極限習(xí)題及答案：函數(shù)的連續(xù)性

/分段函數(shù)的極限和連續(xù)性例設(shè)SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的左、右極限，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處是否有極限？（2）函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處是否連續(xù)？（3）確定函數(shù)SKIPIF1<0的連續(xù)區(qū)間．分析：對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0在給定點(diǎn)SKIPIF1<0處的連續(xù)性，關(guān)鍵是判斷函數(shù)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的極限是否等于SKIPIF1<0；函數(shù)在某一區(qū)間上任一點(diǎn)處都連續(xù)，則在該區(qū)間上連續(xù)．解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處有極限．（2）SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處不連續(xù)．（3）函數(shù)SKIPIF1<0的連續(xù)區(qū)間是（0，1），（1，2）．說明：不能錯(cuò)誤地認(rèn)為SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處就連續(xù)．求分段函數(shù)在分界點(diǎn)SKIPIF1<0的左右極限，一定要注意在分界點(diǎn)左、右的解析式的不同．只有SKIPIF1<0才存在．函數(shù)的圖象及連續(xù)性例已知函數(shù)SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的定義域，并作出函數(shù)的圖象；（2）求SKIPIF1<0的不連續(xù)點(diǎn)SKIPIF1<0；（3）對(duì)SKIPIF1<0補(bǔ)充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù)．分析：函數(shù)SKIPIF1<0是一個(gè)分式函數(shù)，它的定義域是使分母不為零的自變量x的取值范圍，給函數(shù)SKIPIF1<0補(bǔ)充定義，使其在R上是連續(xù)函數(shù)，一般是先求SKIPIF1<0，再讓SKIPIF1<0即可．解：（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0．因此，函數(shù)的定義域是SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0其圖象如下圖．（2）由定義域知，函數(shù)SKIPIF1<0的不連續(xù)點(diǎn)是SKIPIF1<0．（3）因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因此，將SKIPIF1<0的表達(dá)式改寫為SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0在R上是連續(xù)函數(shù)．說明：要作分式函數(shù)的圖象，首先應(yīng)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡，再作函數(shù)的圖象，特別要注意化簡后的函數(shù)與原來的函數(shù)定義域是否一致．利用函數(shù)圖象判定方程是否存在實(shí)數(shù)根例利用連續(xù)函數(shù)的圖象特征，判定方程SKIPIF1<0是否存在實(shí)數(shù)根．分析：要判定方程SKIPIF1<0是否有實(shí)根，即判定對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是否與x軸有交點(diǎn)，因此只要找到圖象上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在x軸上方，另一點(diǎn)在x軸下方即可．解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是R上的連續(xù)函數(shù)．又SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0內(nèi)必存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一個(gè)實(shí)根．所以方程SKIPIF1<0有實(shí)數(shù)根．說明：作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，看圖象是否與x軸有交點(diǎn)是判別方程SKIPIF1<0是否有實(shí)數(shù)根的常用方法，由于函數(shù)SKIPIF1<0是三次函數(shù)，圖象較難作出，因此這種方法對(duì)本題不太適用．函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性例函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否連續(xù)，在區(qū)間SKIPIF1<0上呢？分析：開區(qū)間內(nèi)連續(xù)是指內(nèi)部每一點(diǎn)處均連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)指的是內(nèi)部點(diǎn)連續(xù)，左點(diǎn)處右連續(xù)，右端點(diǎn)處左連續(xù)．解：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）任取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在（0，2）內(nèi)連續(xù)．但SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處無定義，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處不連續(xù)．從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不連線說明：區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其圖象是連續(xù)而不出現(xiàn)間斷曲線．函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性例討論函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0點(diǎn)處的連續(xù)性分析：分類討論不僅是解決問題的一種邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想．明確討論對(duì)象，確立分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類，以獲得階段性的結(jié)論，最后歸納綜合得出結(jié)果，是分類討論的實(shí)施方法．本題極限式中，若不能對(duì)x以1為標(biāo)準(zhǔn)，分三種情況分別討論，則無法獲得SKIPIF1<0的表達(dá)式，使解答擱淺．討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0點(diǎn)處的連續(xù)性，若作出SKIPIF1<0的圖像，則可由圖像的直觀信息中得出結(jié)論，再據(jù)定義進(jìn)行解析論證．由于SKIPIF1<0的表達(dá)式并非顯式，所以須先求出SKIPIF1<0的解析式，再討論其連續(xù)性，其中極限式中含SKIPIF1<0，故須分類討論．解：（1）求SKIPIF1<0的表達(dá)式：①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)處的連續(xù)性：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0不存在，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)處不連續(xù)（3）討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)處的連續(xù)性：SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)處連續(xù)．根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性確定參數(shù)的值例若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù)，試確定a的值解：SKIPIF1<0SKIPI