線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)

PAGEPAGE1《線性代數(shù)》學(xué)習(xí)輔導(dǎo)資料鄭綠洲2004年10月目錄1、第一章：行列式…….(1)2、第二章：矩陣及其運(yùn)算……………（9）3、第三章、矩陣的初等變換與線性方程組………….（17）4、第四章、向量的線性相關(guān)性……（33）5、相似矩陣及二次型……………….（44）第一章n階行列式（一）基本要求：理解行列式的定義和性質(zhì)、運(yùn)用行列式的性質(zhì)和行列式的展開定理進(jìn)行計(jì)算、應(yīng)用克萊姆(Cramer)法則解方程組。（二）內(nèi)容分析和教材處理指導(dǎo):本章的重點(diǎn)是計(jì)算行列式，熟練掌握行列式計(jì)算的各種方法和技巧。在歷年的考試中本章的考題不超過6分，且多以填空的形式出現(xiàn)，主要是行列式的計(jì)算。但行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，在矩陣求逆、求解方程組和求特征值中均要用到行列式的計(jì)算。本章主要考查行列式的計(jì)算，而行列式的計(jì)算主要是利用行列式的性質(zhì)，因此本章的重點(diǎn)在于掌握行列式的性質(zhì)及其運(yùn)用。（1）排列及其逆序數(shù)主要是在行列式定義和計(jì)算中用到，重點(diǎn)講清楚排列逆序的定義和計(jì)算方法。（2）計(jì)算行列式概念的引入要自然，引入行列式是解線性方程組的需要，使方程組解的表示簡(jiǎn)單規(guī)范。從求解二元方程組求解引入行列式表示，這樣使學(xué)生對(duì)行列式的引入有一個(gè)清楚的了解。從二階行列式和三階行列式的對(duì)角線法則分析，分析行列式定義中各項(xiàng)的特點(diǎn)，位于不同行不同列的元素乘積，進(jìn)而引入行列式的一般定義。行列式的定義是一種符號(hào)約定，關(guān)鍵講清行列式是如何計(jì)算的，取項(xiàng)，冠符，求和是行列式定義的概括定義，容易記憶，但要闡述每一步的含義。為了理解行列式的定義，對(duì)一些典型的行列式應(yīng)用定義計(jì)算，關(guān)鍵是在計(jì)算過程中反復(fù)回味行列式定義的每一環(huán)節(jié)。除書中的例子外可考慮其他典型例子，如變形的對(duì)角行列式，至至少有個(gè)零的行列式。（3）行列式的等價(jià)定義，可從行列式的本質(zhì)來理解，每項(xiàng)是位于不同行不同列的個(gè)元素乘積，等價(jià)定義實(shí)際上是說項(xiàng)可按行排列，也可以按列排列，相應(yīng)的冠服規(guī)則是對(duì)應(yīng)的。（4）行列式的性質(zhì)重在理解和應(yīng)用，重點(diǎn)是性質(zhì)6可用于行列式樣的化簡(jiǎn)。（5）行列式的按行（列）展開，其意義開始不易理解，可通過例子說明其意義，特別指出實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常是將某行（列）化簡(jiǎn)為只有一個(gè)非零元，則展開只有一項(xiàng)。這種展開法（降階法）可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。（6）Gramer法則重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)消元的基本思路，復(fù)習(xí)代數(shù)余子式的基本性質(zhì)。指出Gramer法則只使用于未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，一般情況將在第四章系統(tǒng)討論。對(duì)于齊次方程組的非零解問題要作為重點(diǎn)，特別是含參數(shù)的方程。對(duì)齊次方程有非零解和系數(shù)行列式為零之間的等價(jià)關(guān)系可做一些解釋，便于作為一個(gè)整體來考慮。（三）重點(diǎn)難點(diǎn)分析與處理：1．排列的逆序數(shù)的計(jì)算：逆序的定義是基礎(chǔ)，由定義推出“向前比較”和“向后比較”兩種方法，注意逆序和順序的關(guān)系。2．按定義計(jì)算行列式：取項(xiàng)、冠符、求和三個(gè)步驟，重點(diǎn)注意冠符方法。2,3階行列式可用對(duì)角線法則，4階以上的行列式不能用對(duì)角線法則來求。3．降階方法和含參數(shù)的齊次方程組有非零解問題（四）學(xué)習(xí)指導(dǎo)與常見問題釋疑1、

寫出四階行列式含有因子的項(xiàng)。解：根據(jù)行列式的定義，含有因子的項(xiàng)有兩項(xiàng)，和，其列指標(biāo)的逆序數(shù)為，故包含的項(xiàng)和。2、

計(jì)算下列2，3階行列式：（1），（2），（3），（4），其中解：（1）（2）3．計(jì)算下列數(shù)字元素行列式：（1），（2）（3），（4）解：（1）（2）（3）（4）4．證明：（1）證：根據(jù)行列式的拆項(xiàng)性質(zhì)有（2）證：（3）證：（4）證明：按最后一行展開得到5．計(jì)算下列行列式（為k階行列式）（1）解：所有行都加到第一行，則知（2）（提示：利用范德蒙行列式的結(jié)果）解：經(jīng)過行列對(duì)稱的互換可轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式或（3）解：按降階法得到（4），其中（5），其中解：6．用克蘭姆法則求解下列方程組：

（1），（2）7．設(shè)水因密度與溫度的關(guān)系為，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定得以下數(shù)據(jù)t0102030h13.6013.5713.5513.52求時(shí)水銀密度（準(zhǔn)確到小數(shù)兩位）。8．問，取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解：齊次方程組有非零解的必要條件是系數(shù)行列式等于零，故即或齊次方程組有非零解。9．問取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解：=0即或3。第二章矩陣及其計(jì)算（一）基本要求：1．理解矩陣的概念，2．了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，以及它們的性質(zhì)．3．掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪、方陣乘積的行列式．4．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求矩陣的逆．5．掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．6．了解分塊矩陣及其運(yùn)算．二、內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)矩陣的概念應(yīng)強(qiáng)調(diào)線性方程組的系數(shù)矩陣和表示，線性變換的矩陣表示，單位矩陣、對(duì)角矩陣所對(duì)應(yīng)的線性變換。典型矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，如三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣以及它們的性質(zhì)。矩陣的乘法是矩陣運(yùn)算的重點(diǎn)，要強(qiáng)調(diào)矩陣的乘法不滿足交換律和消去律，分析各種不同形式的表現(xiàn)形式。矩陣的伴隨矩陣及其性質(zhì)在矩陣逆陣計(jì)算中具有重要意義，可結(jié)合習(xí)題進(jìn)行擴(kuò)充補(bǔ)充。解矩陣方程是逆陣的重要應(yīng)用，應(yīng)作為矩陣計(jì)算的重點(diǎn)，分析解矩陣方程的一般分析方法。分塊矩陣及其運(yùn)算對(duì)后續(xù)課程非常重要，可結(jié)合相關(guān)題目作一些討論，特別是分塊對(duì)角陣的一些運(yùn)算性質(zhì)。三、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與常見問題釋疑：1已知線性變換求從變量到變量的線性變換。解：矩陣形式為，故，即2．已知兩個(gè)線性變換求從到的線性變換。解：3．設(shè)求及4．計(jì)算下列矩陣乘積（1（2），（3） （4）（5）5．設(shè)，問（1）

AB=BA嗎？（2）

嗎？（3）

嗎？（4）

由此關(guān)于矩陣的乘法得到何結(jié)論？6．舉反例說明下列命題是錯(cuò)誤的：（1）

若，則;（2）

若，則A=0或A=E;（3）

若AX=AY，且，則X=Y。（4）

以上反例說明了什么？7．設(shè)，求。（先計(jì)算觀察出計(jì)算結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明）注：記，可驗(yàn)證，A可表示為，由此可計(jì)算。該題結(jié)果可推廣到高階矩陣。8．求與可交換的全體二階矩陣。解：設(shè)與可交換的二階矩陣為，則有對(duì)比兩端元素，得到4個(gè)方程。求解得到：，其中任意，故，其中為任意實(shí)數(shù)。9．證明：（1）設(shè)A，B為n階矩陣，且A為對(duì)稱陣，則也是對(duì)稱陣;(2)若A和B都是n階對(duì)稱陣，則A+B，A-2B也是對(duì)稱陣;證明：（1）(3)（若A滿足，則A稱為反對(duì)稱陣）對(duì)于任意的n階矩陣A，是對(duì)稱陣，是反對(duì)稱陣;(4)A可表示為對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣之和。證：顯然矩陣可表示為10．設(shè)A，B都是n階對(duì)稱陣，證明AB是對(duì)稱陣的充分必要條件是AB=BA。證明：充分性、，即是對(duì)稱矩陣必要性：一方面，由對(duì)稱性可知，因此。11．求下列矩陣的逆陣：（1），

（2）（3）（4）（5），（6）12．解矩陣方程：（1）（2）（3）解：（3）13．利用逆陣求下列方程組（1）（2）解：方程組可表示為，因此，即14。設(shè)（k為正整數(shù)），證明證明：因?yàn)楦鶕?jù)定義知15．設(shè)方陣滿足，證明及都可逆，并求及。解：由可知，故可逆，且由得到，即，故可逆，且16．設(shè)，，求。解：，即，所以，計(jì)算得到

17．設(shè)，證明（特別當(dāng)為對(duì)角陣時(shí)可方便地計(jì)算A的冪，這在第五章相似矩陣中詳細(xì)討論，該結(jié)論可推廣到A的多項(xiàng)式的計(jì)算）證明：，假設(shè)時(shí)成立，即，則時(shí)有18．設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為，證明（1）

若，則（2）

證明：（1）若，則，結(jié)論顯然。若，則若，則可逆。又，則有，這與矛盾，故（2）由伴隨矩陣的性質(zhì)可知，兩端取行列式得到由（1）知當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)，由上式得到19．取，驗(yàn)證解:,所以而因此20．設(shè)，求及。解:21．設(shè)階方陣及階方陣B都可逆，求。解:根據(jù)矩陣的形式猜測(cè)逆陣的形式,考慮矩陣因?yàn)?因此有22.將階矩陣分塊為其中是階可逆矩陣,如果可逆且已知,試求(這種利用求的方法稱為加邊法,它是求逆陣的一種重要方法.解:設(shè),則有即,得到求解得到,因此,因此

第三章向量組的線性相關(guān)性和矩陣的秩（一）基本要求：（二）內(nèi)容分析和教學(xué)指導(dǎo)（1）從解方程的過程引出所要解決的問題，每個(gè)方程對(duì)應(yīng)于一個(gè)行向量，某個(gè)方程可由其它方程表示，則該方程可去掉，為無效方程。這對(duì)應(yīng)于討論向量組中是否有某個(gè)向量可由其它向量線性表示，即向量的線性相關(guān)性問題。去掉無效方程后的方程求解，需要確定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系數(shù)行列式不等于零的問題（2）向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)，和矩陣的運(yùn)算相對(duì)應(yīng)。（3）向量線性相關(guān)性的定義和判斷：線性相關(guān)性定義使用于理論證明，把相關(guān)性問題轉(zhuǎn)化為向量方程（即方程組）有無非零解的問題，而等價(jià)定義使相關(guān)性的含義更加明確。為了加深相關(guān)性的定義，對(duì)與一個(gè)向量，兩個(gè)向量和三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義加以強(qiáng)調(diào)：?jiǎn)蝹€(gè)零向量是線性相關(guān)的，兩個(gè)向量相關(guān)是指兩個(gè)向量共線，三個(gè)向量相關(guān)是共面。通過利用相關(guān)性定義來判斷向量組線性相關(guān)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的利用概念分析判斷，進(jìn)行邏輯推理的能力。定義理解中的誤區(qū)：（1）定義中的系數(shù)是獨(dú)立的，（2）非零組合系數(shù)是相對(duì)向量組的，不同向量組對(duì)應(yīng)的系數(shù)可能不同，（3）向量組線性相關(guān)則至少有一個(gè)向量可以由其它向量線性表示，至于是那一個(gè)向量是依賴于具體的向量組，并不是每個(gè)向量都可由其它向量變來表示。列向量組的線性相關(guān)性和線性表示的矩陣表示，行向量組線性相關(guān)性和線性表示的矩陣表示。重點(diǎn)是列向量組表示的矩陣形式。（4）相關(guān)表示式的分量形式是理解相關(guān)性定理的基礎(chǔ)和本質(zhì)，一個(gè)分量對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)未知數(shù)。用子式判斷向量的線性相關(guān)性的方法，子式不等于對(duì)應(yīng)于只有零解，對(duì)應(yīng)于線性無關(guān)，子式等于零對(duì)應(yīng)于有非零解，對(duì)應(yīng)線性相關(guān)。（5）最大無關(guān)組和矩陣的秩：重點(diǎn)理解矩陣秩的定義和含義，牢固建立矩陣和向量組的對(duì)應(yīng)關(guān)系。矩陣的秩等于行向量組的秩，等于列向量組的秩，就是非零子式的最高階數(shù)。掌握最高階非零子式和向量組的最大無關(guān)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，子式為零對(duì)應(yīng)于線性相關(guān)，子式非零對(duì)應(yīng)于線性無關(guān)。定理的證明重要的是說明思路，關(guān)鍵是理解并利用結(jié)論進(jìn)行推理證明。重點(diǎn)是利用子式確定矩陣的秩和最大無關(guān)組。（6）初等變換對(duì)向量組的影響，初等行變換和化簡(jiǎn)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)形所保留的信息，（變換不變量是矩陣的秩）?？赡婢仃嚕?）通過簡(jiǎn)單的例子說明左乘相當(dāng)于行變換，右乘相當(dāng)于列變換，關(guān)鍵是理解其意義。通過求逆陣的初等變換方法可得到一種解矩陣方程的方法（8）介紹向量空間，子空間的基本概念，對(duì)比基和最大無關(guān)組的定義，加深對(duì)基和最大無關(guān)組，向量組和向量空間的理解（除零空間外，向量空間是無限的，而向量組可以是有限的）。生成子空間的概念及其生成子空間的表示。（三）習(xí)題指導(dǎo)（習(xí)題3）設(shè)，求及。2．

設(shè)，其中，求。3．

設(shè)是m個(gè)n維向量，試問：（1）若有m個(gè)數(shù)存在，使得那么是否線性無關(guān)？解：主要考察定義中的“不全為零的一組數(shù)”的理解，若這組數(shù)至少有一個(gè)非零，則可判定線性相關(guān)。沒有這一限制是沒有意義的，因?yàn)槿咳×阆禂?shù)，不管向量組是什么，上式總是成立的。因此，不能判斷向量組的線性相關(guān)性。（2）若有m個(gè)不全為零的數(shù)使得那么是否線性相關(guān)？解：定義中的組合式是“=”，改為“不等于”則不能說明向量的線性相關(guān)性。（3）若線性相關(guān)，則一定可由線性表示嗎？解：相關(guān)性等價(jià)定義中是說：向量組中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表示，至于是那一個(gè)向量可由其它向量線性表示，則要以來于具體的向量組。不能斷定一定可由線性表示。4．

設(shè)與都是n維向量，下面的證明是否正確？（1）若向量組線性相關(guān)，向量組線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)，使得由此推出于是向量組也線性相關(guān)。解：向量組線性相關(guān)，則存在一組的非零組合系數(shù)，這組組合系數(shù)是依賴于向量組的，不同的向量組其組合系數(shù)可能不一樣。以上證明中就是忽略了這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。（2）若只有當(dāng)時(shí)才成立，那么一定線性無關(guān)。解：定義中的組合系數(shù)是獨(dú)立的，上式中的系數(shù)不獨(dú)立，只能推知是線性無關(guān)的。5．

將向量表示成的線性組合：（1）解：設(shè)，按分量展開得到求解得到，即（2）

解：設(shè)，按分量展開得到用Gramer法則或用如下方法簡(jiǎn)化可知，即6．

判斷下列向量組的線性相關(guān)性：（1）解：法一，應(yīng)用定義，設(shè)，即得到方程組，系數(shù)行列式為，不能用Gramer法則，由定理可知存在非零解。事實(shí)上，由第一式知，代入其它方程得到取，得到，故，因此線性相關(guān)。或者由定理知，系數(shù)行列式等于零，則齊次方程組有非零解，故向量組線性相關(guān)。法二、這是三個(gè)三維向量，由定理知，向量組線性相關(guān)的充要條件是所組成的行列式等于零，因此只需求行列式即可。事實(shí)上，以向量為列所構(gòu)成的行列式為故向量組線性相關(guān)。（2）法一、用定義，設(shè)，展開方程所構(gòu)成的齊次方程組的系數(shù)行列式不等于零，故只有零解，由定義知線性無關(guān)。法二，以向量為列構(gòu)成的行列式為，故向量組線性相關(guān)。（3）法一、定義法法二、行列式法，由定理可知個(gè)維向量線性相關(guān)的充要條件是向量所構(gòu)成的行列式為零。以向量為行構(gòu)成的行列式為因此向量組是線性無關(guān)的。（4）法一、定義法法二、行列式法，向量所構(gòu)成的行列式是Vandemon行列式，顯然不等于零，故向量組是線性無關(guān)的。

7．

設(shè)向量，試問：（1）c取何值時(shí)，線性相關(guān)？（2）c取何值時(shí)，線性無關(guān)？解：解法一、根據(jù)定義，設(shè)，按分量展開得到系數(shù)行列式為根據(jù)Gramer法則知，時(shí)，方程組有非零解，線性相關(guān)，時(shí)，方程組只有零解，故線性無關(guān)。解法二、考慮由構(gòu)成的行列式因此，時(shí)，線性相關(guān)，時(shí)，線性無關(guān)。8．

設(shè)，證明向量組線性相關(guān)。證明：直接觀察法，由表示式易看出，故線性相關(guān)。（這種方法沒有一般性）根據(jù)線性相關(guān)性的定義證明。設(shè)將代入，得到上式成立的充分條件為方程組對(duì)應(yīng)的行列式為因此有非零解，故向量組線性相關(guān)。

9．

設(shè)，且線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)。（注：本題可推廣到一般的形式，只要表示的系數(shù)矩陣可逆即可）證明：設(shè)

將的表示式代入，即因?yàn)榫€性無關(guān)，故有顯然，或考慮系數(shù)行列式根據(jù)Gramer法則有故線性無關(guān)。10．

在秩是r的矩陣中，有沒有等于0的r階子式？有沒有等于0的r-1階子式？解：本題主要考察矩陣秩的概念，在秩是的矩陣中，有一個(gè)階的子式不等于零，有可能有階的子式等于零，也可能有等于零的階子式，但不可能所有的階子式等于零。11．

從矩陣A中劃去一行得到的矩陣B，問A，B的秩的關(guān)系如何？解：考慮的行向量組，，則顯然關(guān)于秩有如下關(guān)系：

12．

求作一個(gè)秩是4的方陣，它的兩個(gè)行向量是，。解：只需增加三個(gè)行向量，使方陣的秩等于4,即使某個(gè)4階子式不等于零?？紤]13．

求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無關(guān)組：（1）;(2);(3)解：應(yīng)用子式方法，考慮由為行向量構(gòu)造矩陣，因此，最高階非零子式所對(duì)應(yīng)的為最大無關(guān)組。注：最大無關(guān)組不是唯一的。14.設(shè)一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示，證明線性無關(guān)。證明：記，已知單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的，故向量組的秩。又由條件知向量組可由線性表示，由定理知，

由于向量組中僅有個(gè)向量，故，即向量組線性無關(guān)。15.設(shè)是一組n維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量都可由它們線性表示。證明：必要性。設(shè)是線性無關(guān)的，設(shè)為任一維向量，則為(n+1)個(gè)維向量，故線性相關(guān)，由結(jié)論知可由線性表示。充分性。分別取，由條件可知，可由線性表示，由上題的結(jié)論知，線性無關(guān)。16．設(shè)向量組A與向量組B的秩相等，且A組能由B組線性表示，證明A組與B組等價(jià)。證明：設(shè)，設(shè)向量組的最大無關(guān)組為，向量組的最大無關(guān)組為，由條件知，向量組可由向量組線性表示，向量組A的最大無關(guān)組刻有向量組B的最大無關(guān)組線性表示，即有下證為可逆矩陣，用反證法，設(shè)，則設(shè)，即便

只需，或，假設(shè)，則方程組有非零解，這與線性無關(guān)矛盾，故知可逆因此即可由線性表示，因此向量組可由向量組線性表示，即向量組與向量組等價(jià)。17．設(shè)向量組A：的秩為,向量組B：的秩為，向量組C：的秩為，證明并利用該結(jié)果證明：18．設(shè)向量組B：能由向量A：線性表示為其中K為矩陣，且A組線性無關(guān)。證明B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩證明:充分性.設(shè),將的表示式代入有因?yàn)榫€性無關(guān),故有,即.由條件知,由Gramer法則知只有零解.必要性.記,由條件可知,.因此.又矩陣為矩陣,故.

19．求下列矩陣的秩：（1），（2）解：子式法。，考慮三階子式，共有4個(gè)，類似地有，故初等變換方法：故（2）初等變換法：故

20．利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組：（1），（2）解：最后的第一、第二、第三（或第四）列向量是列向量組的最大無關(guān)組，因此原列向量組中的第一、第二、第三（或第四）列向量是原列向量組的最大無關(guān)組（2）故或是列向量組的最大無關(guān)組。21.設(shè)A與B都是矩陣,證明：矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是。證明:與等價(jià)的充分必要條件是存在階可逆方陣和階可逆方陣使.由矩陣乘積秩的關(guān)系有.由知,因此.(或者由初等變換不改變矩陣的秩得出,由本題的證明可知用可逆矩陣左乘或者右乘均不改變矩陣的秩)充分性:,和的標(biāo)準(zhǔn)形由秩唯一確定,即它們的標(biāo)準(zhǔn)形均為,即和均和標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià),因此由等價(jià)的傳遞性,知與等價(jià).

22．利用矩陣的初等變換求下列矩陣的逆（1），（2），（3）解：（1）驗(yàn)證：（2）23．試證：由所生成的向量空間就是。24．由所生成的向量空間記作，有所生成的空間記作，試證。證明:只需證明與等價(jià).法一、按定義證明，設(shè)考慮分塊矩陣則有，故即可由線性表示。類似的可證可由線性表示。法二、構(gòu)造矩陣即向量組的秩為，顯然是線性無關(guān)的，是最大無關(guān)組，可由線性表示。同樣也可作為最大無關(guān)組，可由線性表示，因此和線性無關(guān)。25．驗(yàn)證為的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示。解：以向量作為列向量構(gòu)造矩陣因此線性無關(guān)，構(gòu)成的一個(gè)基，且有第四章線性方程組一、知識(shí)結(jié)構(gòu)分析（1）線性方程組求解和線性相關(guān)性，矩陣的秩和矩陣的變換之間的關(guān)系。線性方程組一章的內(nèi)容是線性代數(shù)發(fā)展的淵源，正是線性方程組的求解研究導(dǎo)致了向量線性相關(guān)性的研究，就是確定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的問題。這些問題可通過矩陣的秩和子式的計(jì)算來確定。第三章的內(nèi)容，無論是線性相關(guān)性還是矩陣的秩，都是和方程組求解密切相關(guān)，要通過知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，使學(xué)生整體掌握知識(shí)體系。矩陣的初等行變換應(yīng)是初等變換的重點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)與方程的恒等變換（保持同解）。行階梯型矩陣對(duì)應(yīng)的方程組可通過把自由未知量移到右邊，再通過回代求解。而行最簡(jiǎn)形不用回代可直接寫出解的表示式。如果僅求矩陣的秩或確定向量組的最大無關(guān)組，把矩陣化簡(jiǎn)到階梯型即可。（2）方程組的解結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的行向量組或列向量組的相關(guān)性分析是該理論的難點(diǎn)，齊次方程組有非零解與對(duì)應(yīng)的行向量組或列向量組線性相關(guān)性有對(duì)應(yīng)關(guān)系，非齊次方程組有解和向量的表示有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，要學(xué)會(huì)靈活的應(yīng)用這些關(guān)系來分析問題。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析與教材處理：（1）齊次方程組解的結(jié)構(gòu)部分要結(jié)合向量空間，向量空間的基與向量組的最大無關(guān)組的回顧，加深上章基本概念的理解。（2）齊次方程組的矩陣表示和向量表示要闡明有非零解與列向量組線性相關(guān)性的關(guān)系。（3）方程求解的變換化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的行最簡(jiǎn)型，結(jié)合初等變換的內(nèi)容使對(duì)初等變換的理解更具體。（4）方程組通解的兩種表示方法，用基礎(chǔ)解系表示的間接方法和用自由未知量表示的直接方法。（5）解空間用基礎(chǔ)解系聯(lián)系向量空間用基表示的關(guān)系，闡明向量空間和向量組的不同。（6）非齊次方程組的矩陣和向量表示與向量組線性相關(guān)性的關(guān)系，增廣矩陣和系數(shù)矩陣的列向量組之間的關(guān)系。（7）含有參數(shù)的方法的參數(shù)識(shí)別，即方程組的反問題，了解正問題的和反問題的初步概念。三、常見的問題和易犯的錯(cuò)誤（1）帶參數(shù)的矩陣化簡(jiǎn)忽略帶參數(shù)的分母為零的討論。（2）不能掌握方程化簡(jiǎn)分析的一般步驟。四、學(xué)習(xí)指導(dǎo)與提示求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及一般解：（1）解：對(duì)系數(shù)矩陣做初等行變換（相當(dāng)于對(duì)方程做化簡(jiǎn)），化簡(jiǎn)后的方程組為分別取和代入方程組求解得到基礎(chǔ)解系為，通解為或者直接寫出通解為基礎(chǔ)解系為（2）解：對(duì)系數(shù)矩陣做初等變換,因此，只有零解。求解下列非齊次線性方程組：（1）

，（2）解：對(duì)增廣矩陣做初等行變換，，方程組無解討論取什么值時(shí)下列方程組有解，并求解：（1），解：法一、對(duì)增廣矩陣作行變換，把方程組化簡(jiǎn)若，則方程組化簡(jiǎn)為，其解為若，則有若，，此時(shí)無解如，即方程組有唯一解法二（分析）根據(jù)Gramer法則，如果系數(shù)行列式非零，則有唯一解，對(duì)于行列式等于零的情況再分析是無解還是多解系數(shù)行列式為因此方程組有唯一解，其解為易知時(shí)方程組無解，時(shí)，方程組有無窮多解，其解為（2）解：對(duì)增廣矩陣作行變換當(dāng)時(shí)，無解。當(dāng)時(shí)若，則有唯一解時(shí)，無解（3）解：方法一、系數(shù)行列式為根據(jù)Gramer法則可知，當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解。其解為當(dāng)時(shí)，增廣矩陣為，方程組無解。當(dāng)時(shí)，方程組無解設(shè)問為何值時(shí)此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有解時(shí)求其通解。分析：求系數(shù)行列式，如果則有唯一解。對(duì)于的情況分別討論，這種方法思路清晰，但計(jì)算量大。另一種方法是用初等變換化簡(jiǎn)方程，但要注意分母為零的情況。解：法一、系數(shù)行列式為，因此當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)方程組無解。當(dāng)時(shí)通解為，其中為任意實(shí)數(shù)。5．設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且求該方程組的通解。解：四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，故只需求出一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)非零解。為非齊次方程組的特解，也是非齊次方程組的解，因此因此通解為其中為任意實(shí)數(shù)。6.設(shè)，，證明這個(gè)方程組有解的充分必要條件是解：對(duì)方程組的增廣矩陣做初等變換由非齊次方程組解的判定定理知，方程組有解的充分必要條件是，即7．證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系。證明：設(shè)是與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組，因?yàn)榭捎没A(chǔ)解系線性表示，故是齊次方程組的解。由條件知，它們是線性無關(guān)的。由任一解可由基礎(chǔ)解系線性表示，由等價(jià)性可知，可由線性表示，因此是基礎(chǔ)解系。注：實(shí)際上基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)均為。8．設(shè)A，B都是n階方陣，且AB=0，證明。證明：考慮矩陣方程與方程組解的關(guān)系，將按列分塊，即考慮B的列向量可表示為即，也就是說是方程的解。（1）如果的秩，則知只有零解，而又是的解，故知，即，，結(jié)論成立。（2）如果，則的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量，設(shè)為，又為的解，故向量組可由基礎(chǔ)解系線性表示，由定理知即，故9．設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明：（1）線性無關(guān);(2)線性無關(guān)。證明：（1）設(shè)

用去左乘方程兩端，有因此，，代入上式得到因是線性無關(guān)的，因此，即線性無關(guān);（2）類似的考慮，即用去左乘方程兩端得到，代入上式，由的線性無關(guān)性可知，因而，故線性無關(guān)。10．設(shè)是非齊次線性方程組的s個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿足，證明

也是它的解。證明：將表示式代入則有故是方程組的解。11．設(shè)非齊次方程組的系數(shù)矩陣秩為r,是它的個(gè)線性無關(guān)的解（由題9知它確有n-r+1個(gè)線性無關(guān)的解）。試證它的任一解可表示為（其中）證明：顯然為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的解。首先證明是線性無關(guān)的。設(shè)，即因?yàn)槭蔷€性無關(guān)的，因此，即是線性無關(guān)的，構(gòu)成齊次方程組的基礎(chǔ)解系，故非齊次方程組的任一解可表示為即記，則任一解可表示為其中第五章相似矩陣和二次型

一、基本要求：明確要求，突出重點(diǎn)（1）掌握基本概念：向量?jī)?nèi)積，長(zhǎng)度（模，范數(shù)），向量夾角，向量正交，正交矩陣和正交變換等基本概念，理解向量組正交和線性無關(guān)的關(guān)系，掌握正交規(guī)范基的構(gòu)造方法及其向量用正交規(guī)范基表示方法。掌握正交矩陣的概念，理解正交矩陣列（行）向量組的特征。重點(diǎn)是向量的正交化和正交規(guī)范基的構(gòu)造，正交矩陣的特征。（2）熟練掌握特征值和特征向量的概念，熟練掌握求特征值和特征向量的基本步驟，掌握有關(guān)特征值和特征向量的基本命題，了解特征值和矩陣元素之間的關(guān)系。重點(diǎn)是求特征值和特征向量，特征向量的表示。（3）熟練掌握相似矩陣的概念，掌握相似矩陣的關(guān)系，理解方陣相似于對(duì)角陣的問題，理解相似矩陣的第個(gè)列向量是的與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量這一關(guān)系，理解相似矩陣和特征向量之間的關(guān)系。重點(diǎn)是掌握相似矩陣和特征向量之間的關(guān)系。（4）掌握實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)，理解特征值重?cái)?shù)和對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)之間的一致性，熟練掌握正交矩陣的構(gòu)造方法。重點(diǎn)是正交矩陣的構(gòu)造（計(jì)算）（5）掌握二次型的概念和矩陣形式，理解二次型和矩陣之間的意義對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解二次型的化簡(jiǎn)問題的提法和矩陣意義。熟練掌握二次型化簡(jiǎn)的方法，理解與矩陣對(duì)角化的關(guān)系。重點(diǎn)是求正交變換將二次型化簡(jiǎn)。（6）熟練掌握配方方法，理解正交變換方法和配方方法的不同。（7）理解慣性定理，掌握正定二次型、負(fù)定二次型的定義，理解正定二次型的標(biāo)準(zhǔn)型特征和特征值特征，掌握用霍爾維茨定理判定二次型的方法。重點(diǎn)是正定二次型的判定。二、內(nèi)容分析和教學(xué)指導(dǎo)：知識(shí)體系分析，重點(diǎn)難點(diǎn)剖析，教學(xué)方法指點(diǎn)（1）向量?jī)?nèi)積及其運(yùn)算屬于第三章向量計(jì)算的范疇，賦以線性運(yùn)算的集合為線性空間，賦以長(zhǎng)度（范數(shù)）的線性空間稱為線性賦范空間，賦以內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。一般的，內(nèi)積可誘導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的范數(shù)，內(nèi)積空間一定是賦范空間。定義了范數(shù)就定義了極限，就有序列的收斂性，就有完備性問題。完備的線性賦范空間成為Banach空間，完備的內(nèi)積空間成為Herbit空間。這是空間概念的體系。相關(guān)性和基的表示是向量空間（線性空間）的基本問題。本節(jié)可以和為背景，抽象為的內(nèi)積和夾角概念，建立向量正交的矩陣和方程表示，通過正交基的構(gòu)造來理解正交條件的方程表示。通過定理的證明和用正交規(guī)范基表示向量的推導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會(huì)方程兩端做內(nèi)積的方法和矩陣表示，這種方法和第四章齊次解和非齊次解的左乘矩陣類似，這是用定義推導(dǎo)證明的一般方法。通過正交化公式的推導(dǎo)，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法的思想，從定性的方面來理解未知數(shù)和方程的關(guān)系。正交矩陣的列向量組的性質(zhì)的推導(dǎo)，要強(qiáng)調(diào)矩陣和向量組之間的關(guān)系，矩陣分塊的意義和運(yùn)算規(guī)則。（2）在引入方陣特征值和特征向量的定義時(shí)，要注意定義的轉(zhuǎn)化和通過定義計(jì)算的方法。定義等價(jià)于或，即特征值和特征向量問題轉(zhuǎn)化為齊次方程組的非零解的問題。在講解中注意強(qiáng)調(diào)矩陣的左提取和右提取，單位陣的省略等問題，不能寫為特征向量的方程的非零解，注意通解的表示和全體特征向量的表示的區(qū)別。設(shè)是對(duì)應(yīng)的方程組的基礎(chǔ)解系，則通解為，其中為任意實(shí)數(shù)而所對(duì)應(yīng)的所有的特征向量為，其中為不全為零的任意實(shí)數(shù)本節(jié)內(nèi)容通過求特征向量強(qiáng)調(diào)齊次方程組求解問題。(3)方陣的相似變換和矩陣的初等變換類似，都是研究矩陣的化簡(jiǎn)問題。關(guān)于矩陣的初等變換有如下命題：行變換相當(dāng)于左乘一個(gè)相應(yīng)的初等陣，右乘相當(dāng)于右乘一個(gè)初等陣;可逆矩陣可分解為一系列的初等矩陣的乘積。矩陣和矩陣相似的充分必要條件為，初等變換可把矩陣變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型，其標(biāo)準(zhǔn)型是由秩唯一確定的。初等變換把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)行變換和列變換是任意的，沒有任何的限制。如果對(duì)所作的行變換和列變換做一些限制，則可保留矩陣的更多的信息，其中相似變換（）和合同變換（）是兩種重要的變換。相似矩陣有相同的特征值是最重要的性質(zhì)，對(duì)角矩陣及其多項(xiàng)式的特征值的計(jì)算是簡(jiǎn)單的。方陣的對(duì)角化問題是尋求相似變換矩陣，使為對(duì)角陣。注意這里是相似變換把方陣化簡(jiǎn)為對(duì)角陣，保留了特征值的信息。分析相似矩陣的列向量和特征向量之間的關(guān)系是構(gòu)造的前提，注意矩陣按列分塊及其計(jì)算方法?？蓪?duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量是可對(duì)角化的重要定理，是可對(duì)角化的判據(jù)。（4）從實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)和不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是相互正交的證明方法中總結(jié)出如何證明一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，如何證明兩個(gè)向量正交。對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣的正交矩陣對(duì)角化過程可知，尋求正交矩陣就是要求出的個(gè)兩兩正交的單位特征向量，單根只有一個(gè)無關(guān)的特征向量，只需單位化。重根則必有個(gè)無關(guān)的特征向量，首先正交化，再單位化。正交化后仍為特征向量。原來單位化的向量經(jīng)正交化后不一定是單位向量，正交化的向量組經(jīng)單位化后仍是正交的。（5）從二次曲線坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換化成標(biāo)準(zhǔn)形引入一般的二次型及其化簡(jiǎn)問題。二次型的矩陣表示，二次型和矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可逆線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣變換為合同變換。關(guān)于矩陣乘積的秩有關(guān)系，即左乘或右乘矩陣其秩不會(huì)增加。當(dāng)乘可逆矩陣時(shí)，其秩不改變。二次型的正交化簡(jiǎn)等價(jià)于尋找一個(gè)正交矩陣，使。正交矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形是對(duì)應(yīng)的，但不是唯一的。（6）有平方項(xiàng)的配方和無平方項(xiàng)的處理。（7）正定二次型的定義和判定。

三、習(xí)題指導(dǎo)

試用施密特法把下列向量正交化：（1），解：根據(jù)正交化公式（2）解：取，2．設(shè)為n維列向量，，令，求證：H是對(duì)稱的正交陣。證明：，故為對(duì)稱矩陣。又故為正交矩陣。3．設(shè)A與B都是n階正交陣，證明AB也是正交陣。證明：法一、因?yàn)檎痪仃?，即有因此，法二、因?yàn)檎痪仃?，則有，又即是正交矩陣。4．求下列矩陣的特征值和特征向量:(1),解：（1）求特征值特征值為（2）求特征向量。時(shí)特征向量為，所對(duì)應(yīng)的特征向量為，為任意實(shí)數(shù)。

(2)(3)5.設(shè)方陣與相似，求解：由矩陣特征值和矩陣元素之間的關(guān)系，有整理得，求解得6.設(shè)A、B都是n階方陣，且，證明AB與BA相似。證明：因?yàn)?，故存在。又，這說明相似于7．設(shè)3階方陣A的特征值為;對(duì)應(yīng)的特征向量依次為求A。解：（這種類型的問題屬于特征值反問題，在控制理論等許多學(xué)科中有重要應(yīng)用）。記，由特征值和特征向量的關(guān)系有，，即，計(jì)算得注：也可利用待定系數(shù)法，即設(shè)，由三個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)系得到9個(gè)方程，即可求出8．設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣A的特征值為6，3，3，與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求A。解：（1）首先求出與特征值3對(duì)應(yīng)的兩個(gè)單位正交特征向量。因?yàn)椴煌卣髦祵?duì)應(yīng)的特征向量是相互正交的，因此對(duì)應(yīng)于特征值3的特征向量滿足，即，其兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量可取為令，，則有故有注：可將特征向量正交化，單位化，得到正交矩陣，這樣不需要求，直接利用。注：本題的核心是利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的正交性求出特征值3對(duì)應(yīng)的特征向量，問題就轉(zhuǎn)化成8題的問題。9．試求一個(gè)正交的相似變換矩陣，將下列對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣：（1），（2）解：（1）求特征值：特征值為求特征向量：時(shí)，特征向量為，標(biāo)準(zhǔn)化為時(shí)，特征向量為，標(biāo)準(zhǔn)化為時(shí)，特征向量為，標(biāo)準(zhǔn)化為正交矩陣為（2）特征值為，正交矩陣為

，10．求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：（1）解：對(duì)應(yīng)的矩陣為，特征值為正交矩陣為，標(biāo)準(zhǔn)型為（2）對(duì)應(yīng)的矩陣為，特征值為。正交變換為標(biāo)準(zhǔn)型為11．證明：二次型在時(shí)的最大值為方陣A的最大特征值。證明：設(shè)A的