高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)幾何證明選講第2課時(shí) 圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

考情分析考點(diǎn)新知掌握?qǐng)A的切線的判定定理和性質(zhì)定理，弦切角定理割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理，能用這些定理解決有關(guān)圓的問題．.①理解圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理，圓周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理.②能應(yīng)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理，圓周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理解決與圓有關(guān)的問題1.如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長(zhǎng)線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，求PC和CD的長(zhǎng)．解：由切割線定理得PC2＝PB·PA＝12，∴PC＝2eq\r(3)，連結(jié)OC，則OC＝eq\f(1,2)OP，∴∠P＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(3).2.如圖，AC為圓O的直徑，弦BD⊥AC于點(diǎn)P，PC＝2，PA＝8，求tan∠ACD的值．解：由相交弦定理和垂徑定理得BP2＝PC·PA＝16，BP＝4.∵∠ACD＝∠ABP，∴tan∠ACD＝tan∠ABP＝eq\f(AP,BP)＝eq\f(8,4)＝2.3.如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝45°，求圓O的面積．解：(解法1)連結(jié)OA、OB，則∠AOB＝90°.∵AB＝4，OA＝OB，∴OA＝2eq\r(2)，則S圓＝π×(2eq\r(2))2＝8π.(解法2)2R＝eq\f(4,sin45°)＝4eq\r(2)R＝2eq\r(2)，則S圓＝π×(2eq\r(2))2＝8π.4.如圖，點(diǎn)B在圓O上，M為直徑AC上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交圓O于N，∠BNA＝45°，若圓O的半徑為2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的長(zhǎng)．解：∵∠BNA＝45°，∴∠BOA＝90°.∵OM＝2，BO＝2eq\r(3)，∴BM＝4.∵BM·MN＝CM·MA＝(2eq\r(3)＋2)(2eq\r(3)－2)＝8，∴MN＝2.5.如圖，已知P是圓O外一點(diǎn)，PD為圓O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過(guò)圓心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，求圓O的半徑長(zhǎng)和∠EFD的大小．解：由切割線定理，得PD2＝PE·PFPE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠PDE＝∠EFD＝30°.1.圓周角定理(1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對(duì)弧度數(shù)的一半．(2)推論1：同弧(或等弧)上的圓周角相等．同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．(3)半圓(或直徑)上的圓周角等于90°.反之，90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑．2.圓的切線(1)圓的切線的性質(zhì)與判定①切線的定義：當(dāng)直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)直線與圓有且只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)直線是圓的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相離．②切線的判定定理：過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．③切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．④切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等．(2)弦切角①弦切角的定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角稱為弦切角．②弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．③推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．3.相交弦定理相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩段的積相等．4.切割線定理(1)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等．(2)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段的等比中項(xiàng)．5.圓內(nèi)接四邊形(1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．(2)圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓．[備課札記]題型1探求角的關(guān)系例1如圖，AB是圓O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：∠DEA＝∠DFA.證明：連結(jié)AD，因?yàn)锳B為圓的直徑，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四點(diǎn)共圓．所以∠DEA＝∠DFA.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2011·南通三模)如圖，圓O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為圓O上一點(diǎn)，AE＝AC，求證：∠PDE＝∠POC.證明：因?yàn)锳E＝AC，AB為直徑，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.題型2求線段長(zhǎng)度例2如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E，EF∥CB，EF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G.(1)求證：△DEF∽△EFA；(2)如果FG＝1，求EF的長(zhǎng)．(1)證明：因?yàn)镋F∥CB，所以∠BCE＝∠FED.又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED.又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.(2)解：由(1)得eq\f(EF,FA)＝eq\f(FD,EF)，即EF2＝FA·FD.因?yàn)镕G是切線，所以FG2＝FD·FA，所以EF＝FG＝1.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB＝AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連結(jié)AD交圓O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F.(1)判斷BE是否平分∠ABC，并說(shuō)明理由；(2)若AE＝6，BE＝8，求EF的長(zhǎng)．解：(1)BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC.(2)由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA.∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(EF,AE).∵AE＝6，BE＝8，∴EF＝eq\f(AE2,BE)＝eq\f(36,8)＝eq\f(9,2).題型3證明線段相等例3如圖，在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓交BC于點(diǎn)N.若AC＝eq\f(1,2)AB，求證：BN＝2AM.證明：在△ABC中，因?yàn)镃M是∠ACB的角平分線，所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(AM,BM).又已知AC＝eq\f(1,2)AB，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(2AM,BM).①又BA與BC是圓O過(guò)同一點(diǎn)B的割線，所以BM·BA＝BN·BC，即eq\f(BA,BC)＝eq\f(BN,BM).②由①②可知，eq\f(2AM,BM)＝eq\f(BN,BM)，所以BN＝2AM.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)如圖，圓O的直徑AB＝2eq\r(5)，C是圓O外一點(diǎn)，AC交圓O于點(diǎn)E，BC交圓O于點(diǎn)D，已知AC＝AB，BC＝4，求△ADE的周長(zhǎng)．解：∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴AD是△ABC的中線．又BC＝4，∴BD＝DC＝2，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝4.由CE·CA＝CD·CB，得CE＝eq\f(4\r(5),5).∴AE＝2eq\r(5)－eq\f(4\r(5),5)＝eq\f(6,5)eq\r(5).由∠DEC＝∠B＝∠C，所以DE＝DC＝2.則△ADE的周長(zhǎng)為6＋eq\f(6\r(5),5).題型4證明線段成比例例4如圖，在△ABC中，∠B＝90°，以AB為直徑的圓O交AC于D，過(guò)點(diǎn)D作圓O的切線交BC于E，AE交圓O于點(diǎn)F.求證：(1)E是BC的中點(diǎn)；(2)AD·AC＝AE·AF.證明：(1)連結(jié)BD，因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圓O于點(diǎn)B且ED切圓O于點(diǎn)D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中點(diǎn)．(2)連結(jié)BF，顯然BF是Rt△ABE斜邊上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有eq\f(AB,AF)＝eq\f(AE,AB)，即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，所以AD·AC＝AE·AF.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)如圖，PA切圓O于點(diǎn)A，割線PBC交圓O于點(diǎn)B、C，∠APC的角平分線分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，求證：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.證明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因?yàn)镻E是∠APC的角平分線，所以∠EPC＝∠APD.又PA是圓O的切線，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD＝AE.(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PAD，,∠CPE＝∠APD))△PCE∽△PADeq\f(EC,AD)＝eq\f(PC,PA).eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠PEA＝PDB，,∠APE＝∠BPD))△PAE∽△PBDeq\f(AE,DB)＝eq\f(PA,PB).又PA是切線，PBC是割線PA2＝PB·PCeq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PA).故eq\f(EC,AD)＝eq\f(AE,DB).又AD＝AE，所以AD2＝DB·EC.1.(2013·廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC＝CD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的值．解：依題意易知△ABC∽△CDE，所以eq\f(AB,CD)＝eq\f(BC,DE)，又BC＝CD，所以BC2＝AB·DE＝12，從而BC＝2eq\r(3).2.(2013·重慶)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過(guò)C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)．解：延長(zhǎng)BA交切線CD于M.因?yàn)椤螩＝90°，所以AB為直徑，所以半徑為10.連結(jié)OC，則OC⊥CD，且OC∥BD.因?yàn)椤螼AC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，即BE＝OB＝10且∠M＝30°.所以O(shè)M＝2OC＝20，所以AM＝10.所以BD＝eq\f(1,2)(AM＋AB)＝eq\f(10＋20,2)＝15，即DE＝BD－BE＝15－10＝5.3.(2013·江蘇)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明：連結(jié)OD，∵AB、BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，∴Rt△ADO∽R(shí)t△ACB.∴eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).∵BC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.4.(2013·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．(1)證明：連結(jié)DE，交BC與點(diǎn)G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.∵DB⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂線，∴BG＝eq\f(\r(3),2).設(shè)DE中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則∠BOG＝60°，∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圓半徑等于eq\f(\r(3),2).1.如圖，圓O與圓O′內(nèi)切于點(diǎn)T，點(diǎn)P為外圓O上任意一點(diǎn)，PM與內(nèi)圓O′切于點(diǎn)M.求證：PM∶PT為定值．證明：設(shè)外圓半徑為R，內(nèi)圓半徑為r，作兩圓的公切線TQ.設(shè)PT交內(nèi)圓于C，連結(jié)OP，O′C，則PM2＝PC·PT，所以eq\f(PM2,PT2)＝eq\f(PC·PT,PT2)＝eq\f(PC,PT).由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO′T＝2∠PTQ，則∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，所以eq\f(PC,PT)＝eq\f(OO′,OT)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(PM,PT)＝eq\r(\f(R－r,R))，為定值．2.如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，過(guò)E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.已知PD＝2DA＝2,求PE.解：∵BC//PE∴∠BCD＝∠PED.且在圓中∠BCD＝∠BAD∠PED＝∠BAD.△EPD∽△APEeq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PE)PE2＝PA·PD＝3·2＝6.所以PE＝eq\r(6).3.如圖，正三角形ABC外接圓的半徑為1，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN與△ABC的外接圓交于點(diǎn)P，求線段NP的長(zhǎng)．解：設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為x，由正弦定理，得eq\f(x,sin60°)＝2，所以x＝eq\r(3).延長(zhǎng)PN交圓于Q，則NA·NC＝NP·NQ.設(shè)NP＝t，則t·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2).所以t＝eq\f(\r(15)－\r(3),4)，即NP＝eq\f(\r(15)－\r(3),4).4.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，圓O是△BDE的外接圓．(1)求證：AC是圓O的切線；(2)如果AD＝6，AE＝6eq\r(2)，求BC的長(zhǎng)．(1)證明：連OE，∵BE⊥DE，∴O點(diǎn)為BD的中點(diǎn)．∵OB＝OE，∴∠O