2023年自學考試線性代數試題

全國2023年4月圖等教育自學考試

線性代數試題

課程代碼：02198

試卷說明：AT表達矩陣A的轉置矩陣，E是單位矩陣，|A|表達方陣A的行列式。

第一部分選擇題（共28分）

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有

一個是符合題目規(guī)定的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。

ana12al3al1alla12+al3

1.設行列式=m,=n,則行列式等于（)

a21a22a23a2la21a22+a23

A.m+nB.-(m+n)

C.n-mD.m-n

'10O'

2.設矩陣A=020,則A-1等于(

<003,

「3-12、

3.設矩陣人二10-1,A*是A的隨著矩陣，則A*中位于（1,2）的元素是（）

「214；

A.-6B.6

C.2D.-2

4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC,則必有（）

A.A=0B.BHC時A=0

C.AwO時B=CD.|A|#0時B=C

5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AD等于（）

A.1B.2

C.3D.4

6.設兩個向量組a”a2,a5和Bi,B2,…，m均線性相關，則()

A.有不全為0的數人1，入2,…，3使81a,+X2a2+—+XsaS=O和A?B1+入2+…s=0

B.有不全為0的數Xi，A2，…,入s使81(a[+01)+X2(a2+62)+,,,+A.s(as+Ps)=0

C.有不全為0的數、i，X2,?-?,入$使入1(a1)+A?(a2-B2)+…+As(as-Bs)=0

D.有不全為0的數入1,入2，…，人》和不全為0的數Ni,U2,…，口s使入1ai+A2a2+…+

入sas=0和UiBi+U2B2+…+UsPs=0

7.設矩陣A的秩為r,則A中（

A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0

C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為0

8.設Ax=b是一非齊次線性方程組,ni，12是其任意2個解，則下列結論錯誤的是

是的一個解

A.ni+n2是Ax=o的一個解B=HI+T42Ax=b

22

€\。1-112是人*=0的一個解D.2nl-rl2是Ax=b的一個解

9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

A.秩（A）<nB.秩（A）=n-1

C.A=OD.方程組Ax=（）只有零解

10.設A是一個n（23）階方陣，下列陳述中對的的是（）

A.如存在數人和向量a使Aa=Xa,則a是A的屬于特性值X的特性向量

B.如存在數人和非零向量a,使（AE-A）a=0,則入是A的特性值

C.A的2個不同的特性值可以有同一個特性向量

D.如A”A2,入3是A的3個互不相同的特性值，a1,a2,<13依次是A的屬于入i,82,

入3的特性向量，則a”a2,a3有也許線性相關

11.設入o是矩陣A的特性方程的3重根，A的屬于入。的線性無關的特性向量的個數為k,則必

有（)

A.kW3B.k<3

C.k=3D.k>3

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是()

A.|AF必為1B.內必為1

C.A-'=ATD.A的行(列)向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=C「AC.則()

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特性值

D.A與B協議

14.下列矩陣中是正定矩陣的為()

’100、q1r

C.02-3D.120

E-35,<102>

第二部分非選擇題(共72分)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共2()分)不寫解答過程，將對的的答案寫在每

小題的空格內。錯填或不填均無分。

1II

15.356=.

92536

…兒(1-11]I123、-

16.設A=,B=廁niIA+2B=

U1-1；1-1-24；

17.設A=(aij)3x3，|A|=2,A,表達|A|中元素aj的代數余子式(i,j=l,2,3),則

(a11A21+a12A22+a13A23/+(a21A?1+a22A22+a23A23)2+(a31A?\+a32A22+a33A23)2二.

18.設向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關，則a=.

19.設A是3X4矩陣，其秩為3,若in,112為非齊次線性方程組A乂=1)的2個不同的解，則它

的通解為.

20.設A是mXn矩陣，A的秩為r(<n),則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中具有解的個

數為.

21.設向量a、B的長度依次為2和3,則向量a+B與a—B的內積(a+B,a-B)=.

22.設3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特性值-1和4,則另一特性值為.

23.設矩陣A=1-3-3,已知a=-1是它的一個特性向量，則a所相應的特性值

為.

24.設實二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數為3,則其規(guī)范形為.

三、計算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)

「20](231、

25.設A=340,B='.求(1)ABZ(2)|4A|.

(一240J

l-l2\)

3-12

-53-4

26試.計算行列式

20-1

-5-3

3、

27.設矩陣4=10，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.

3>

3

-30-1

28.給定向量組a|=

0224

<3>、4,-1

試判斷a4是否為a”a2，a3的線性組合；若是，則求出組合系數。

‘1-2-102、

29.設矩陣-2人=4:,2：6；-6：.

2-1023

、33334>

求：(1)秩(A)；

(2)A的列向量組的一個最大線性無關組。

‘0-22'

30.設矩陣A=-2-34的所有特性值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-iAT=D.

124-3)

31.試用配方法化下列二次型為標準形

-

f（Xi,X2,Xj）=+2x93X3+4X|X2-4X|X3-4X2X3,

并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A-'O,試證明E-A可逆，且（E-A）"=E+A+A2.

33.設no是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，€1,g2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.

試證明

（1）nl=no+€1，。2=110+&2均是人*=1）的解；

（2）no,ni,r線性無關。

全國2023年4月高等教育自學考試

線性代數試題參考答案

課程代碼：02198

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）

1.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.D14.C

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）

15.6

（333

16.

1-1-3

17.4

18.-10

19.。|+（：（112-。1）（或112+（：（112-。1）），＜：為任意常數

20.n-r

21.-5

22.-2

23.1

24.+z->+Zj-zj

三、計算題（本大題共7小題每小題6分，共42分）

20Y2-2、

25.解⑴ABT=34034

1JI-1

<-120>

86、

1810

310>

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

120

|A|=340=-2.

-121

所以14Al=64?(-2)=-128

511

=—111—1

-5-50

511

-62

=-620=30+10=40.

-5-5

-5-50

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

<22"1-4-3、

(A-2E)-'=1-101-5-3

<-121>64;

-4-3Y423、

所以B=(A-2E)-,A=1-5-3110

<-164A-123>

’3-8-6、

2-9-6

<-2129>

28.解一

所以a4=2ai+a2+a3,組合系數為(2,1,1).

解二考慮a4=X|a1+X2a2+X3a3,

—2x]+x2+3X3—0

-

X]3X2=-1

2X2+2x3=4

3xj+4x2-x3=9.

方程組有唯一解（2,1,1）T,組合系數為（2,1,1）.

29.解對矩陣A施行初等行變換

-2-102、

0006-2

0328-2

<0963-2>

‘1-2-102、"1-2-102

0328-30328

二B.

0006-20003

<000-217,.00000j

(1)秩(B)=3,所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是

B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一

個最大線性無關組。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解A的屬于特性值入=1的2個線性無關的特性向量為

g尸(2,-1,0)T,3(2,0,1)T.

’2石/5、’2石”5、

經正交標準化，得nk-V5/5q2=475/15

o、石/3,

人=一8的一個特性向量為

'1/3

經單位化得n3=2/3

<-2/3>

’2石/52V15/151/3'

所求正交矩陣為T=-V5/54A/5/152/3

、0石/3-2/3,

‘100、

對角矩陣D=010

、00-8

’2石/52715/151/3、

（也可取T=0-V5/32/3.)

、加15-475/15-2/3,

31.解f(xi>X2，X3)=(X1+2X2-2X3)2-2X22+4X2