專題11.2 事件的相互獨立與條件概率、全概率公式（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第十一章概率專題11.2事件的相互獨立與條件概率、全概率公式1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率．考點一相互獨立事件的概率考點二條件概率考點三全概率公式的應(yīng)用1．相互獨立事件(1)概念：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．2．條件概率(1)概念：一般地，當事件B發(fā)生的概率大于0(即P(B)>0)時，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，如果樣本空間為Ω，A，B為事件，則BA與Beq\x\to(A)是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq\x\to(A))＝BA＋Beq\x\to(A)，從而P(B)＝P(BA＋Beq\x\to(A))＝P(BA)＋P(Beq\x\to(A))，當P(A)>0且P(eq\x\to(A))>0時，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．常用結(jié)論1．如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．貝葉斯公式：設(shè)A，eq\x\to(A)是一組對立事件，A＋eq\x\to(A)＝Ω，0＜P(A)＜1，則對任意事件B?Ω，P(B)＞0，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\to(A)PB|\x\to(A)).題型一相互獨立事件的概率1．從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從兩個口袋內(nèi)各摸1個球，那么概率為的事件是（

）A．兩個都不是白球 B．兩個不全是白球C．兩個都是白球 D．兩個球中恰好有一個白球【答案】B【詳解】解：∵從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，故兩個球全是白球的概率為，故兩個球不全是白球的概率為，故選：B.2．某次乒乓球單打比賽在甲、乙兩人之間進行.比賽采取三局兩勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽的勝利，比賽結(jié)束.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝出的概率都為，比賽不設(shè)平局，各局比賽的勝負互不影響.這次比賽甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】結(jié)合題意：甲隊戰(zhàn)勝乙隊包含兩種情況：甲連勝2局，概率為，前兩局甲一勝一負，第三局甲勝，概率為，則甲戰(zhàn)勝乙的概率為．故選：D．3．甲?乙兩人獨立地破譯某個密碼，如果每人譯出密碼的概率均為0.4，則密碼被破譯的概率為（

）【答案】C【詳解】由題意得密碼未被破譯的概率為，所以密碼被破譯的概率為，故選：C4．某中學(xué)運動會上有一個項目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進行比賽，共進行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對二進行比賽，共進行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個班進行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過7局比賽獲勝的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局數(shù)，分類討論如下：（1）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．（2）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．（3）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．（4）若甲班在第一階段獲勝的局數(shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．所以所求概率，故A項正確.故選：A.5．某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．則哪種方案能通過考試的概率更大（

）A．方案一 B．方案二 C．相等 D．無法比較【答案】A【詳解】設(shè)三門考試課程考試通過的事件為，相應(yīng)的概率為，則考試三門課程，至少有兩門及格的事件為，其概率為，設(shè)在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格的概率為，則,又由，所以，即用方案一的概率大于用方案二的概率.故選：A.題型二條件概率6．某校舉辦中學(xué)生乒乓球運動會，高一年級初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機選取3人組成代表隊參賽，在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】用A表示事件“代表隊既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被選中”，則在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為.所以，故選：B.7．箱子中裝有2個白球和2個黑球，兩人先后從中有放回地隨機摸取1個球，已知其中一人摸到的是白球，則另外一人摸到的也是白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，箱子中裝有2個白球和2個黑球，兩人先后從中有放回地隨機摸取1個球，設(shè)事件為“其中一人摸到的是白球”，事件為“另一人摸到的是白球”因為兩人先后從中有放回地隨機摸取1個球，可得，所以所求概率為.故選：A.8．逢年過節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過度會影響健康，某調(diào)查機構(gòu)進行了針對性的調(diào)查研究．據(jù)統(tǒng)計，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】記事件A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，事件B：這人一次性飲酒7.2兩未誘發(fā)這種疾病，則事件：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，繼續(xù)飲酒2.4兩不誘發(fā)這種疾病，顯然，，所以.故選：A9．甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，，所以，故選：B.10．湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，甲，乙隨機選擇一條線路去研學(xué)的試驗有個基本事件，事件A含有的基本事件數(shù)是，則，事件含有的基本事件數(shù)為，則,所以.故選：B題型三全概率公式的應(yīng)用11．第19屆亞運會正在杭州舉行，運動員甲就近選擇A餐廳或者B餐廳就餐，第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.5，運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）【答案】B【詳解】運動員甲第二天去餐廳用餐的概率為，故選:B.12．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球；乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨立 D．、、兩兩互斥【答案】A【詳解】依題意，，，，，，B對，，A錯；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨立，C對，由題意可知，事件、、中的任意兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對.故選：A.13．在2023亞運會中，中國女子籃球隊表現(xiàn)突出，衛(wèi)冕亞運會冠軍，該隊某球員被稱為3分球投手，在比賽中，她3分球投中的概率為，非3分球投中的概率為，且她每次投球投3分球的概率為，則該球員投一次球得分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)事件A為“該球員投球得分”，事件B為“該球員投中3分球得分”，由全概率公式：，故選：C14．某部門對一家食品店的奶類飲品和面包類食品進行質(zhì)檢，已知該食品店中奶類飲品占，面包類食品占，奶類飲品不合格的概率為0.02，面包類食品不合格的概率為0.01．現(xiàn)從該食品店隨機抽檢一件商品，則該商品不合格的概率為（

）【答案】C【詳解】設(shè)事件表示“抽到的商品為奶類飲品”，事件表示“抽到的商品為面包類食品”，則，設(shè)事件表示“抽檢的商品不合格”，則，所以，故選：C．15．重慶八中味園食堂午餐情況監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，小唐同學(xué)周一去味園的概率為，周二去味園的概率為，且小唐周一不去味園的條件下周二去味園的概率是周一去味園的條件下周二去味園的概率的2倍，則小唐同學(xué)周一、周二都去味園的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，則“小唐同學(xué)周一、周二都去味園”為事件AB，由題意可知：，且，由全概率公式可知：，即，解得，所以.故選：A一、單選題1．小明在某比賽活動中已經(jīng)進入前四強，他遇到其余四強的三人之一的獲勝概率分別為、、，若小明等可能遇到其他選手，獲勝則進入決賽，反之被淘汰，則小明進入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)小明遇到的三人分別為，，，則小明遇到三人的概率都為，若小明與比賽獲勝的概率為，與比賽獲勝的概率為，與比賽獲勝的概率為，則小明進入決賽的概率為，故選：A.2．若，，，則事件A與的關(guān)系是（

）A．事件A與互斥 B．事件A與對立C．事件A與相互獨立 D．事件A與既互斥又相互獨立【答案】C【詳解】由題意，，，，∴，∴事件與相互獨立、事件與不互斥，故不對立.故選：C.3．甲、乙兩人進行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則兩人各射擊一次，均沒中靶的概率是（） B． C． 【答案】D【詳解】甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則甲不中靶概率為，乙不中靶概率為，因此兩人均沒中靶的概率為，故選：D4．甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則甲、乙兩人都中靶的概率為（

）【答案】A【詳解】由題意知，甲乙兩人都中靶的概率為：.故選：A.5．在3張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)甲中獎為A事件，乙中獎為B事件,則,故選：B.6．大美黃岡，此心安處．在這里，東坡文化獨領(lǐng)風(fēng)騷；在這里，紅色文化光耀中華；在這里，戲曲文化絢麗多姿；在這里，禪宗文化久負盛名．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到黃岡旅游，都準備從H，G，L，Y四個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，設(shè)事件A為“甲和乙至少一人選擇景點G”，事件為B“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題兩位游客從4個著名旅游景點中各隨機選擇一個游玩，共有種，其中事件A的情況有種，事件A和事件B共同發(fā)生的情況有種，所以，，所以.故選：A.7．隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是（

）【答案】D【詳解】記小明步行上班為事件，騎共享單車上班為事件，乘坐地鐵上班為事件，小明上班遲到為事件，則，，，，所以，所以某天上班他遲到的概率是.故選：D.A：甲踢進球；事件B：乙踢進球.甲?乙兩人是否進球互不影響，則接下來一次點球中，（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意知，甲?乙兩人是否進球互不影響，即事件與事件相互獨立，又由，所以.故選：D.二、多選題9．A，B兩組各有2名男生、2名女生，從A，B兩組中各隨機選出1名同學(xué)參加演講比賽.甲表示事件“從A組中選出的是男生小明”，乙表示事件“從B組中選出的是1名男生”，丙表示事件“從A，B兩組中選出的是2名男生”，丁表示事件“從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”，則（

）A．甲與乙互斥 B．丙與丁互斥C．甲與乙相互獨立 D．乙與丁相互獨立【答案】BCD【詳解】對于A選項，因為，，，所以，所以甲與乙相互獨立，故A選項錯誤；對于B選項，因為，，，所以，所以丙與丁互斥，故B選項正確；對于C選項，由A選項知故C選項正確；對于D選項，因為，，所以，故乙與丁相互獨立，故D選項正確.故選：BCD.10．已知隨機事件、發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（

）A．若與互斥，則B．若與相互獨立，則C．若，則事件與相互獨立D．若，則【答案】ABC【詳解】對于A選項，若與互斥，則，A對；對于B選項，若與相互獨立，則，所以，，B對；對于C選項，若，且，所以，事件與相互獨立，C對；對于D選項，若，則，所以，，D錯.故選：ABC.11．在六月一號兒童節(jié)，某商家為了吸引顧客舉辦了抽獎送禮物的活動，商家準備了兩個方案.方案一：盒中有6個大小和質(zhì)地相同的球，其中2個紅球和4個黃球，顧客從盒中不放回地隨機抽取兩次，每次抽取一個球，顧客抽到的紅球個數(shù)等于可獲得禮物的數(shù)量；方案二：顧客投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次投擲中向上點數(shù)為3的倍數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)等于可獲得禮物的數(shù)量．每位顧客可以隨機選擇一種方案參加活動，則下列判斷正確的是（

）A．方案一中顧客獲得一個禮物的概率是B．方案二中顧客獲得一個禮物的概率是C．方案一中顧客獲得禮物的機會小于方案二中顧客獲得禮物的機會D．方案二中“第一次向上點數(shù)是1”和“兩次向上點數(shù)之和為7”相互獨立【答案】ABD【詳解】A:方案一中顧客獲得一個禮物的概率是,故A正確;B:方案二中顧客獲得一個禮物的概率是,故B正確;C:記方案一中顧客獲得禮物的概率為，記方案二中顧客獲得禮物的概率為，,故C錯誤;D:記方案二中“第一次向上點數(shù)是1”為事件,兩次向上點數(shù)之和為7為事件,,,所以方案二中“第一次向上點數(shù)是1”和“兩次向上點數(shù)之和為7”相互獨立,故D正確.故選：ABD.12．國慶節(jié)期間，某商場搞促銷活動，商場準備了兩個裝有卡片的盒子，甲盒子中有4張紅色卡片、2張綠色卡片，乙盒子中有5張紅色卡片、3張綠色卡片(這14張卡片球除顏色外，大小、形狀完全相同).顧客購物滿500元即可參加抽獎，其規(guī)則如下：顧客先從甲盒子中隨機取出1張卡片放入乙盒子，再從乙盒子中隨機取出1張卡片，記“在甲盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件，“在甲盒子中取出的卡片是綠色卡片”為事件，“從乙盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件M，若事件M發(fā)生，則該顧客中獎，否則不中獎.則有（

）A．與是互斥事件 B．C． D．與相互獨立【答案】AC【詳解】從甲箱中摸一張卡片，紅色卡片與綠色卡片不可能同時出現(xiàn)，所以與是互斥事件，故A正確；由題意知，，所以，故B錯誤；，所以，故C正確；因為，故D錯誤.故選：AC．三、填空題13．籃球愛好者小張練習(xí)定點投籃，分別在5個不同位置投籃，每個位置投籃2次，每個位置進球1次得1分，進球2次共得3分．若小張每次投籃進球的概率都是，則小張投籃10次后總得分不低于12分的概率為．【答案】【詳解】小張投籃10次后總得分不低于12分可以分為以下3種情況：4個位置都投進2球，1個位置沒投進球，得12分；4個位置都投進2球，1個位置只投進1球，即9次投進球，1次沒投進球，得13分；5個位置都投進2球，即10次全部投進球，得15分，所以小張投球10次后得分不低于12分的概率為：．