天津市北辰區(qū)2024屆高三上學期第一次聯(lián)考(期中)數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市北辰區(qū)2024屆高三上學期第一次聯(lián)考(期中)數(shù)學試題一、選擇題1.設全集，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，，故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】，故或；，則或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，，，即，所以，故選：A.4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，定義域為R，所以所以為奇函數(shù)，且，排除AB；當時，，即，排除D故選：C.5.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是（）A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│【答案】A【解析】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞減，排除B，故選A．6.已知數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B. C.16 D.32【答案】B【解析】∵①，∴②，②減去①得：，即，又∵，即，∴數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，∴.故選：B.7.觀察下列關于兩個變量和的三個散點圖，它們從左到右的對應關系依次為（）A.正相關、負相關、不相關 B.負相關、不相關、正相關C.負相關、正相關、不相關 D.正相關、不相關、負相關【答案】D【解析】有相關性可知從左到右的第一個圖是正相關，第二個圖相關性不明確，所以不相關，第三個圖是負相關.故選D.8.設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知為等邊三角形且其面積為，故，即得，設的外接圓圓心為，設三棱錐的外接球球心為O，因為平面，當共線且O位于之間時，三棱錐的高最大，此時其體積也最大；

由于平面，平面，故，而，故，所以，即三棱錐的高最大為6，所以三棱錐的體積的最大值為.故選：B.9.雙曲線的左、右焦點分別為，以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點為，若原點到直線的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作圖如下：∵原點到直線的距離等于實半軸的長，∴直線的距離為，又∵以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點為，∴，由雙曲線定義的，∴直線的距離為，故，即，∴，解得（舍去）或.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題10.已知（為虛數(shù)單位），則________．【答案】【解析】∵，∴.故答案為：.11.的展開式中的系數(shù)為________．【答案】【解析】展開式的通項為，取，解得，系數(shù)為.故答案為：.12.一條傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且該直線與圓相交于，兩點，則________．【答案】【解析】由題意得，拋物線的焦點為，則直線方程為，即，圓化為，則圓心為，半徑，設圓心到直線的距離為，則，則，故答案為：.13.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，在不超過18的素數(shù)2，3，5，7，11，13，17中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于18的概率是________．【答案】【解析】和等于的數(shù)組為，，故概率.故答案為：14.已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值是________；的最大值____________.【答案】11【解析】根據(jù)平面向量的點乘公式,由圖可知，,因此=;,而就是向量在邊上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時E點與B點重合，射影為，所以長度為1.15.已知函數(shù)，函數(shù)，若，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】，當時，令,可得，對稱軸為，故最大值為,即得最大值為,當時，令，則.當時，,當時，二次函數(shù)對稱軸為，故函數(shù)在對稱軸處取到最大值為,當時，開口向上，0距對稱軸遠，故當時取到最大值為,所以由題意可得,即當時，，解得，故.當時，，滿足題意,當時，，解得綜上：.故答案為：.三、解答題16.在中，分別為三個內角的對邊，且.（1）求角的大?。唬?）若求和的值.解：（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，，即，又,所以.（2），，又，，,，.17.如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：、分別為、的中點，則，平面，平面，故平面.（2）解：因為四邊形為正方形，則，又因為，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、，設平面的法向量為，，，則，得，取，可得，，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：易知平面一個法向量為，.因此，平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓離心率，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于不同兩點，線段的中垂線為，若在軸上的截距為，求直線的方程.解：（1）由題意得，，即，直線與圓相切得，.故橢圓的方程是.（2）由題意得直線的斜率存在且不為零，設，，中點，聯(lián)立，消去并整理得，，又，解得且，，得，由，即，化簡得，令得，解得或，由于且，故，直線的方程為，即.19.各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且滿足各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足．（1）求證為等差數(shù)列并求數(shù)列、通項公式；（2）若,數(shù)列的前n項和．①求；②若對任意,均有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）∵,∴.∴,∴,又各項為正,∴,∴開始成等差,又,∴,∴∴為公差為3的等差數(shù)列,∴,,∴．(2),①,,∴,,,?∴．②恒成立,∴,即恒成立,設,,當時,;當時,∴,∴．20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處切線的斜率；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）若有兩個極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，，∴，∴曲線在處切線的斜率為.（2）∵，定義域為，∴，當時，，即，則在單調遞減；當時，令，得，則，時，，則單調遞減，時，，則單調遞增，時，，則單調遞減；當時，令，得，則，∴時，，則單調遞增，時，，則單調遞減；綜上所述：當時，在單調遞減；當時，時，單調遞減，時，單調遞增，時，單調遞減；當時