浙江省寧波市2024屆高三上學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省寧波市2024屆高三上學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知（，為虛數(shù)單位），若是實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，故選：A.2.設(shè)集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，故選：B3.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.的最小值為50 B.的最大值為50C.的最小值為10 D.的最大值為10【答案】C【解析】由題意，在等比數(shù)列中，，設(shè)公比為，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為10，故選：C.5.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的圖象，如圖，由圖象可知，，所以.故選：D6.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：不妨設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，；由余弦定理可知；又因?yàn)?，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故選：C.7.已知二面角的大小為，球與直線相切，且平面、平面截球的兩個(gè)截面圓的半徑分別為、，則球半徑的最大可能值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)在平面、平面內(nèi)的射影點(diǎn)分別為、，設(shè)球切于點(diǎn)，連接、、，如下圖所示：因?yàn)槠矫?，平面，則，由球的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)?，、平面，則平面，同理可知，平面，因?yàn)檫^點(diǎn)作直線的垂面，有且只有一個(gè)，所以，平面、平面重合，因?yàn)槠矫?，平面，則，同理可知，，所以，、、、四點(diǎn)共圓，由已知條件可知，，，因平面，、平面，則，，所以，二面角的平面角為或其補(bǔ)角.①當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，故，易知，為外接圓的一條弦，所以，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，即為；②當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得故，易知，為外接圓的一條弦，所以，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，即為.綜上所述，球的半徑的最大可能值為.故選：D.8.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】B【解析】由題意若不等式在上恒成立，則必須滿足，即，由，兩式相加得，再由，兩式相加得，結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，有，，滿足在上恒成立，綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對為：，共一個(gè).故選：B.二?多選題9.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，取,則，則A正確；對B，根據(jù)二項(xiàng)式展開通式得的展開式通項(xiàng)為，即，其中所以，故B正確；對C，取，則，則，故C錯(cuò)誤；對D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過圓的圓心且交圓于兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】BC【解析】由圓的方程，則，所以圓心，半徑，易知，故A錯(cuò)誤；將代入直線方程，則，解得，故B正確；將代入直線方程，整理可得直線方程，原點(diǎn)到直線的距離，且此為底上的高，所以，故C正確；由與，則直線的斜率，由直線方程，則直線斜率，由，則與不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.若函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】AB【解析】由題意且，可得，，故當(dāng)時(shí)，，.對A，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；對B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故B正確；對C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則需，即，故C錯(cuò)誤；對D，由C，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則，即，故D錯(cuò)誤.故選：AB12.已知函數(shù)：，對任意滿足的實(shí)數(shù)，均有，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.是周期函數(shù)【答案】AC【解析】由，令，則，即，因?yàn)?，所以，故A正確；令，，則，即，即，所以，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；令，則，由AC選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，，滿足，而BD選項(xiàng)不滿足，故BD錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題13.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】由題意結(jié)合三角函數(shù)定義可知，從而由誘導(dǎo)公式有.故答案為：.14.已知圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和2，體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，圓臺(tái)上底面面積為，下底面面積為；設(shè)圓臺(tái)的高為，由體積可得，解得，所以可得圓臺(tái)母線長為，根據(jù)側(cè)面展開圖可得圓臺(tái)側(cè)面積為.故答案為：15.第33屆奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是___________.【答案】【解析】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件，在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：.16.已知拋物線Γ：與直線圍成的封閉區(qū)域中有矩形，點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C，D在直線上，則矩形對角線長度的最大值是___________.【答案】4【解析】如圖所示：聯(lián)立，解得或，得拋物線Γ與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，由題意四邊形是矩形，故，且注意到所以不妨設(shè)，又，所以，所以由圖可知，聯(lián)立，因此，而，由兩平行線間的距離公式可知，從而，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，長度取最大值是.故答案為：4.四?解答題17.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.（1）證明：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，故，因?yàn)?、，所以，則，所以，，所以，或（舍），因此.（2）解：因?yàn)?，故，由，因?yàn)?，故，所?18.已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由對任意整數(shù)均有，取，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，若，則，且當(dāng)時(shí)，滿足.綜上所述：.19.如圖，已知正方體的棱長為4，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿足（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：法1：如圖，取中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由知，由知，所以，所以，所以，所以四點(diǎn)共面；法2：如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以，所以，所以四點(diǎn)共面；（2）解：由（1）知，，設(shè)平面法向量為，由，即，可取，平面的法向量，則有，可取，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面EFG與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，（1）解：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由可得，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由（1）知，，只需證，即證，設(shè)，則，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.21.某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別速度合計(jì)快慢男生65女生55合計(jì)110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？（2）現(xiàn)有n根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.（i）當(dāng)，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）求證：這n根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635（1）解：依題意，完善列聯(lián)表如下，性別速度合計(jì)快慢男生6535100女生4555100合計(jì)11090200所以.故有的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān).（2）（i）解：由題知，隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，所以的分布列為123所以.（ii）證明：不妨令繩頭編號(hào)為，可以與繩頭1打結(jié)形成一個(gè)圓的繩頭除了1，2外有種可能，假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下根繩子進(jìn)行打結(jié)，令根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，由此可得，，所以，所以，顯然，故；另一方面，對個(gè)繩頭進(jìn)行任意2個(gè)繩頭打結(jié)，總共有；所以22.已知雙曲線C：的焦距為6，其中一條漸近線的斜率為，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q