2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組13數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

專題十三數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念

1.(2019課標(biāo)II文,2,5分)設(shè)z=i(2+i),則-=()

A.l+2iB.-l+2i

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查數(shù)學(xué)

運(yùn)算的核心素養(yǎng).

；z=i(2+i)=2i+i2=-l+2i,..=-l-2i,故選D.

解題關(guān)鍵正確理解共貌復(fù)數(shù)的概念是求解的關(guān)鍵.

2.(2017課標(biāo)III文,2,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-l=T-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),位于

第三象限.故選C.

3.(2017北京理,2,5分)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(-°°,1)B.(-8,-1)C.(1,+°°)D.(-1,+°°)

答案B本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

?.?復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)=a+l+(l-a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，.?.%+*Aa<-1.故

選B.

4.(2017課標(biāo)HI理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)2滿足(1+。2=21則|2|=()

A*B.vC.V2

答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模.

2

zI=V1+12=A/2.

一題多解V(l+i)z=2i,11+i|,|z|=|2i|,即J/+>>|z|=2,,\|z|=V2.

5.(2017課標(biāo)I文,3,5分)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()

A.i(l+i)22(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義.

A.i(l+i)2=iX2i=-2;

2(l-i)=-(l-i)=-l+i;

C.(l+i”=2i;

D.i(l+i)=-l+i,故選C.

6.(2016課標(biāo)I文,2,5分)設(shè)(1+201+1)的實(shí)部與虛部相等,其中@為實(shí)數(shù),則2=()

答案A：(l+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+l)i,

a-2=2a+l,解得a=-3,故選A.

解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yGR)的形式,然后建立方程是解決問題的關(guān)鍵.

評析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yeR)的形式是解

題關(guān)鍵.

7.(2016課標(biāo)II文,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則一=()

A.-l+2iC.3+2i

答案Cz=3-2i,所以一=3+2i,故選C.

8.(2016課標(biāo)HI文,2,5分)若z=4+3i,則二=()

r43.n43.

c?肅iD-5V

答案D由z=4+3i得|z|=,32+42=5,—=4-3i,則二故選D.

I55

9.(2016山東理,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿足2z+—=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()

A.l+2iC.-l+2i

答案B設(shè)z=a+bi(a,b￡R),則2z+—=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,???a=l,b=-2,???z=l-2i,

故選B.

10.(2015安徽理，1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B?.?在也署=-l+i,.?.復(fù)數(shù)在在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)是(-1,1),它位于第二象限.

1-121-1

11.(2015課標(biāo)I理,1,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足Ji,則||z|=()

I-

B.V2C.V3

.2

答案A由已知戶=i，可得?二W二i,，|z|=|i|=1,故選A.

1-L+1(i+l)(i-l)-2

12.(2015湖北理，1,5分)i為虛數(shù)單位,F，的共軌復(fù)數(shù)為()

答案AVi6OT-i4xl51t3=(i,)151?i=-i,

.?.F，的共扼復(fù)數(shù)為i.

13.(2014課標(biāo)II理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z?zz在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱,z尸2+i,則

Z1Z2=()

C.-4+i

答案A由題意得Z2=-2+i,...ZiZ2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.

14.(2014重慶理，1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(12i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案Ai(l-2i)=i-2i2=2+i,對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(2,1),在第一象限.選A.

15.(2014課標(biāo)I文,3,5分)設(shè)2=-+、貝1］舊設(shè))

答案Bz*+i舟+i=1+?,因此Iz|=J(；)+(J故選B.

16.(2013課標(biāo)I理,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=14+3i|,則z的虛部為()

-4D.-4

55

答案D:14+3i|=〃2+32=5,；.z=J=嗯2W+gi,虛部為:,故選D.

3-41Z555o

17.(2013課標(biāo)II文,2,5分)島卜()

V2C.V2

答案,島卜|罕卜117=點(diǎn)選C

18.(2012課標(biāo)理,3,5分)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=3的四個(gè)命題：

-1+1

2

Pi：Iz|=2,p2:z=2i,

P3：z的共視復(fù)數(shù)為1+i,pi：z的虛部為T.

其中的真命題為()

2,P31,P22,Pl3,Pl

答案cz=「T-i,所以|z|=V^,pi為假命題;z2=(-l-i)2=(l+i)2=2i,pz為真

-1+1(-1+1)(-1-1)

命題;一=-l+i,P3為假命題;pi為真命題.故選C.

評析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力.

19.(2012課標(biāo)文,2,5分)復(fù)數(shù)z=^的共甑復(fù)數(shù)是()

A.2+iC.-1+i

_-3+i_(-3+i)(2-i)_5+5i

答案D2+i(2+i)(2-i)~=-l+i,一二T-i,故選D.

評析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，易忽略共輒復(fù)數(shù)而錯(cuò)選.

20.(2011課標(biāo)理，1,5分)復(fù)數(shù)筆的共軌復(fù)數(shù)是()

I-Z1

3.3.

51BR.J

答案C瞿i,其共朝復(fù)數(shù)為-i,故選C.

1-21母(1一，1黑)(1+2泮1)

評析本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共朝復(fù)數(shù)的概念，屬容易題.

21.(2019天津理,9,5分)i是虛數(shù)單位,則|工|的值為.

答案

解析本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以復(fù)數(shù)的模為背景考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

用等卜23=亞7嬴m

小題巧解周二舒嚕g

22.(2019江蘇,2,5分)己知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值

是.

答案2

解析本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

V(a+2i)(l+i)=(a-2)+(a+2)i的實(shí)部為0,

；.a-2=0,解得a=2.

解題關(guān)鍵掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)形式的四則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

23.(2017江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)z=(l+i)(l+2i),其中i是虛數(shù)單位，則z的模是.

答案710

解析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

Vz=(l+i)(l+2i)=l+2i+i+2i2=3i-l,

z|=M+(-MWTU.

24.(2016江蘇,2,5分)復(fù)數(shù)2=(1+2。(3-。，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是.

答案5

解析(l+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實(shí)部為5.

25.(2016北京理,9,5分)設(shè)aGR.若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則

答案T

解析(1+i)(a+i)=(a-l)+(a+l)i,：aeR,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸

.".a+l=0,

26.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(l-2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值

為.

答案-2

解析(a+i)=2+a+(l-2a)i為純虛數(shù)，

”解得a=-2.

14I—V,

27.(2015江蘇,3,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?=3+4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為.

答案V5

解析設(shè)z=a+bi(a,bCR),則z2=a'-b'+2abi,

由復(fù)數(shù)相等的定義得。~3,

(2=4,

解得｛:;閾：：1：

從而|z|力2+2=倔

28.(2015重慶理，H,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,bWR)的模為V5,則(a+bi)(a-bi)=.

答案3

22

解析復(fù)數(shù)a+bi(a,bGR)的模為J2+2=質(zhì),則a+b=3,則

(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a'-b2,i2=a2+b2=3.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1.(2020課標(biāo)I文,2,5分)若2=1+21+。則2]=()

C.V2

答案C'.?z=l+2i+i、l+2i-i=l+i,，|z|=：l+i|=Ji再彳=戲，故選C.

2.(2020課標(biāo)H文,2,5分)(l-i)4=()

答案A(l-i)4=[(l-i)Z]Z=12i)2=4i2=-4,故選A.

3.(2020課標(biāo)HI文,2,5分)若一(l+i)=l-i,則z=()

B.1+i

答案DV—(l+i)=l-i,.??—一；+：-(]；；(；)吟T；.z=i,故選D.

4.(2019課標(biāo)I文，1,5分)設(shè)z*,則|z|=()

B.V3C.V2

答案C本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算;考查了運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.

,?_3T_(37)(12)

*Zl+2i-(14-2i)(l-2i)

_3-7i+2i2_l-7i_l_7.

1一⑵)2555：,

?z?=J(9+卜9=點(diǎn),故選c-

易錯(cuò)警示易將1誤算為1,導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

5.(2018課標(biāo)I,理1,文2,5分)設(shè)z《+2i,則|z|=()

B.1D.V2

答案C本題主要考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

i)

Vz-(1^-(I'j)+2i=^+2i^i,：.\z\=l,故選C.

6.(2018課標(biāo)II理,1,5分)；等()

1-21

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

9

l+2i(l+2i)-二計(jì)必二4而皆

1-21(1-21)(l+2i)555

7.(2018課標(biāo)II文,1,5分)i(2+3i)=()

B.3+2iD.-3+2i

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

i（2+3i）=2i-3=-3+2i,故選D.

8.（2018北京理,2,5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和幾何意義.

?*=7i品行若，,其共朝復(fù)數(shù)為三飆，又;-濃在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,

故選D.

9.(2017課標(biāo)H理，1,5分)魯=()

A.l+2iC.2+i

答案I）本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.

q3+i）（i7）上故選

10.（2017課標(biāo)n文,2,5分）（l+i）（2+i）=（）

B.l+3iC.3+iD.3+3i

答案B本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.

（l+i）（2+i）=2+i+2i+i2=l+3i.故選B.

11.（2017山東文,2,5分）已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z2=（）

答案A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

由zi=l+i得z=—=l-i,

1

所以zJ（l-i）2=-2i,故選A.

12.（2016北京文,2,5分）復(fù)數(shù)辱（）

2-1

B.l+i

l+2i_(l+2i)(2+i)_2+i+4i+2i2_5i

答案A~~(2-i)(2+i)4^?5"i,故選A.

13.(2015課標(biāo)n理,2,5分)若a為實(shí)數(shù)，且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=()

答案B：(2+ai)(a-2i)=-4i=4a+(a2-4)i=-4i,

2：,4,解得a=0.

14.(2015課標(biāo)I文,3,5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-l)i=l+i,則z=()

B.-2+iD.2+i

答案C由已知得z=ti+l=2-i,故選C.

1

15.(2015課標(biāo)1J文,2,5分)若a為實(shí)數(shù),且==3+i,則a=()

1+1

答案D由已知得2+ai=(l+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故選D.

16.(2015安徽文,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(l+2i)=()

A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-l+i

答案C(1-i)(l+2i)=l+2i-i-2i2=3+i.

2

17.(2015湖南文，1,5分)已知空二=l+i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=()

A.1+iC.-1+i

答案DT(卜故選D.

1+11+1(1+1)(1-1)

3

18.(2014課標(biāo)I理,2,5分)竺1=()

(1-i)

A.1+iC.-1+i

答案D(1+i)-*+：，(l+i)=T-i,故選D.

(1-i)(1-i)l+i-21

19.(2014課標(biāo)n文,2,5分)辛=()

1-1

A.l+2iB.-l+2i

答案Br-0：；)-一2；4-1+21,故選B.

l-i(l-i)(l+i)2

20.(2013課標(biāo)II理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(Li)z=2i,則z=()

A.-1+iC.1+i

答案A由題意得z=F~-且=”「l+i,故選A.

1-1z

21.(2013課標(biāo)I文,2,5分)R=()

(1-i)

-iB.-l+-iC.l+-ili

2222

先受Dl+2i_l+2i(l+2i)i-2+i.,1.