2010考研數(shù)學復習(高數(shù)與線性代數(shù))

第十三章矩陣的特征值與特征向量例1：假定階矩陣的任意一行的個元素之和都是，試證是的特征值，且是的屬于的特征向量。當時，又問此時的行和為多少？例2：設(shè)矩陣，又，又有一個特征值，屬于的一個特征向量為，求的值.例3：設(shè)向量，都是非零向量，且滿足條件，，求（1）；（2）矩陣的特征值與特征向量；（3）問相似與對角矩陣嗎？例4：設(shè)矩陣與矩陣相似，其中，求的值；求可逆矩陣，使得例5：設(shè)有3個線性無關(guān)的特征向量，求應滿足的條件.例6：已知是的一個特征向量，試確定參數(shù)及特征向量所對應的特征值；相似與對角矩陣嗎？說明理由.例7：已知是實對稱矩陣的三個特征值，且對應于的特征向量為求對應于的特征向量及矩陣.例8：若任一維非零列向量都是階矩陣的特征向量，證明是一個數(shù)量矩陣.例9：如果階矩陣滿足其中，證明可以對角化.例10：設(shè)三階實對稱矩陣的秩為2，已知是的二重特征值，若都是的屬于特征值的特征向量.（1）求的另一個特征值和對應的特征向量；（2）求矩陣.例11：設(shè)矩陣，，，求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣.例12：設(shè)是矩陣的兩個不同的特征值，對應的特征向量為，則線性無關(guān)的充分必要條件是（）（）（）（）（2005年數(shù)學三）例13：設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根，求的值，并討論是否可以相似對角化.（2004年數(shù)學一）例14：設(shè)3階實對稱矩陣的特征值，且是的屬于的一個特征向量.記,其中為三階單位矩陣.（Ⅰ）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量.（Ⅱ）求矩陣.（2007年數(shù)學一、二、三、四）例15：設(shè)為3階矩陣,為的分別屬于特征值特征向量,向量滿足.（Ⅰ）證明線性無關(guān).（Ⅱ）令,求.（2008年數(shù)學二、三）第十四章二次型例1：設(shè)二次型經(jīng)正交變換化成其中為三維列向量，是正交矩陣.試求常數(shù).例2：設(shè)為實矩陣，，試證當時，矩陣為正定矩陣.例3：設(shè)為實矩陣，，試證明矩陣非奇異；矩陣為對稱正定矩陣.例4：設(shè)實對稱矩陣為正定矩陣，證明存在可逆矩陣，使.例5：如果為階正定矩陣，為階實對稱矩陣，證明：存在可逆矩陣，使得和都是對角矩陣；當充分小時，仍是正定矩陣.例6：已知二次型的秩為2。（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）求正交變換，把化成標準形；（=3\*ROMANIII）求方程的解.（2005年數(shù)學一）例7：設(shè)為正定矩陣，其中分別為階，階對稱句矩陣，為矩陣.（=1\*ROMANI）計算，其中（=2\*ROMANII）利用（=1\*ROMANI）的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.例8：設(shè)二次型（=1