1）試建立z與t的回歸方程，并預(yù)測前8天該隧道拱頂?shù)睦奂涌傁鲁亮?；（精確到0.1）（2）已知當拱頂在某個時刻下沉的瞬時速率超過27毫米/天時，支護系統(tǒng)將超負荷，隧道有塌方風險，施工隊需要提前一天調(diào)整支護參數(shù)、試估計最遲在第幾天調(diào)整支護參數(shù)？（精確到整數(shù)）附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；②參考數(shù)據(jù)：．解：（1）設(shè)，則.；;，,當時，.所以預(yù)測前8天該隧道拱頂?shù)睦奂涌傁鲁亮繛楹撩祝?），下沉速率：，所以設(shè)第n天下沉速率超過27毫米/天，則：，，，，，所以第10天該隧道拱頂?shù)南鲁了俾食^27毫米/天，最遲在第9天需調(diào)整支護參數(shù)，才能避免塌方．21.已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.解：（1）由得，即，又，所以是以是為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，即.（2），所以，.兩式相減得，所以，所以.令，易知單調(diào)遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，所以