學習《結構力學》三彎矩方程

學習《結構力學》的三彎矩方程式§9-1、荷載作用下連續(xù)梁的計算三彎矩方程式多跨連續(xù)梁的超靜定次數(shù)等于其各中間支座數(shù)目。圖9-3中，b圖所示多跨簡支梁為根本結構，以各中間支座彎矩Mn-1、Mn、Mn+1……等為多余未知力來求解。根據(jù)根本結構上每個中間支座處左、右兩側面的相對轉角應等于零的位移條件，可建立與多余未知力的數(shù)目同樣多的典型方程。下面以支座n處的位移條件為例，寫出其典型方程。由于在此根本結構中，每個單位彎矩圖的范圍只限于該未知力左、右的兩跨〔見圖9-3〕，因此每個單位彎矩圖就只與左、右兩個相鄰的單位彎矩圖相互垂疊，于是由圖乘法可知，在支座n的典型方程中，除δnn-1，δnn，δnn+1外，其余各項系數(shù)均為零。這樣，此典型方程就簡化為：δnn-1Mn-1+δnnMn+δnn+1Mn+1+Δnp=0………………〔1〕這說明，不管多余未知力的數(shù)目有多少，每個典型方程中最多只包含三個多余未知力。由圖乘法可得：公式中：和代表跨度和上Mp圖的面積。，為把跨的Mp圖的面積當作簡支梁的假象荷載時，該跨右支座產(chǎn)生的虛反力〔圖9-4，a〕。，為把跨的Mp圖的面積當作簡支梁的假象荷載時，該跨左支座產(chǎn)生的虛反力〔圖9-4，b〕。注明：為跨右支座虛反力；為跨左支座虛反力。將上述系數(shù)和自由項代入前述典型方程〔1〕可得：……〔2〕為簡化起見，令：，，……IO是任意慣性矩，通常取某跨度慣性矩作為IO；，，…稱為各跨換算跨度。于是典型方程〔2〕成為：……〔9-1〕這就是通常所稱為的三彎矩方程式。對于連續(xù)梁的每一個中間支座，都可以寫出一個這樣的方程式，因而可求出全部中間支座彎矩。當各跨的慣性矩I相同時，可取Io=I，那么=，=，式〔9-1〕成為：………………〔9-2〕假設是各跨的慣性矩I相同，跨度也相同，式〔9-2〕那么簡化成：………………〔9-3〕為便于計算，表9-1中列出了幾種常見荷載下的6Aφ和6Bφ值。對復雜一些的荷載，可根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)，由疊加法求得。表9-1幾種常見荷載下的6Aφ和6Bφ值荷載當，當，當，求出各支點彎矩后，以各點彎矩為連續(xù)，再對各跨按簡支梁做荷載彎矩計算，按疊加法繪制總彎矩圖。根據(jù)彎矩圖作剪力圖：；。其中：Mn、Mn+1、Mp→n有正負之分。根據(jù)剪力計算支座反力。支點n上的反力：Wn=Qn-Qn+1〔↑為正〕。例題：求圖9-5所示連續(xù)梁的M、Q圖及支座反力。q=10KN/m。解題：設IO=I1，那么：，，，按式〔9-1〕建立各中間支座的三彎矩方程式時，應注意在連續(xù)梁的兩端處為鉸支，有Mo=M4=0。故在第一及最后兩個三彎矩方程式中實際僅包含兩個未知力。支座1：支座2：支座3：用數(shù)字代入上列各式得：解之可得：M1=-17.83KN-m，M2=-24.58KN-m，M3=-3.86KN-m。各中間支座彎矩求得后，最后彎矩圖可按疊加法繪出，然后根據(jù)彎矩圖作出剪力圖〔圖9-6〕。再由剪力圖可求得各支座反力為：注：彎矩圖是按簡支狀態(tài)下單跨疊加的！剪力左為“-〞，右為“+〞。R0=9.06kN↑，R1=20.94+38.31=59.25kN↑；R2=25.18+41.69=66.87kN↑，R3=14.82+1.29=16.11kN↑；R5=1.29kN↓。注解：計算剪力：；Qn——表示n截面左側↑，Qn+1—示n截面右側↓。其中跨中