專題1-10 數(shù)列放縮通項(xiàng)證明不等式與數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題（解析版）

專題110數(shù)列放縮拆分練習(xí)與數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題TOC\o"13"\n\h\z\u題型一求和后放縮題型二放縮通項(xiàng)再裂項(xiàng)相消求和題型三放縮成等比數(shù)列題型四根式的放縮題型五跳過(guò)第一項(xiàng)再放縮求和題型六利用重要不等式放縮題型七通過(guò)糖水不等式進(jìn)行放縮題型八放縮后錯(cuò)位相減求和題型九數(shù)列恒成立問(wèn)題數(shù)列通項(xiàng)放縮問(wèn)題是放縮問(wèn)題的常考類型，相較于求和之后再比較大小的題型而言，這一部分對(duì)放縮對(duì)象的處理需要一定的技巧，因而對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)具有挑戰(zhàn)性，是數(shù)列放縮中的難點(diǎn).此節(jié)中，我將分為如下幾個(gè)點(diǎn)展開(kāi)：第一，將通項(xiàng)放縮為可裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，然后裂項(xiàng)求和；第二，將通項(xiàng)放縮為等比結(jié)構(gòu)（等差比結(jié)構(gòu)）然后錯(cuò)位相減求和，總之，處理的基本原則就是將不可求和放縮成可求和再求和放縮.當(dāng)然，下面的這些常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式與放縮公式需要注意.1．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：必須記例如：或者等2.一個(gè)重要的指數(shù)恒等式：次方差公式這樣的話，可得：，就放縮出一個(gè)等比數(shù)列.3.糖水不等式分子分母同加常數(shù)：常見(jiàn)放縮公式：（太多了，不一定要全部記，自行選擇）一、等差型（1）；（2）；（3）；（4）；二、根式型（5）；（7）；（8）；（9）；三、指數(shù)型（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．題型一求和后放縮已知，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：【解析】，則，故，又，所以，即，又是單調(diào)遞增數(shù)列，則綜上，.已知為，證明：．【解析】，所以，隨著的變大，變大，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，且，故.已知，設(shè)，記，證明：.【解析】，，，兩式相減得，所以.已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.(2)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?題型二放縮通項(xiàng)再裂項(xiàng)相消求和已知，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【詳解】證明：由（1）得，所以，所以已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且，設(shè)，求證：．【詳解】．所以．又因?yàn)?，所以．設(shè)求證：解析又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），，于是已知，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：解：，可知當(dāng)時(shí)，，不等式得證已知，記，，．證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】，，，所以，當(dāng)時(shí)，．已知，若，為的前n項(xiàng)和，證明：．【解析】,,,，，.已知數(shù)列，設(shè)，求證：解：思路：，無(wú)法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項(xiàng)公式（不等號(hào)：），若要放縮為裂項(xiàng)相消的形式，那么需要構(gòu)造出“順序同構(gòu)”的特點(diǎn)。觀察分母中有，故分子分母通乘以，再進(jìn)行放縮調(diào)整為裂項(xiàng)相消形式。解：而所以已知，的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【詳解】，則，.，則.∴.∴題型三放縮成等比數(shù)列（2014全國(guó)2卷）已知，證明：.解析：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以于是.所以.注：此處便是利用了重要的恒等式：次方差公式：當(dāng)然，利用糖水不等式亦可放縮：，請(qǐng)讀者自行嘗試.已知，證明：【詳解】，所以已知，記，求證：．【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．記，證明：．【解析】，，，．已知，數(shù)列，證明：.【分析】當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證所證不等式成立，當(dāng)時(shí)，由放縮法可得出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得原不等式成立，綜合可得出結(jié)論.【詳解】解：由，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，對(duì)任意的，.已知數(shù)列，，求證：對(duì)任意的且，有解：證明：已知，求證：對(duì)任意的，．【解析】，故，所以．題型四根式的放縮的整數(shù)部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】注意到，，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則.又，則.故，即整數(shù)部分為4.2023屆·廣東省綜合素質(zhì)測(cè)試（光大聯(lián)考）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2），由（1）可知數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，所以，又因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，即，.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：解：，（2021浙江卷）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．解析：由，即根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.一方面：.另一方面，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．題型五跳過(guò)第一項(xiàng)再放縮求和已知，設(shè)數(shù)列，證明：．【解析】，則當(dāng)時(shí)，，．從而得證．已知數(shù)列滿足且，求證：．【解析】數(shù)列滿足且，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以．已知，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【解析】，則.先證：當(dāng)時(shí)，，，滿足；當(dāng)時(shí)，，所以.故得證.再證：因?yàn)椋?故不等式成立.已知，證明：．【解析】當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，得證．題型六利用重要不等式放縮設(shè)求證解析此數(shù)列的通項(xiàng)為，，即注：=1\*GB3①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過(guò)“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里其中，等的各式及其變式公式均可供選題型七通過(guò)糖水不等式進(jìn)行放縮求證利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得即題型八放縮后錯(cuò)位相減求和2024屆·廣州·仲元中學(xué)?？家阎枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為是公比大于0的等比數(shù)列，，(1)求和的通項(xiàng)公式：(2)記，證明：【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)求解，（2）由放縮法與錯(cuò)位相減法求和證明．【詳解】（1）對(duì)于等差數(shù)列，，而，解得，故，對(duì)于等比數(shù)列，，則，而公比，解得，故（2），則令，則，兩式相減得，得，故，原式得證題型九數(shù)列恒成立問(wèn)題已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（），滿足,數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，求得，由數(shù)列的單調(diào)性列不等式即可得的取值范圍；【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于，所以，解得，所以，若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則對(duì)于恒成立，所以在上恒成立，則，所以，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，故的取值范圍為已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】由，可得，進(jìn)而得到，結(jié)合，分和分類討論，確定數(shù)列的單調(diào)性，求出最大值，進(jìn)而得解.【詳解】由數(shù)列滿足、得：是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，則當(dāng)或時(shí)，，而任意的，恒成立，則，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.已知數(shù)列{an}對(duì)任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實(shí)數(shù)λ的最大值為.【答案】7【分析】先求出的通項(xiàng)公式，然后參變分離轉(zhuǎn)化為求最值【詳解】令m=1，則an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，所以an=n，所以λan≤+12?λn≤n2+12?λ≤n+，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，所以數(shù)列滿足，若對(duì)任意，所有的正整數(shù)n都有成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】先由題設(shè)求得，然后利用數(shù)列的單調(diào)性求得其最大值，把對(duì)任意，所有的正整數(shù)n都有成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，∴，由，顯然成立，設(shè)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，由，，故當(dāng)或時(shí)，數(shù)列取最大值，且最大值為，對(duì)任意，所有的正整數(shù)n都有成立，可得，因此，，即對(duì)任意恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值，則，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.已知，若對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，再作差判定單調(diào)性求出數(shù)列的最值，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋覍?duì)于任意恒成立，所以對(duì)于任意恒成立，即，令，則，因?yàn)?，，，且?duì)于任意恒成立，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，得到，，變形后得到是等差數(shù)列，首項(xiàng)為6，公差為4，從而求出，故代入整理得，利用作差法得到單調(diào)遞減，最小值為，列出不等式求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，整理得，方程兩邊同除以，得，又，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為6，公差為4，所以，故，經(jīng)驗(yàn)證，滿足要求，所以為，故，對(duì)任意恒成立，，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故，解得：，則的最小值為已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】先利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解，再利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大值，進(jìn)而解決不等式恒成立問(wèn)題即可.【詳解】由可知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解方程得或，又，，，.由得，，設(shè)，則，由對(duì)于任意恒成立，所以只考慮的符號(hào)，設(shè)，，令解得，即在上單調(diào)遞增，令解得，即在上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)，，當(dāng)，時(shí)，，即，，當(dāng)，，即，即從，開(kāi)始單調(diào)遞減，即，，即，的取值范圍為.已知，，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，求使得不等式成立的的最小值.【答案】5.解：，則，則，兩式相