貴州省“三新”改革聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

PAGEPAGE1貴州省“三新”改革聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8個小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）.1.關于空間向量，下列四個結論正確的是（）A.方向相反的兩個向量是相反向量B.任意兩個空間向量總是共面的C.零向量沒有方向D.不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】B【解析】對于A，方向相反長度相等的向量是相反向量，故A錯誤，對于B，空間中，任意兩個向量是共面的，故B正確，對于C，零向量的方向是任意的，故C錯誤，對于D，兩個不相等的向量模長可以相等，此時方向不相同，即為不相等的向量.故D錯誤，故選：B2.已知兩點所在直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（）A.-7 B.-5 C.-2 D.2【答案】A【解析】因為兩點所在直線的傾斜角為，則，即故選:A3.在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.4.已知向量是空間中三個兩兩垂直的單位向量，，則的值為（）A.0 B.-20 C.20 D.40【答案】A【解析】由向量是空間中三個兩兩垂直的單位向量，所以.故選：A5.某汽車客運公司托運行李的費用y（元）與行李質量x（）之間的關系如圖所示，根據(jù)圖像可知，乘客最多可免費攜帶行李的質量為（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】A【解析】由圖像可得，直線過點，由直線方程的兩點式可得，化簡可得，令，解得，即乘客最多可免費攜帶行李的質量為.故選：A6.如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A.當時，點在棱上B.當時，點在線段上C.當時，點棱上D.當時，點在線段上【答案】B【解析】對于，當時，，，所以，則點在棱上，故正確；對于，當時，，，即，即，所以點在線段上，故錯誤；對于，當時，，，所以，所以，即，所以點在棱上，故正確；對于，當時，所以，，所以，即，即，所以點在線段上，故正確．故選：．7.如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處.已知庫底與水壩所成的二面角為，測得從到庫底與水壩的交線的距離分別為，若，則甲?乙兩人相距（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，則，又，，且?guī)斓着c水壩所成的二面角為，則，所以，即.故選：D8.定義:與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長度可以看作是:分別連接兩異面直線上兩點，正方體的棱長為1，是異面直線與的公垂線段，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以A為原點，，所在直線分別為x軸，y軸，軸，如圖所示:，，，，，，設，，所以∵是異面直線與的公垂線段，∴，解得，∴，．故選:C．二、多選題（本題共4個小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.9.已知向量，則下列結論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.不存在實數(shù)，使得【答案】AD【解析】對于A，，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B錯誤；對于C，若，則，解得，所以，所以，故C錯誤；對于D，假設存在實數(shù)，使得，則，所以，方程組無解，所以不存在實數(shù)，使得，故D正確.故選：AD.10.已知直線（不同時為0），則（）A.當時，與軸垂直B.當時，與軸重合C.當時，過原點D.當時，的傾斜角為銳角【答案】BC【解析】對于A：當時直線（），即，表示與軸平行（重合）的直線，故A錯誤；對于B：當時直線，即，即與軸重合，故B正確；對于C：當時直線，此時滿足方程，即過原點，故C正確；對于D：當時直線，即，斜率，所以的傾斜角為鈍角，故D錯誤；故選：BC11.下列命題正確的是（）A.已知，，直線的方向向量為，直線的方向向量為且，則B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線C.已知直線過，且以為方向向量，是直線上的任意一點，則有D.已知平面的法向量為為平面上一點，為平面上任意一點，則有【答案】AC【解析】對于A，，，，因為，所以，所以，故A正確.對于B，直線的方向向量為，平面的法向量為，則有，所以，所以，故B錯誤.對于C，直線過，且以為方向向量，是直線上的任意一點則有，，即，所以，則，故C正確.對于D，平面的法向量為，為平面上一點，為平面上任意一點，則有，則，故D錯誤.故選：AC.12.如圖三棱錐中，點為邊中點，點為線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.存在實數(shù)使得B.當兩兩垂直時，C.當兩兩所成角為且為中點時；D.當兩兩垂直時，為中點，是錐體表面上一點，若，則動點運動形成的路徑長為【答案】BC【解析】對選項A：若存在實數(shù)使得，則，，確定平面，平面，這與條件矛盾，錯誤；對選項B：，，，平面，故平面，平面，故，正確；對選項C：，，故，正確；對選項D：如圖所示以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，即，在平面內，直線方程為，，解得，故路徑長為，錯誤.故選：BC.三、填空題（本題共4個小題，每個小題5分，共20分）.13.已知點是點在坐標平面內的射影，則__________.【答案】【解析】因為點是點在坐標平面內的射影，所以，所以，所以.故答案為:14.是空間的一個基底，向量，是空間的另一個基底，向量，則__________.【答案】3【解析】，且.故答案為：315.一束光射向軸，與軸相交于點，經軸反射，與以連接、兩點的線段總有公共點，這束光所在直線的斜率取值范圍為__________.【答案】【解析】由斜率公式，射線的斜率為，射線的斜率為，如圖，由題意，一束光射向軸，經軸反射，與線段始終相交，則射線即與關于對稱，射線即與關于對稱，∴，，∴這束光所在直線的斜率取值范圍為.故答案為：.16.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形），即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知球O是棱長為2的正八面體的內切球，為球O的一條直徑，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得為正方形的中心，取中點，連接，，因為為正八面體，所以平面，，，，設正八面體的內切球半徑為，則,所以，解得，，由圖可知，當點在正八面體的頂點時，最大，此時，當點在切點，最小，，所以，即.故答案為:．四、解答題（本題共6個小題，17題10分，其余每個小題12分，共70分）.17.已知直線經過，直線經過點.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）由題可知直線的斜率存在且，若則直線的斜率也存在，由，得，即解得或，經檢驗，當或時，；（2）若，當時，此時斜率存在，不符合題意，當時，直線的斜率存在且不為0，則直線的斜率也存在，且，即，即，解得或，所以當或時，.18.如圖，在正方體中，為的中點.（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成角余弦值.解：（1）如圖，連接交于點，連接，由于為的中點，為的中點,則,又因為平面平面，所以平面（2）以為原點，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為，則，所以，，設與所成角為,則所以與所成角的余弦值為.19.已知的三個頂點是．（1）試判定的形狀；（2）求邊上的中線所在直線的方程．解：（1）由題可知，，因為，所以，所以是直角三角形，又因為，所以，所以是等腰三角形綜上可知，等腰直角三角形．（2）的中點坐標為，又，所以直線的斜率，所以直線的方程為：，即，所以邊上的中線所在直線的方程為：．20.如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且.（1）證明四點共面；（2）若與相交與點，求點到直線的距離.解：（1）設，以為空間的一組基底，則，，所以，即且∥，從而四邊形是平行四邊形，所以四點共面.（2）由題意可知：，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，所以是的中點則，可得，而，則點到直線的距離為，所以點到直線的距離為.21.如圖1平行四邊形由一個邊長為6的正方形和2個等腰直角三角形組成，沿將2個三角形折起到與平面垂直（如圖2），連接（1）求點E到平面的距離；（2）線段上是否存在點M，使得直線與平面的夾角為30°.若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.解：（1）因為平面平面且相交于平面，所以平面，又因為平面平面，所以，又因為，以為原點，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，所以即，令，則，所以，所以，設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.（2）若在線段上存在點使得直線到平面的夾角為30°,由題可知存在，使得，因為，所以.設到平面的夾角為，則，即，所以，所以在線段上存在點使得直線到平面的夾角為30°，且.22.如圖，在四棱臺中，底面為矩形，平面平面，且.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，在