天津中考圓的復(fù)習(xí)專題

天津中考天津中考圓的復(fù)習(xí)專題〔13年真題〕圓的有關(guān)概念與性質(zhì)，圓的切線的判定和性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，垂徑定理，圓與三角形和三角函數(shù)，四邊形結(jié)合等題型。圓在天津中考的大題中出現(xiàn)在第22題，分值是8分。一、圓的根本概念圓的定義1．描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)叫做圓心，叫做半徑．2．集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑．3．圓的表示方法：通常用符號(hào)表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作〞“，讀作〞圓“．4．同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．注意：同圓或等圓的半徑相等．弦和弧1．弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．2．直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍．3．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．4．?。簣A上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。詾槎它c(diǎn)的圓弧記作，讀作?。?．等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．7．優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．二、垂徑定理圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線是它的對(duì)稱軸；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合．⑴旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性：無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度它都能與自身重合，對(duì)稱中心為圓心．圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性弦、弧、弦心距，圓心角之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距這四組量中，只要有其中一組量相等，那么其余三組量也分別相等，其相互推導(dǎo)關(guān)系如下列圖：所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩條弦相等所對(duì)的兩條弧相等所對(duì)的兩條弦的弦心距相等注意：①前提條件是在同圓或等圓中；②在由等弦推出等弧時(shí)應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等．⑵軸對(duì)稱性：它的任意一條直徑所在的直線均為它的對(duì)稱軸．圓的軸對(duì)稱性垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦、并且平分弦所對(duì)的兩條弧．垂徑定理1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．推論1：⑴平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；⑵弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；⑶平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．3．推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，，三個(gè)量中知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量．二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定．設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，那么有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的外部.確定圓的條件1.圓確實(shí)定確定一個(gè)圓有兩個(gè)根本條件：①圓心(定點(diǎn))，確定圓的位置；②半徑(定長(zhǎng))，確定圓的大?。挥挟?dāng)圓心和半徑都確定時(shí)，遠(yuǎn)才能確定．2.過(guò)點(diǎn)作圓⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)．⑵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓：以線段中垂線上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè)．⑶過(guò)三點(diǎn)的圓：假設(shè)這三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；假設(shè)三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段與的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．⑷過(guò)個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作個(gè)或個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心．3.定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴〞不在同一直線上〞這個(gè)條件不可無(wú)視，換句話說(shuō)，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵〞確定〞一詞的含義是〞有且只有〞，即〞唯一存在〞．4.三角形的外接圓⑴經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處(即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.三直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，那么直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線．直線與相交從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無(wú)直線名稱割線切線無(wú)三、切線的性質(zhì)及判定1．切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．2．切線的判定：定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．3．切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理：⑴切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．⑵切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．4．弦切角等于同弧所對(duì)的圓周角．①切線的判定定理設(shè)OA為⊙O的半徑，過(guò)半徑外端A作⊥OA，那么O到的距離d=r，∴與⊙O相切．因此，我們得到：切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．注：定理的題設(shè)①“經(jīng)過(guò)半徑外端〞，②“垂直于半徑〞，兩個(gè)條件缺一不可．結(jié)論是“直線是圓的切線〞．舉例說(shuō)明：只滿足題設(shè)的一個(gè)條件不是⊙O的切線．證明一直線是圓的切線有兩個(gè)思路：連接半徑，證直線與此半徑垂直；(2)作垂直，證垂直在圓上②切線的性質(zhì)定理及其推論切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．我們分析：這個(gè)定理共有三個(gè)條件：一條直線滿足：(1)垂直于切線(2)過(guò)切點(diǎn)(3)過(guò)圓心定理：①過(guò)圓心，過(guò)切點(diǎn)垂直于切線OA過(guò)圓心，OA過(guò)切點(diǎn)A，那么OA⊥AT②經(jīng)過(guò)圓心，垂直于切線過(guò)切點(diǎn)③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，垂直于切線過(guò)圓心四、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系可以是兩圓相交、兩圓相切(內(nèi)切或外切)、兩圓相離、兩圓內(nèi)含．設(shè)兩個(gè)圓為、，半徑分別為、，且，與間距離為，那么就有兩圓相離；兩圓相外切；兩圓相內(nèi)切；兩圓相交；兩圓內(nèi)含(這里)．如果兩圓、相交于、兩點(diǎn)，那么垂直平分．如果兩個(gè)半徑不相等的圓、圓相離，那么內(nèi)公切線交點(diǎn)、外公切線交點(diǎn)都在直線上，并且直線上，并且直線平分兩外公切所夾的角和兩內(nèi)公切線所夾的角．如果兩條外公切線分別切圓于、兩點(diǎn)、切圓于、兩點(diǎn)，那么兩條外公切線長(zhǎng)相等，且、都被垂直平分．處理兩圓位置關(guān)系的根本思路與處理關(guān)于直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題的根本思路是一致的．相切兩圓的性質(zhì)連心線：是指通過(guò)兩圓圓心的一條直線．連心線是它的對(duì)稱軸．兩圓相切時(shí)，由于切點(diǎn)是它們唯一的公共點(diǎn)，所以切點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上．①通過(guò)兩圓圓心的直線叫做連心線．②如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上．．〔2023?天津〕AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．〔1〕如圖①，假設(shè)AB=2，∠P=30°，求AP的長(zhǎng)〔結(jié)果保存根號(hào)〕；〔2〕如圖②，假設(shè)D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．〔2023?天津〕AB與⊙O相切于點(diǎn)C，OA=OB，OA、OB與⊙O分別交于點(diǎn)D、E．〔I〕如圖①，假設(shè)⊙O的直徑為8，AB=10，求OA的長(zhǎng)〔結(jié)果保存根號(hào)〕；〔II〕如圖②，連接CD、CE，假設(shè)四邊形ODCE為菱形，求的值．．〔2023?天津〕⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B．〔Ⅰ〕如圖①，假設(shè)∠BAC=25°，求∠AMB的大??；〔Ⅱ〕如圖②，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于E，交⊙O于點(diǎn)D，假設(shè)BD=MA，求∠AMB的大?。?023?天津〕如圖，AB為⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，A，C為切點(diǎn)，∠BAC=30°．〔Ⅰ〕求∠P的大?。弧并颉臣僭O(shè)AB=2，求PA的長(zhǎng)〔結(jié)果保存根號(hào)〕．．〔2023?天津〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn)，〔Ⅰ〕求∠AOD的度數(shù)；〔Ⅱ〕假設(shè)AO=8cm，DO=6cm，求OE的長(zhǎng)．．〔2007?天津〕如圖，⊙O和⊙O′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線上，過(guò)P作⊙O的割線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn)，作⊙O′的切線PE切⊙O′于點(diǎn)E．假設(shè)PC=4，CD=8，⊙O的半徑為5．〔1〕求PE的長(zhǎng)；〔2〕求△COD的面積．．〔2005?天津〕如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑長(zhǎng)為2，大圓的弦AB與小圓交于點(diǎn)C、D，且AB=3CD，∠COD=60°．〔1〕求大圓半徑的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)大圓的弦AE與小圓切于點(diǎn)F，求AE的長(zhǎng)．．〔2004?天津〕如圖，PAB是⊙O的割線，AB為⊙O的直徑，PC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，BD⊥PC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，PA=AO=OB=1．〔Ⅰ〕求∠P的度數(shù)；〔Ⅱ〕求DE的長(zhǎng)．．〔2006?天津〕Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．〔Ⅰ〕如圖①，假設(shè)半徑為r1的⊙O1是Rt△ABC的內(nèi)切圓，求r1；〔Ⅱ〕如圖②，假設(shè)半徑為r2的兩個(gè)等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2；〔Ⅲ〕如圖③，當(dāng)n大于2的正整數(shù)時(shí)，假設(shè)半徑rn的n個(gè)等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、BC相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On﹣1均與AB邊相切，求rn．．〔2003?天津〕，如圖⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點(diǎn)．〔1〕求證：AB⊥AC；〔2〕假設(shè)r1、r2分別為⊙O1、⊙O2的半徑，且r1=2r2．求的值．．〔2002?天津〕如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，