大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(全)

實(shí)驗(yàn)誤差分析與數(shù)據(jù)處理1測(cè)量與誤差1.1測(cè)量及測(cè)量的分類物理實(shí)驗(yàn)是以測(cè)量為根底的。在實(shí)驗(yàn)中，研究物理現(xiàn)象、物質(zhì)特性、驗(yàn)證物理原理都需要進(jìn)行測(cè)量。所謂測(cè)量，就是將待測(cè)的物理量與一個(gè)選來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比擬，得出它們的倍數(shù)關(guān)系的過(guò)程。選來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱之為單位，倍數(shù)稱為測(cè)量數(shù)值。一個(gè)物理量的測(cè)量值等于測(cè)量數(shù)值與單位的乘積。在人類的開(kāi)展歷史上，不同時(shí)期，不同的國(guó)家，乃至不同的地區(qū)，同一種物理量有著許多不同的計(jì)量單位。如長(zhǎng)度單位就分別有碼、英尺、市尺和米等。為了便于國(guó)際交流，國(guó)際計(jì)量大會(huì)于1990年確定了國(guó)際單位制〔SI〕，它規(guī)定了以米、千克、秒、安培、開(kāi)爾文、摩爾、坎德拉作為根本單位，其他物理量〔如力、能量、電壓、磁感應(yīng)強(qiáng)度等〕均作為這些根本單位的導(dǎo)出單位。1．直接測(cè)量與間接測(cè)量測(cè)量可分為兩類。一類是直接測(cè)量，是指直接將待測(cè)物理量與選定的同類物理量的標(biāo)準(zhǔn)單位相比擬直接得到測(cè)量值的一種測(cè)量。它無(wú)須進(jìn)行任何函數(shù)關(guān)系的輔助運(yùn)算。如用尺測(cè)量長(zhǎng)度、以秒表計(jì)時(shí)間、天平稱質(zhì)量、安培表測(cè)電流等。另一類是間接測(cè)量，是指被測(cè)量與直接測(cè)量的量之間需要通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系的輔助運(yùn)算，才能得到被測(cè)量物理量的量值的測(cè)量。如單擺測(cè)量重力加速度時(shí)，需先直接測(cè)量單擺長(zhǎng)l和單擺的周期T，再應(yīng)用公式，求得重力加速度g。物理量的測(cè)量中，絕大局部是間接測(cè)量。但直接測(cè)量是一切測(cè)量的根底。不管是直接測(cè)量，還是間接測(cè)量，都需要滿足一定的實(shí)驗(yàn)條件，按照嚴(yán)格的方法及正確地使用儀器，才能得出應(yīng)有的結(jié)果。因此實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，一定要充分了解實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，正確使用儀器，細(xì)心地進(jìn)行操作讀數(shù)和記錄，才能到達(dá)穩(wěn)固理論知識(shí)和加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的目的。2．等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量同一個(gè)人，用同樣的方法，使用同樣的儀器，在相同的條件下對(duì)同一物理量進(jìn)行屢次測(cè)量，盡管各次測(cè)量并不完全相同，但我們沒(méi)有任何充足的理由來(lái)判斷某一次測(cè)量更為精確，只能認(rèn)為它們測(cè)量的精確程度是完全相同的。我們把這種具有同樣精確程度的測(cè)量稱之為等精度測(cè)量。在所有的測(cè)量條件中，只要有一個(gè)發(fā)生變化，這時(shí)所進(jìn)行的測(cè)量即為不等精度測(cè)量。在物理實(shí)驗(yàn)中，但凡要求屢次測(cè)量均指等精度測(cè)量，應(yīng)盡可能保持等精度測(cè)量的條件不變。嚴(yán)格地說(shuō)，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中保持測(cè)量條件不變是很困難的。但當(dāng)某一條件的變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響不大時(shí)，乃可視為等精度測(cè)量。在本書中，除了特別指明外，都作為等精度測(cè)量。1.2誤差及誤差的表現(xiàn)形式1．誤差物理量在客觀上有著確定的數(shù)值，稱為真值。測(cè)量的最終目的都是要獲得物理量的真值。但由于測(cè)量?jī)x器精度的局限性、測(cè)量方法或理論公式的不完善性和實(shí)驗(yàn)條件的不理想，測(cè)量人員不熟練等原因，使得測(cè)量結(jié)果與客觀真值有一定的差異，這種差異稱之為誤差。假設(shè)某物理量測(cè)量的量值為x，真值為A，那么產(chǎn)生的誤差x為：x=x–A任何測(cè)量都不可防止地存在誤差。在誤差必然存在的條件下，物理量的真值是不可知的。所以在實(shí)際測(cè)量中計(jì)算誤差時(shí)，通常所說(shuō)的真值有如下幾種類型：〔1〕理論真值或定義真值。如用平均值代替真值，三角形內(nèi)角何等于180°等?！?〕計(jì)量約定真值。如前面所介紹的根本物理量的單位標(biāo)準(zhǔn)，以及國(guó)際大會(huì)約定的根本物理量?！?〕標(biāo)準(zhǔn)器相對(duì)真值〔或?qū)嶋H值〕。用比被標(biāo)準(zhǔn)過(guò)的儀器高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)器的量值作為標(biāo)準(zhǔn)器相對(duì)真值。例如：用0.5級(jí)的電流表測(cè)得某電路的電流為1.200A，用0.2級(jí)電流表測(cè)得的電流為1.202A，那么后者可示為前者的真值。2．誤差的表示形式誤差的表示形式有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差之分。絕對(duì)誤差是測(cè)量值和真值的數(shù)值之差：=x–A〔1-1〕根據(jù)絕對(duì)誤差的大小還難以評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度，還需要考慮被測(cè)量本身的大小，為此引入相對(duì)誤差，相對(duì)誤差E定義為絕對(duì)誤差與被測(cè)量量的真值x的比值，即：〔1-2〕相對(duì)誤差常用百分比表示。它表示絕對(duì)誤差在整個(gè)物理量中所占的比重，它是無(wú)單位的一個(gè)純數(shù)，所以既可以評(píng)價(jià)量值不同的同類物理量的測(cè)量，也可以評(píng)價(jià)不同物理量的測(cè)量，從而判斷它門之間優(yōu)劣。如果待測(cè)量有理論值或公認(rèn)值，也可用百分差來(lái)表示測(cè)量的好壞。即：〔1-3〕1.3誤差的分類既然測(cè)量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度的減小測(cè)量誤差并估算出誤差的范圍呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測(cè)量誤差按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差。1．系統(tǒng)誤差在一定條件下〔指儀器、方法和環(huán)境〕對(duì)同一物理量進(jìn)行屢次測(cè)量時(shí)，其誤差按一定的規(guī)律變化，測(cè)量結(jié)果都大于真值或都小于真值。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因可能是的，也可能是未知的。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有：〔1〕由于儀器本身存在一定的缺陷或使用不當(dāng)造成的。如儀器零點(diǎn)不準(zhǔn)、儀器水平或鉛直未調(diào)整、砝碼未校準(zhǔn)等。〔2〕實(shí)驗(yàn)方法不完善或這種方法所依據(jù)的理論本身具有近似性。例如用單擺測(cè)量重力加速度時(shí)，忽略空氣對(duì)擺球的阻力的影響，用安培表測(cè)量電阻時(shí)，不考慮電表內(nèi)阻的影響等所引入的誤差?！?〕實(shí)驗(yàn)者生理或心理特點(diǎn)或缺乏經(jīng)驗(yàn)所引入的誤差。例如有人讀數(shù)時(shí)，頭習(xí)慣性的偏向一方向，按動(dòng)秒表時(shí)，習(xí)慣性的提前或滯后等。2．隨機(jī)誤差同一物理量在屢次測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的測(cè)量誤差稱為隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差不可修正。隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因很多，歸納起來(lái)大致可分為以下兩個(gè)方面：〔1〕由于觀測(cè)者在對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)、確定平衡〔如天平〕、估讀數(shù)據(jù)時(shí)所引入的誤差?！?〕實(shí)驗(yàn)中各種微小因素的變動(dòng)。例如，實(shí)驗(yàn)裝置和測(cè)量機(jī)構(gòu)在各次調(diào)整操作上的變動(dòng)性，實(shí)驗(yàn)中電源電壓的波動(dòng)、環(huán)境的溫度、濕度、照度的變化所引起的誤差。隨機(jī)誤差的出現(xiàn)，單就某一次觀測(cè)來(lái)說(shuō)是沒(méi)有規(guī)律的，其大小和方向是不可預(yù)知的。但對(duì)某一物理量進(jìn)行足夠?qū)掖螠y(cè)量，那么會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，隨機(jī)誤差可用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估算。1.4測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度我們常用精度反映測(cè)量結(jié)果中誤差大小的程度。誤差小的精度高，誤差大的精度低，這里精度卻是一個(gè)籠統(tǒng)的概念，它并不明確表示描寫的是哪一類誤差，為描述更具體，我們把精度分為精密度、準(zhǔn)確度和精確度。1．精密度精密度表示測(cè)量結(jié)果中的隨機(jī)誤差大小的程度。它是指在一定條件下進(jìn)行重復(fù)測(cè)量時(shí)，所得結(jié)果的相互接近程度。它用來(lái)描述測(cè)量得重復(fù)性。精密度高，即測(cè)量數(shù)據(jù)得重復(fù)性好，隨機(jī)誤差較小?！瞚〕精密度〔ii〕準(zhǔn)確度〔iii〕精確度圖1-1測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度圖示〔以打靶為例〕2．準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小得程度。用它來(lái)描述測(cè)量值接近真值得程度。準(zhǔn)確度高，即測(cè)量結(jié)果接近真值得程度高，系統(tǒng)誤差小。3．精確度精確度是對(duì)測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合描述。它是指測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性及接近真值的程度。為了形象地說(shuō)明這三個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系，我們以打靶為例說(shuō)明〔圖1-1〕：〔i〕精密度高而準(zhǔn)確度較差；〔ii〕準(zhǔn)確度高而精密度較差；〔iii〕精密度和準(zhǔn)確度都很高，即精確度很高。2誤差的處理誤差的產(chǎn)生有其必然性和普遍性，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一切測(cè)量結(jié)果都存在誤差。本節(jié)主要介紹上述兩類誤差的處理方法。2.1系統(tǒng)誤差一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)劣，往往在于系統(tǒng)誤差是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)或盡可能消除，所以預(yù)見(jiàn)一切可能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的因素，并設(shè)法減小它們是非常重要的。一般而言，對(duì)于系統(tǒng)誤差可以在實(shí)驗(yàn)前對(duì)儀器進(jìn)行校準(zhǔn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行改良，在實(shí)驗(yàn)時(shí)采取一定的措施對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和消除，實(shí)驗(yàn)后對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正等。系統(tǒng)誤差的處理是一個(gè)比擬復(fù)雜的問(wèn)題，它沒(méi)有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，主要取決于實(shí)驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)和技巧并根據(jù)具體情況來(lái)處理。從實(shí)驗(yàn)者對(duì)系統(tǒng)誤差掌握的程度來(lái)分，又可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差兩類。1．已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差是指絕對(duì)值和符號(hào)都已確定的，可以估算出的系統(tǒng)誤差分量。例如：對(duì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值為50毫克的三等砝碼，就無(wú)法知道該砝碼的誤差值是多少。只知道它對(duì)測(cè)量結(jié)果造成的未定系統(tǒng)誤差限為±2mg，但如果在使用前用高一級(jí)的砝碼進(jìn)行校準(zhǔn)，就可得到已定系統(tǒng)誤差得值。2．未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差是指符號(hào)或絕對(duì)值未經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差分量。例如，儀器出廠時(shí)的準(zhǔn)確度指標(biāo)是用符號(hào)儀表示的。它只給出該類儀器誤差的極限范圍。但實(shí)驗(yàn)者使用該儀器時(shí)并不知道該儀器的誤差確實(shí)切大小和正負(fù)，只知道該儀器的準(zhǔn)確程度不會(huì)超過(guò)儀的極限〔例如上面所舉砝碼中的±2mg〕。所以這種系統(tǒng)誤差通常只能定出它的極限范圍，由于不能知道它確實(shí)切大小和正負(fù)，故無(wú)法對(duì)其進(jìn)行修正。對(duì)于未定系統(tǒng)誤差在物理實(shí)驗(yàn)中我們一般只考慮儀器測(cè)量?jī)x器的〔最大〕允許誤差儀〔簡(jiǎn)稱儀器誤差〕。2.2隨機(jī)誤差的估算隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是隨機(jī)性。也就是說(shuō)在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行屢次重復(fù)測(cè)量，每次測(cè)量的誤差的大小和正負(fù)無(wú)法預(yù)知，純屬偶然。但是實(shí)踐和理論證明，如果測(cè)量次數(shù)足夠多的話，大局部測(cè)量的隨機(jī)誤差都服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。本書只著重介紹隨機(jī)誤差的正態(tài)分布。1．正態(tài)分布的特征與數(shù)學(xué)表達(dá)遵從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差有以下幾點(diǎn)特征：〔1〕單峰性。絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能性〔概率〕比絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率小?！?〕對(duì)稱性。絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的時(shí)機(jī)均等，對(duì)稱分布于真值的兩側(cè)。〔3〕有界性。在一定的條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度?！?〕抵償性。當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即正態(tài)分布的特征可用正態(tài)分布曲線形象地表達(dá)。如圖2-1所示。橫坐標(biāo)表示誤差=x1-x0式中x0為被測(cè)量量的真值。縱坐標(biāo)為一個(gè)與誤差出現(xiàn)的概率有關(guān)的概率密度函數(shù)f〔〕。根據(jù)概率論的數(shù)學(xué)方法可以導(dǎo)出： 〔2-1〕〔a〕〔b〕圖2-1概率密度函數(shù)曲線圖測(cè)量值的隨機(jī)誤差出現(xiàn)在到+d區(qū)間內(nèi)可能性為即圖〔a〕中陰影所含的面積元。上式中是一個(gè)與實(shí)驗(yàn)條件有關(guān)的常數(shù)，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，其值為： 〔2-2〕式中n為測(cè)量次數(shù)，各次測(cè)量的隨機(jī)誤差為。2．標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義由式2-1可知，隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線的形狀與值有關(guān)，如圖〔b〕所示，值越小，分布曲線越鋒利，峰值f〔〕越高，說(shuō)明絕對(duì)值小的誤差占多數(shù)，且測(cè)量值的離散性較小，重復(fù)性好，測(cè)量精密度較高；反之值越大，那么曲線越平坦，該組測(cè)量值的離散性大，測(cè)量精密度低。標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了測(cè)量值的離散程度。由是測(cè)量值隨機(jī)誤差出現(xiàn)在小區(qū)間的可能性〔概率〕，即n次測(cè)量值誤差出現(xiàn)在內(nèi)的概率為：〔2-3〕這說(shuō)明對(duì)任一次測(cè)量，其測(cè)量值誤差出現(xiàn)在-到+區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%。從概率密度分布函數(shù)的曲線圖來(lái)看：設(shè)曲線下面積為1即100%，那么介于間的曲線下的面積為68.3%。用同樣的方法計(jì)算可得介于間的概率為95.5%，介于間的概率為99.7%。顯然，測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于3的概率僅為0.3%。在通常情況下的有限次測(cè)量測(cè)量誤差超出±3范圍的情況幾乎不會(huì)出現(xiàn)，所以把3稱為極限誤差。3．近真值——算術(shù)平均值盡管一個(gè)物理量的真值是客觀存在的，但由于誤差的存在，企圖得到真值的愿望仍然不能實(shí)現(xiàn)。那么是否能夠得到一個(gè)測(cè)量結(jié)果的最正確值，或者說(shuō)得到一個(gè)最接近真值的數(shù)值呢？根據(jù)隨機(jī)誤差具有抵償性特點(diǎn)，我們可以求得真值的最正確估計(jì)值——近真值。設(shè)在相同條件下對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行屢次沒(méi)量，測(cè)量值分別為，那么該沒(méi)量值的算術(shù)平均值：〔i=1，2，3，……〕〔2-4〕而各次測(cè)量的隨機(jī)誤差為：式中x0為真值，為第i次測(cè)量值，對(duì)n次測(cè)量的絕對(duì)誤差求和有：等式兩邊各除以n可得：當(dāng)測(cè)量次數(shù)由隨機(jī)誤差具有抵償性的特點(diǎn)，所以有：故根據(jù)以上推導(dǎo)可得：由此可知，測(cè)量次數(shù)愈多，算術(shù)平均值接近真值的可能性愈大。當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠時(shí)，算術(shù)平均值是真值的最正確估計(jì)值。2.3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算——標(biāo)準(zhǔn)偏差由于真值不知道，誤差無(wú)法計(jì)算，因而按照式2-2標(biāo)準(zhǔn)誤差也無(wú)從估算。根據(jù)算術(shù)平均值是近真值的結(jié)論，在實(shí)際估算誤算時(shí)采用算術(shù)平均值代替真值，用各次測(cè)量值與算術(shù)平均值的差值來(lái)估算各次測(cè)量的誤差，差值稱為殘差。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限時(shí)，如用殘差來(lái)表示誤差時(shí)，其計(jì)算公式為：〔2-5〕稱為任一次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它是測(cè)量次數(shù)有限多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個(gè)估計(jì)值。其代表的物理意義為：如果屢次測(cè)量的隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布，那么，任一次測(cè)量的測(cè)量值誤差落在到區(qū)域之間的可能性〔概率〕為68.3%。通過(guò)誤差理論可以證明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：〔2-6〕上式說(shuō)明算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是n次測(cè)量中的任意一次測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的，小于，因?yàn)樗阈g(shù)平均值是測(cè)量結(jié)果的最正確值，它比任意一次測(cè)量值xi更接近真值，所以誤差要小。的物理意義是在屢次測(cè)量的隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布的條件下，真值處于區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%。3不確定度與測(cè)量結(jié)果的表示3.1測(cè)量不確定度由于測(cè)量誤差的存在，難以確定被測(cè)量的真值。測(cè)量不確定度是與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，它表征測(cè)量真值在某一個(gè)量值范圍內(nèi)不能肯定程度的一個(gè)估計(jì)值。也就是說(shuō)不確定度是測(cè)量結(jié)果中無(wú)法修正的局部，反映了被測(cè)量的真值不能肯定的誤差范圍的一種評(píng)定，測(cè)量不確定度包含A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。1．A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度由于偶然因素，在同一條件下對(duì)同一物理量X進(jìn)行屢次重復(fù)測(cè)量值，將是分散的，從分散的測(cè)量值出發(fā)用統(tǒng)計(jì)的方法評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，就是標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定。設(shè)A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為，用統(tǒng)計(jì)的方法算出平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為，不確定度的A類分量就取為平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：〔3-1〕按誤差理論的正態(tài)分布，如不存在其他影響，那么測(cè)量值范圍中包含真值的概率為68.3%。2．B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。測(cè)量中但凡不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱為B類不確定度。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，有的依據(jù)計(jì)量?jī)x器的說(shuō)明書或鑒定書，有的依據(jù)儀器的準(zhǔn)確度，有的那么粗略的依據(jù)儀器的分度值或經(jīng)驗(yàn)，從中獲得儀器的極限誤差，儀〔或允許誤差或示值誤差〕此類誤差一般可視為均勻分布，那么B類評(píng)定不確定度為：〔3-2〕例：使用量程為0—300mm，分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺，測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，其示值誤差在±0.05mm以內(nèi)，即極限誤差為儀=0.05mm，那么由此游標(biāo)卡尺引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：3．合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度〔1〕直接測(cè)量結(jié)果不確定度的估算物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果表示中，總不確定度u〔x〕的估算方法行為兩類，即屢次重重測(cè)量用統(tǒng)計(jì)方法算出的A類分量和用其它方法估算出的B類分量。用方和根的方法合成為總不確定度u〔x〕：〔3-3〕例：游標(biāo)卡尺〔儀=0.005c測(cè)量次數(shù)123456d(cm)3.2553.2503.2603.2553.2503.255計(jì)算出：那么零點(diǎn)修正后：所以有：〔2〕間接測(cè)量不確定度的估算物理實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一般都通過(guò)間接測(cè)量獲得的，間接測(cè)量是以直接測(cè)量為根底的，直接測(cè)量值不可防止地有誤差存在，顯然由直接測(cè)量值根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)運(yùn)算而獲得的間接測(cè)量的結(jié)果，必然也有誤差存在。怎樣來(lái)計(jì)算間接測(cè)量的誤差呢？這實(shí)質(zhì)上是要解決一個(gè)誤差的傳遞問(wèn)題，即求得估算間接測(cè)量值誤差的公式，稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測(cè)量量N是n個(gè)獨(dú)立的直接測(cè)量量A、B、C，…，H的函數(shù)，即N=f(A，B，C，…，H)假設(shè)各直接測(cè)量值A(chǔ)、B、C，…，H的不確定度分別為u〔A〕，u〔B〕，u〔C〕，…，u〔H〕，它們使N值也有相應(yīng)的不確定度u〔N〕，由于不確定度都是微小量，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的“增量〞，因此間接測(cè)量的不確定度公式與數(shù)學(xué)中的全微分公式根本相同，利用全微分公式，那么間接測(cè)量的不確定度：〔3-4〕如果先對(duì)函數(shù)表達(dá)或取對(duì)數(shù)，再求全微分可得：〔3-5〕當(dāng)間接測(cè)量量N是各直接測(cè)量量A、B、C，…，H的和或差的函數(shù)時(shí)，那么用〔3-4〕式計(jì)算較為方便，當(dāng)間接測(cè)量量N是各直接測(cè)量量A、B、C，…，H的積或商的函數(shù)時(shí)，那么用〔3-4〕式先計(jì)算N的相對(duì)不確定度，然后再計(jì)算u〔N〕比擬方便。在一些簡(jiǎn)單的測(cè)量問(wèn)題中，有時(shí)要求不需太精確的測(cè)量問(wèn)題中可以用絕對(duì)值合成方法，即〔3-6〕〔3-7〕當(dāng)然這種絕對(duì)值合成的方法所得結(jié)果一般偏大。與實(shí)際的不確定度合成情況可能也有較大出入。但因其計(jì)算比擬簡(jiǎn)，在要求不高，作粗略做算時(shí)，往往采用絕對(duì)值合成法，但在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一般都采用“方和根〞合成來(lái)計(jì)算間接測(cè)量結(jié)果的不確定度，常用函數(shù)的方和根合成與絕對(duì)值合成公式見(jiàn)下表：函數(shù)表達(dá)式方和根合成公式絕對(duì)值合成公式,〔K為常數(shù)〕3.2測(cè)量結(jié)果的一般表示一個(gè)完整的測(cè)量的結(jié)果不僅要給出該量值的大小〔數(shù)值和單位〕同時(shí)還應(yīng)給出它的不確定度。用不確定度來(lái)表征測(cè)量結(jié)果的可信賴程度，于是測(cè)量結(jié)果應(yīng)寫成以下標(biāo)準(zhǔn)形式：式中為測(cè)量值的最正確估計(jì)值，對(duì)等精度屢次測(cè)量而言，為屢次測(cè)量值的算術(shù)平均值，u〔x〕為不確定度，Ur為相對(duì)不確定度。4實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤與錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的剔除實(shí)驗(yàn)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，盡早發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤是實(shí)驗(yàn)得以順利進(jìn)行的前提保障，數(shù)據(jù)分析就是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的重要方法。例1：三次單擺擺50個(gè)周期的時(shí)間，得出98.4s，96.7s,97.7s。從數(shù)據(jù)可知擺的周期接近2s，但前面兩個(gè)數(shù)據(jù)相差1.7s，而后兩個(gè)相差1.0s，它們都在半個(gè)周期以上，顯然這樣大的差異不能用手按稍表稍或滯后的操作誤差去解釋，即測(cè)量有誤差。例2：用靜力稱衡法測(cè)一塊玻璃的密度，所用公式為，式中m1=5.78g為玻璃質(zhì)量，m2=4.77g為玻璃懸掛在水中的質(zhì)量。這次測(cè)量顯然有錯(cuò)誤，因?yàn)樵诖薽1與m2之差近似為1g；值接近64.1拉依達(dá)判據(jù)在一組數(shù)據(jù)中，有一、二個(gè)稍許偏大或偏小的數(shù)值，如果簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析不能判定它是否為錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，就要借助于誤差理論。在前面標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義中已提到對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，出現(xiàn)在±區(qū)間內(nèi)概率為68.3%，與此相仿，同樣可以計(jì)算，在相同條件下對(duì)某一物理量進(jìn)行屢次測(cè)量，其任意一次測(cè)量值的誤差落在-3到+3區(qū)域之間的可能性〔概率〕為：〔4-1〕如果用測(cè)量列的算術(shù)平均替代真值，那么測(cè)量列中約有99.7%的數(shù)據(jù)應(yīng)落在區(qū)間內(nèi)，如果有數(shù)據(jù)出現(xiàn)在此區(qū)間之外，那么我們可以認(rèn)為它是錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，這時(shí)我們應(yīng)把它舍去，這樣以標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx的3倍為界去決定數(shù)據(jù)的取舍就成為一個(gè)剔除壞數(shù)據(jù)的準(zhǔn)那么，稱為拉依達(dá)準(zhǔn)那么。但要注意的是數(shù)據(jù)少于10個(gè)時(shí)此準(zhǔn)那么無(wú)效。4.2格羅布斯判據(jù)對(duì)于服從正態(tài)分布的測(cè)量結(jié)果，其偏差出現(xiàn)在±3附近的概率已經(jīng)很小，如果測(cè)量次數(shù)不多，偏差超過(guò)±3幾乎不可能，因而，用拉依達(dá)判據(jù)剔除疏失誤差時(shí)，往往有些疏失誤差剔除不掉。另外，僅僅根據(jù)少量的測(cè)量值來(lái)計(jì)算，這本身就存在不小的誤差。因此當(dāng)測(cè)量次數(shù)不多時(shí)，不宜用拉依達(dá)判據(jù)，但可以用格羅布斯判據(jù)。按此判據(jù)給出一個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n相聯(lián)系的系數(shù)Gn，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n，算術(shù)平均值和測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx，那么可以保存的測(cè)量值xi的范圍為〔4-2〕Gn系數(shù)表n345678910111213Gn1.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.33n14151617181920222530Gn2.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74也可用擬合式計(jì)算Gn值n<30時(shí)取n>30時(shí)取例：測(cè)得一組長(zhǎng)度值〔單位：cm〕98.2898.2698.2498.2998.2198.3098.9798.2598.2398.25計(jì)算出：數(shù)據(jù)98.97在此范圍之外應(yīng)舍去。舍去后再計(jì)算有5有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)那么5.1有效數(shù)字在物理量的測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果都是存在一定的誤差，這些值不能任意地取舍，它反映出測(cè)量量的準(zhǔn)確程度。如何科學(xué)地，合理地反映測(cè)量結(jié)果，這就涉及到有效數(shù)字的問(wèn)題。有效數(shù)字在物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常使用。什么是有效數(shù)字，有效位數(shù)如何確定，有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)那么有什么不同，在用有效數(shù)字表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，如何與誤差聯(lián)系起來(lái)。可以說(shuō)，誤差決定有效數(shù)字。例如：實(shí)驗(yàn)測(cè)得某一物理量，其測(cè)量列的算術(shù)平均值為，算得其不確定度u〔x〕=0.04cm。從u〔x〕數(shù)值中可知，這一組測(cè)量量在小數(shù)點(diǎn)后面第二位就已經(jīng)有誤差，所以等于1.674中“7〞已經(jīng)是有誤差的可疑數(shù)，表示結(jié)果時(shí)后面一位“4〞已不必再寫上，上述結(jié)果正確的表示應(yīng)為x=1.67±0.04cm。也就是說(shuō)，我們表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)字中，只保存一位可疑數(shù)，其余應(yīng)全部是確切數(shù)。有效數(shù)字的定義為：有效數(shù)字是由假設(shè)干位準(zhǔn)確數(shù)和一位可疑數(shù)構(gòu)成。這些數(shù)字的總位數(shù)稱為有效數(shù)字。一個(gè)物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的數(shù)有著不同的意義。例如在數(shù)學(xué)上0.2500m=25.00mm。但在物理測(cè)量上0.2500m≠25.000cm。因?yàn)?.25005.2有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)那么有效數(shù)字的正確運(yùn)算關(guān)系到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確表達(dá)，由于運(yùn)算條件不一樣，運(yùn)算規(guī)那么也不一樣。1．四那么運(yùn)算四那么運(yùn)算，一般可以依據(jù)以下運(yùn)算規(guī)那么：①參加運(yùn)算的各數(shù)字可以認(rèn)為僅最后一位數(shù)碼是有誤差的，其他位的數(shù)碼是無(wú)誤差的；②無(wú)誤差的數(shù)碼間的四那么運(yùn)算結(jié)果仍為無(wú)誤差數(shù)碼；③有誤差的數(shù)碼參加四那么運(yùn)算結(jié)果有誤差的數(shù)碼，進(jìn)位和借位認(rèn)為是無(wú)誤差數(shù)碼；④最后結(jié)果按四舍五入法僅保存一位有誤差數(shù)碼?！?〕加減法[例1]5.345+30.2〔數(shù)字下面“_〞是指誤差所在位的數(shù)碼〕?。篬例2]35.48-20.3?。骸?〕乘除法[例1]4.178×10.1?。篬例2]48216÷123?。河靡陨县Q式才能得到計(jì)算結(jié)果的四那么運(yùn)算，對(duì)我們來(lái)講，不現(xiàn)實(shí)，為了提高運(yùn)算速度，又保證一定精度的誤差估計(jì)，可把上面加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算分別總結(jié)為如下運(yùn)算規(guī)那么：1〕加減法運(yùn)算規(guī)那么：假設(shè)干項(xiàng)加減運(yùn)算時(shí)，仍然按正常運(yùn)算進(jìn)行；計(jì)算結(jié)果的最后一位，應(yīng)取到與參加加減運(yùn)算各項(xiàng)中某項(xiàng)最后一位靠前的位置對(duì)齊。如參加運(yùn)算的各項(xiàng)最后一位最靠前的是103的個(gè)位，其計(jì)算結(jié)果的最后一位就保存在個(gè)位上。2〕乘除法運(yùn)算規(guī)那么：計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)保存到與參加運(yùn)算的各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的位數(shù)相同。如，參加運(yùn)算的2.7有效數(shù)字是兩位，為最少，計(jì)算結(jié)果也就取兩位。這一規(guī)那么在絕大多數(shù)情況下都成立，極少數(shù)情況下，由于借位或進(jìn)位可能多一位或少一位。如就多一位。2．函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位函數(shù)運(yùn)算不像四那么運(yùn)算那樣簡(jiǎn)單，而要根據(jù)誤差傳遞公式來(lái)計(jì)算。[例]x=56.7，y=lnx，求y。因x的有誤差位是十分位上，所以取x≈0.1，利用誤差傳遞公式去估計(jì)y的誤差位，說(shuō)明y的誤差位在千分位上，故y=lnx=ln56.7=4.038。由上可知函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位的規(guī)那么：x，計(jì)算y=f〔x〕時(shí)，取x為x的最后一位的數(shù)量級(jí)，利用誤差傳遞公式估計(jì)y的誤差數(shù)碼位置，y的計(jì)算結(jié)果最后一位對(duì)應(yīng)y的那個(gè)位置。6實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法測(cè)量獲得了大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而要通過(guò)這些數(shù)據(jù)來(lái)得到可靠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果或物理規(guī)律，那么需要學(xué)會(huì)正確的數(shù)據(jù)處理方法。本節(jié)將介紹在物理實(shí)驗(yàn)中常用的列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法等數(shù)據(jù)處理的根本方法。6.1列表法在記錄和處理實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡(jiǎn)單而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于隨時(shí)檢查測(cè)量結(jié)果是否正確合理，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，利于計(jì)算和分析誤差，并在必要時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)隨時(shí)查對(duì)。通過(guò)列表法可有助于找出有關(guān)物理量之間的規(guī)律性，得出定量的結(jié)論或經(jīng)驗(yàn)公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使用的一種方法。列表時(shí)，一般應(yīng)遵循以下規(guī)那么〔1〕簡(jiǎn)單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。〔2〕在表格中均應(yīng)標(biāo)明物理量的名稱和單位?！?〕表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。〔4〕必要時(shí)應(yīng)對(duì)某些工程加以說(shuō)明，并計(jì)算出平均值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相對(duì)誤差。例用千分尺測(cè)量鋼絲直徑，列表如下：次數(shù)初讀數(shù)〔mm〕未讀數(shù)〔mm〕直徑Di〔mm〕〔mm〕u〔D〕〔mm〕U10.0022.1472.1452.1450.0010.06%20.0042.1482.14430.0032.1492.14640.0012.1452.14450.0042.1492.14560.0032.1472.1446.2作圖法物理實(shí)驗(yàn)中所得到的一系列測(cè)量數(shù)據(jù)，也可以用圖線直觀地表示出來(lái)，作圖法就是在坐標(biāo)紙上描繪出一系列數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖線?？梢匝芯课锢砹恐g的變化規(guī)律，找出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)公式的常用方法之一。同時(shí)作好一張正確、實(shí)用、美觀的圖是實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練中的一項(xiàng)根本功，每個(gè)同學(xué)都應(yīng)該掌握。1．圖示法物理實(shí)驗(yàn)所揭示的物理量之間的關(guān)系，可以用一個(gè)解析函數(shù)關(guān)系來(lái)表示，也可以用坐標(biāo)紙?jiān)谀骋蛔矫鎯?nèi)由一條曲線表示，后者稱為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖形表示法，簡(jiǎn)稱圖示法。圖示法的作圖規(guī)那么如下：〔1〕選取坐標(biāo)紙作圖一定要用坐標(biāo)紙，根據(jù)不同實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和函數(shù)形式來(lái)選取不同坐標(biāo)紙，在普物實(shí)驗(yàn)中最常用的是直角坐標(biāo)紙。再根據(jù)所測(cè)得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和對(duì)測(cè)量結(jié)果的要求來(lái)定坐標(biāo)紙的大小，原那么上是以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)作為選擇依據(jù)，一般圖上的最小分格至少應(yīng)是有效數(shù)字的最后一位可靠數(shù)字。〔2〕定坐標(biāo)和坐標(biāo)標(biāo)度通過(guò)以橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。寫出坐標(biāo)軸所代表的物理量的名稱和單位。為了使圖線在坐標(biāo)紙上的布局合理和充分利用坐標(biāo)紙，坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定從變量的“0〞開(kāi)始。圖線假設(shè)是直線，盡量使圖線比擬對(duì)稱地充滿整個(gè)圖紙，不要使圖線偏于一角或一邊。為此，應(yīng)適當(dāng)放大〔或縮小〕縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸的比例。在坐標(biāo)軸上按選定的比例標(biāo)出假設(shè)干等距離的整齊的數(shù)值標(biāo)度，標(biāo)度的數(shù)值的位數(shù)應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)一致。選定比例時(shí)，應(yīng)使最小分格代表“1〞、“2〞或“5〞，不要用“3〞、“6〞“7〞、“9〞表示一個(gè)單位。因?yàn)檫@樣不僅使標(biāo)點(diǎn)和讀數(shù)不方便，而且也容易出錯(cuò)?！?〕標(biāo)點(diǎn)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，找到每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在坐標(biāo)紙上的位置，用鉛筆以“×〞標(biāo)出各點(diǎn)坐標(biāo)，要求與測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)準(zhǔn)確地落在“×〞的交點(diǎn)上。一張圖上要畫幾條曲線時(shí)，每條曲線可用不同標(biāo)記如“+〞、“⊙〞、“△〞等以示區(qū)別?！?〕連線用直尺、曲線板、鉛筆將測(cè)量點(diǎn)連成直線或光滑曲線，校正曲線要通過(guò)校正點(diǎn)連成折線。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)值有一定誤差，所以曲線不一定要通過(guò)所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，只要求線的兩旁實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布均勻且離曲線較近，并在曲線的轉(zhuǎn)折處多測(cè)幾個(gè)點(diǎn)，對(duì)個(gè)別偏離很大的點(diǎn)，要重新審核，進(jìn)行分析后決定取舍?！?〕寫出圖紙名稱要求在圖紙的明顯位置標(biāo)明圖紙的名稱，即圖名、作者姓名、日期、班級(jí)等。2．圖解法圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式，如線性函數(shù)，二次函數(shù)、冪函數(shù)等，并求出其函數(shù)的參數(shù)，得出具體的方程式。特別是當(dāng)圖線是直線時(shí)，采用此法更為方便?！?〕直線圖解法①取點(diǎn)在直線上任取兩點(diǎn)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。用“〞符號(hào)表示所取的點(diǎn)，與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)相區(qū)別。一般不要取原實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。所取兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開(kāi)一些，以減小誤差。②求斜率k在坐標(biāo)紙的適當(dāng)空白的位置，由直線方程y=kx+b，寫出斜率的計(jì)算公式：〔6-1〕將兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入上式，寫出計(jì)算結(jié)果。③求截距b如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)為零，其截距b為x=0時(shí)的y值，其直線的截距即由圖上直接讀出。如果起點(diǎn)不為零，可由下式求出截距：〔6-2〕例：電阻絲的阻值R與溫度t的關(guān)系為：其中R0、a是常數(shù)?，F(xiàn)有一電阻絲，其阻值隨溫度變化如下表所示。請(qǐng)用作圖法作R-t直線，并求R0、R0a的t〔℃〕15.020.025.030.035.040.045.050.0R〔Ω〕28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.0031.62解：由上表可知〔℃〕〔Ω〕即溫度t的變化范圍為35℃，而電阻值R的變化范圍為3.57Ω。根據(jù)坐標(biāo)紙大小的選擇原那么，既要反映有效數(shù)字又能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，選40格×40格的圖紙。取自變量t為橫坐標(biāo)，起點(diǎn)為10℃，每一小格為1℃；因變量R為縱坐標(biāo)，起點(diǎn)為28Ω，每一小格為0.1Ω，描點(diǎn)連線圖，得R-t圖6-1在直線上取兩點(diǎn)〔19.0，28.40〕，〔43.0，30.90〕那么：〔Ω/℃〕〔Ω〕故有〔Ω〕〔2〕曲線的改直在實(shí)際工作中，許多物理量之間的函數(shù)關(guān)系形式是復(fù)雜的，并非都為線性，但是可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換后成為線性關(guān)系，即把曲變成直線，這種方法叫曲線改直。例如：①PV=C，C為常數(shù)由作圖得直線，斜率即為C。②為常數(shù)。兩邊除以t得：，作圖為直線，其斜率為，截距為。③，其中a，b為常數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，得，以lgy為橫坐標(biāo)，lgy為縱坐標(biāo)作圖得一直線，截距為lga，斜率為b。3．作圖法的優(yōu)點(diǎn)直觀：這是作圖法的最大優(yōu)點(diǎn)之一，可根據(jù)曲線形狀，很直觀很清楚地表示在一定條件下，某一物理量與另一物理量之間的相互關(guān)系，找出物理規(guī)律。簡(jiǎn)便：在測(cè)量精度要求不高時(shí)，由曲線形狀探索函數(shù)關(guān)系，作圖法比其他數(shù)據(jù)處理方法要簡(jiǎn)便。可以發(fā)現(xiàn)某些測(cè)量錯(cuò)誤：假設(shè)在曲線上個(gè)別點(diǎn)偏離特別大，可提醒人們重新核對(duì)。在圖線上，可以直接讀出沒(méi)有進(jìn)行測(cè)量的對(duì)應(yīng)于某x的y值〔內(nèi)插法〕。在一定條件下，也可以從圖線的延伸分部讀出測(cè)量數(shù)據(jù)范圍以外的點(diǎn)〔外推法〕。但也應(yīng)看到作圖法有其局限性。特別是受圖紙大小的限制，不能嚴(yán)格建立物理量之間函數(shù)關(guān)系，同時(shí)受到人為主觀性進(jìn)行的描點(diǎn)、連線的影響，不可防止地會(huì)帶來(lái)誤差。6.3逐差法逐差法是對(duì)等間距測(cè)量的有序數(shù)據(jù)進(jìn)行逐項(xiàng)或相等間隔項(xiàng)相減得到結(jié)果的一種方法。它計(jì)算簡(jiǎn)便，并可充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)失，總結(jié)規(guī)律，是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。1．逐差法的使用條件〔1〕自變量x是等間距離變化的?！?〕被測(cè)的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x的多項(xiàng)式，即。2．逐差法的應(yīng)用以拉伸法測(cè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為例，說(shuō)明如下：設(shè)實(shí)驗(yàn)中等間隔地在彈簧下加砝碼〔如每次加1克〕，共加9次，分別記下對(duì)應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0，L1，L2，…，L9〔1〕驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系把所測(cè)的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)相減，即看L0，L1，L2，…，L9是否根本相等。而當(dāng)Li均根本相等時(shí)，就驗(yàn)證了外力與彈簧的伸長(zhǎng)量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即用此法可檢查測(cè)量結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項(xiàng)逐差?！?〕求物理量數(shù)值現(xiàn)計(jì)算每加1克砝碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量從上式可看出，中間的測(cè)量值全部低消了，只有始末二次測(cè)量值起作用，與一次加9克為了保證屢次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能到達(dá)屢次測(cè)量來(lái)減小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)那么應(yīng)用如下方法：通常可將等間隔所測(cè)量的值分成前后兩組的，前一組為L(zhǎng)0、L1、L2、L3、L4，后一組為L(zhǎng)5、L6、L7、L8、L9，將前后兩組的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減為再取平均值由此可見(jiàn)，與上面一般求平均值方法不同，這時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的是增加5克砝碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量。故對(duì)應(yīng)項(xiàng)逐差可以充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，具有對(duì)數(shù)據(jù)取平均和減小的效果。6.4最小二乘法由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找出一條最正確的擬合直線〔或曲線〕，常用的方法是最小二乘法。所得的變量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。本章只討論用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸問(wèn)題，有關(guān)多元線性回歸和非線性回歸，請(qǐng)參考其他書籍。1．一元線性回歸最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最正確擬合直線上，各相應(yīng)點(diǎn)的值與測(cè)量值之差的平方和應(yīng)比在其他的擬合直線上的都要小。假設(shè)所研究的變量只有兩個(gè)：x和y，且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，是一元線性方程〔6-3〕實(shí)驗(yàn)測(cè)量的一組數(shù)據(jù)是需要解決的問(wèn)題是：根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，如何確定〔6-3〕式中的常數(shù)A0和A1。實(shí)際上，相當(dāng)于作圖法求直線的斜率和截距。由于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不可能都同時(shí)落在〔6-3〕式表示的直線上，為使討論簡(jiǎn)單起見(jiàn)，限定：①所有測(cè)量值都是等精度的。只要實(shí)驗(yàn)中不改變實(shí)驗(yàn)條件和方法，這個(gè)條件就可以滿足。②只有一個(gè)變量有明顯的隨機(jī)誤差。因?yàn)閤i和yi都含有誤差，把誤差較小的一個(gè)作為變量x，就可滿足該條件。假設(shè)在〔6-3〕式中的x和y，是在等精度條件下測(cè)量的，且y有偏差，記作把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入〔6-3〕式后得：其一般式為： 〔6-4〕的大小與正負(fù)表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在直線兩側(cè)的分散程度，的值與A0、A1的數(shù)值有關(guān)。根據(jù)最小二乘法的思想，如果A0、A1的值使最小，那么，〔6-3〕式就是所擬合的直線，即由式 〔6-5〕對(duì)A0和A1求一階偏導(dǎo)數(shù)，且使其為零得：〔6-6〕令為x的平均值，即，為y的平均值，即，為x2的平均值，即，為xy的均值，即代入〔6-6〕式中得：解方程組得：〔6-7〕2．把非線性相關(guān)問(wèn)題變換成線性相關(guān)問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)變量間不是直線關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，使不少曲線問(wèn)題能夠轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)的問(wèn)題。需要注意的是，經(jīng)過(guò)變換等精度的限定條件不一定滿足，會(huì)產(chǎn)生一些新的問(wèn)題。遇到這類情況應(yīng)采取更恰當(dāng)?shù)那€擬合方法。下面舉幾例說(shuō)明〔1〕假設(shè)函數(shù)為，其中C為常數(shù)，令：那么有：〔2〕假設(shè)函數(shù)為，其中a、b為常數(shù)，將原方程化為，令：那么有：3．相關(guān)系數(shù)r以上所討論的都是實(shí)驗(yàn)在的函數(shù)形式下進(jìn)行時(shí)，由實(shí)驗(yàn)的測(cè)量數(shù)據(jù)求出的回歸方程。因此，在函數(shù)形式確定以后，用回歸法處理數(shù)據(jù)，其結(jié)果是唯一的，不會(huì)像作圖法那樣因人而異?？梢?jiàn)用回歸法處理問(wèn)題的關(guān)鍵是函數(shù)形式的選取。但是當(dāng)函數(shù)形式不明確時(shí)，要通過(guò)測(cè)量值來(lái)尋求經(jīng)驗(yàn)公式，只能靠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)來(lái)推測(cè)。對(duì)同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同的工作者可能會(huì)取不同的函數(shù)形式，得出不同的結(jié)果。為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定以后，還需要計(jì)算一下相關(guān)系數(shù)r。對(duì)于元線性回歸，r定義為：〔6-8〕相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值大小反映了相關(guān)程度的好壞?？梢宰C明|r|的值介于0和1之間，|r|值越接近于1，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能密集在求得的直線附近，x、y之間存在著線性關(guān)系，用線性函數(shù)進(jìn)行回歸比擬合理。相反，如果|r|值遠(yuǎn)小于1而接近0，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)求得的直線很分散，x、y之間不存在線性關(guān)系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數(shù)重新試探。在物理實(shí)驗(yàn)中，一般當(dāng)|r|≥0.9時(shí)，就認(rèn)為兩個(gè)物理量之間存在較密切的線性關(guān)系。[例]用本節(jié)作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法做以下內(nèi)容：〔1〕線性擬合，并寫出直線方程：〔2〕求出電阻溫度系數(shù)a和0℃時(shí)的電阻R0〔3〕求出相關(guān)系數(shù)r，評(píng)價(jià)相關(guān)程度。解：金屬導(dǎo)體的電阻和溫度的關(guān)系為，令：上式可變?yōu)椋豪械膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)填入下表，并進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)下表：115.0225.028.05786.8420.8220.0400.028.52813.4570.4325.0625.029.10846.8727.5430.0900.029.56873.8886.8535.0122530.10906.01054640.0160030.57934.51223645.0202531.00961.01395750.0250031.62999.81581平均值32.51187.529.815890.269982.219由上表可得：代入〔6-7〕式中得：故函數(shù)關(guān)系為其中：〔Ω〕，〔1/℃〕又由〔6-8〕式可得：由r值可見(jiàn)，R與t之間有較好的線性關(guān)系，即相關(guān)程度較好。用最小二乘法與用作圖法求得的R-t之間的關(guān)系有一定的差異，說(shuō)明作圖法有一定的隨意性。習(xí)題1．指出以下情況屬于隨機(jī)誤差還是系統(tǒng)誤差：〔1〕視差。〔2〕天平零點(diǎn)漂移?！?〕游標(biāo)卡尺零點(diǎn)不準(zhǔn)?！?〕照相底板收縮?！?〕水銀溫度計(jì)毛細(xì)管不均勻?！?〕電表的接入誤差。〔7〕雷電影響?！?〕振動(dòng)?！?〕電源不穩(wěn)。2．求以下各組的、值?！?〕4.113，4.198，4.152，4.147，4.166，4.154，4.132，4.170〔cm〕；〔2〕2.904，2.902，2.900，2.903，2.900，2.904〔cm〕；〔3〕4.496，4.504，4.538，4.504，4.498，4.490〔cm〕；〔4〕2.010，2.010，2.011，2.012，2.009，1.980〔cm〕。3．用單擺測(cè)得重力加速度，用自由落體儀測(cè)得重力加速度當(dāng)?shù)氐膅的標(biāo)準(zhǔn)值為，問(wèn)：〔1〕g1、g2中哪一個(gè)存在系統(tǒng)誤差？〔2〕如果不知道g0，從g1和g2能得出什么結(jié)論？4．一個(gè)鉛圓柱體，測(cè)得直徑，高度，質(zhì)量〔1〕計(jì)算鉛的密度；〔2〕計(jì)算的不確定度和相對(duì)不確定度；〔3〕正確表示結(jié)果。5．寫出以下函數(shù)的不確定度傳遞公式。6．指出以下各量有幾位有效數(shù)字7．按照誤差理論和有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)那么，改正以下錯(cuò)誤?！?〕〔2〕0.2870有五位有效數(shù)字，而另一種說(shuō)法為三位有效數(shù)字，請(qǐng)糾正，并說(shuō)明理由?！?〕28cm=280mm，280mm〔4〕〔5〕0.0221×0.221=0.00048841〔6〕8．試?yán)行?shù)字運(yùn)算規(guī)那么計(jì)算以下各式。9．寫成科學(xué)表達(dá)式10．計(jì)算以下函數(shù)有效數(shù)的結(jié)果。11．實(shí)驗(yàn)測(cè)得在容器體積不變的情況下，不同溫度的氣體壓強(qiáng)如下表，請(qǐng)用圖示法表示。溫度T〔℃〕20.030.040.050.060.070.080.090.0壓強(qiáng)P〔cm/Hg〕82.085.090.094.097.0100.0103.0106.612．用伏安法測(cè)電陰數(shù)據(jù)如下，試用直角坐標(biāo)紙作圖，并求出R值。V〔V〕1.002.003.004.005.006.007.008.00I〔mA〕2.004.016.057.859.7011.8313.7516.0213．用最小二乘法求出中的A0、A1并檢驗(yàn)線性?！?〕i1234567xi2.04.06.08.010.012.014.0yi14.3416.3518.3620.3422.3924.3826.33〔2〕i1234567xi20.030.040.050.060.070.080.0yi5.455.665.966.206.456.867.01第一局部根底實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一長(zhǎng)度測(cè)量【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．掌握游標(biāo)及螺旋測(cè)微原理。2．正確使用米尺、游標(biāo)卡尺、螺旋測(cè)微器、移測(cè)顯微鏡測(cè)量長(zhǎng)度。【實(shí)驗(yàn)儀器】米尺、游標(biāo)卡尺、螺旋測(cè)微器、移測(cè)顯微鏡?！緦?shí)驗(yàn)原理】1．米尺米尺的最小分度值一般為1mm，使用米尺測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，可以準(zhǔn)確讀到毫米這一位上，米尺以下的一位要憑視力估讀。使用米尺測(cè)量時(shí)，為了防止因米尺端邊磨損而引入的誤差，一般不從“0〞刻度線開(kāi)始；為了防止因米尺具有一定厚度，觀察者視線方向不同而引入的誤差，必須使待測(cè)物與米尺刻度線緊貼；為了減少因米尺刻線不均勻而引入的誤差，可以選擇不同的測(cè)量起點(diǎn)對(duì)待測(cè)物作屢次測(cè)量。2．游標(biāo)卡尺圖1-1圖1-1圖1-1圖1-1米尺不能進(jìn)行精度較高的測(cè)量，為了提高測(cè)量精度，可以使用游標(biāo)卡尺。游標(biāo)卡尺主要由主尺和游標(biāo)兩局部構(gòu)成，如圖1-1所示。游標(biāo)緊貼著主尺滑動(dòng)，外量爪用來(lái)測(cè)量厚度和外徑，內(nèi)量爪用來(lái)測(cè)量?jī)?nèi)徑，深度尺用來(lái)測(cè)量槽的深度，緊固螺釘用來(lái)固定量值讀數(shù)。使用游標(biāo)卡尺時(shí)應(yīng)一手拿物體，另一手持尺，輕輕將物體卡住。應(yīng)特別注意保護(hù)量爪不被磨損，不允許用游標(biāo)卡尺測(cè)量粗糙的物體，更不允許被夾緊的物體在卡口內(nèi)移動(dòng)。測(cè)量前應(yīng)注意游標(biāo)零線是否和主尺零線對(duì)齊，如果沒(méi)有對(duì)齊，那么表示有初讀數(shù)。當(dāng)游標(biāo)的零線在主尺零線的左邊時(shí)，初讀數(shù)取負(fù)數(shù)，反之取正值。實(shí)際測(cè)量時(shí)應(yīng)將游標(biāo)卡尺的讀數(shù)減去初讀數(shù)，才得到物體的真實(shí)長(zhǎng)度。游標(biāo)卡尺測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)讀數(shù)方法為：先從主尺上讀出游標(biāo)“0”刻度線所在的整數(shù)分度值l〔mm〕，再看游標(biāo)上與主尺對(duì)齊的刻度線的序數(shù)〔格數(shù)〕nL=l+n·x式中，x為游標(biāo)卡尺的最小分度值〔精度值〕，為使讀數(shù)方便，游標(biāo)上并不標(biāo)出刻度線的序數(shù)n，而標(biāo)上n·x值。如圖1-2所示，讀數(shù)為：50.24〔50.00+12×0.02〕mm。對(duì)齊對(duì)齊圖1-2456789012345678910測(cè)量砧臺(tái)測(cè)量螺桿螺母套筒測(cè)量砧臺(tái)測(cè)量螺桿螺母套筒微分套筒棘輪弓架絕熱板鎖緊手柄圖1-3圖1-3螺旋測(cè)微器是由一根精密螺桿和與它配套的螺母局部組成。螺桿后連接一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的微分套筒，如圖1-3所示。微分套筒每旋轉(zhuǎn)一周，螺桿前進(jìn)〔或后退〕一個(gè)螺距。假設(shè)微分套筒上刻有n個(gè)分度，螺距為amm，那么每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)分度，螺桿移動(dòng)的距離為a/nmm。在圖1-3中螺距為a=0.5mm，微分套筒圓周上刻有50個(gè)分度，每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)分度，螺桿移動(dòng)距離為0.5/50=0.01mm。測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，倒轉(zhuǎn)棘輪，將待測(cè)物體放在測(cè)量砧臺(tái)和測(cè)量螺桿之間，然后再轉(zhuǎn)動(dòng)棘輪，聽(tīng)到“咯、咯……〞聲音時(shí)〔表示待測(cè)物體已被夾緊〕即停止轉(zhuǎn)動(dòng)。讀數(shù)時(shí)，先讀出螺母套筒上沒(méi)有被微分套筒的前沿遮住的刻度值；再讀出螺母套筒上橫線所對(duì)準(zhǔn)的微分套筒上的讀數(shù)，并讀出估讀數(shù)，二者之和即為最后的讀數(shù)。因?yàn)槁菽柑淄采系目潭染€有一定寬度，當(dāng)螺母套筒上橫線所對(duì)準(zhǔn)微分套筒上的讀數(shù)在“0〞上下時(shí)極易讀錯(cuò)，務(wù)必特別注意。通常微分套筒上的“0〞線在橫線上方時(shí)，盡管螺母套筒上的一條刻度線似乎已經(jīng)看到，但讀數(shù)時(shí)不能考慮進(jìn)去，否那么讀數(shù)將誤加0.500mm。螺旋測(cè)微器在使用一段時(shí)間后，零點(diǎn)會(huì)發(fā)生變化。所以測(cè)量時(shí)必須先記下初讀數(shù)。具體方法是：在測(cè)量砧臺(tái)和螺桿之間不放入任何物體，旋轉(zhuǎn)棘輪，當(dāng)聽(tīng)到“咯、咯……〞響聲時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)〔每次測(cè)量咯咯聲應(yīng)保持一致，兩聲或者三聲〕。此時(shí)微分套筒上的“0〞刻度線不一定與螺母套筒上的橫線對(duì)準(zhǔn)。這時(shí)的讀數(shù)稱為初讀數(shù)。應(yīng)注意初讀數(shù)有正負(fù)之分。初讀數(shù)是系統(tǒng)誤差，測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)所讀出的數(shù)值應(yīng)減去這個(gè)初讀數(shù)后，才是物體的長(zhǎng)度。如圖1-4所示，〔a〕的讀數(shù)為：4.686〔4.500+0.186〕mm；〔b〕的讀數(shù)為：5.188〔5.000+0.188〕mm；〔c〕的讀數(shù)為2.478〔2.000+0.478〕mm。〔a〕〔b〕〔c〕圖1-44．移測(cè)顯微鏡移測(cè)顯微鏡是螺旋測(cè)微器與顯微鏡組合在一起的精密的長(zhǎng)度測(cè)量?jī)x器。它主要有機(jī)械局部和光具局部。光具局部是一個(gè)長(zhǎng)焦距顯微鏡〔由目鏡、叉絲、物鏡三局部組成〕，它的測(cè)微螺旋的螺距為1mm，鼓輪一周等分為100個(gè)分格，每轉(zhuǎn)一個(gè)分格，顯微鏡將移動(dòng)0.01mm。具體使用步驟如下：〔1〕調(diào)節(jié)目鏡，看清十字叉絲；〔2〕讓叉絲交點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)待測(cè)物上的一點(diǎn)，讀數(shù)；〔3〕轉(zhuǎn)動(dòng)鼓輪，讓叉絲對(duì)準(zhǔn)待測(cè)物上的另一點(diǎn)，再讀數(shù)；〔4〕兩次讀數(shù)之差，即為所測(cè)二點(diǎn)間的距離?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．米尺測(cè)量某一物體的長(zhǎng)度，進(jìn)行屢次測(cè)量。2．用游標(biāo)卡尺測(cè)量金屬圓環(huán)的外徑、內(nèi)徑和高，進(jìn)行屢次測(cè)量，并計(jì)算其體積。3．用螺旋測(cè)微器測(cè)量小鋼球的直徑，在不同直徑處進(jìn)行屢次測(cè)量，并計(jì)算體積?！舅伎碱}】1．螺旋測(cè)微器的零點(diǎn)讀數(shù)的正負(fù)號(hào)怎么確定？怎樣對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正？2．使用移測(cè)顯微鏡的時(shí)候要注意哪些問(wèn)題？實(shí)驗(yàn)二單擺【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．掌握用單擺測(cè)定重力加速度的方法，學(xué)會(huì)使用秒表和數(shù)字毫秒計(jì)。2．研究單擺的周期和擺長(zhǎng)以及周期與擺角的關(guān)系。3．用圖解法得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果?！緦?shí)驗(yàn)儀器】單擺裝置、秒表、鋼卷尺、游標(biāo)卡尺、數(shù)字毫秒計(jì)。圖2-1單擺裝置〔如圖2-1所示〕的調(diào)節(jié)：調(diào)節(jié)底座的水平螺絲，使擺線與立柱平行，即立柱鉛直；調(diào)節(jié)擺幅測(cè)量標(biāo)尺高度與鏡面位置，使得標(biāo)尺的上弧邊中點(diǎn)與頂端懸線夾下平面間距離為50cm；調(diào)節(jié)標(biāo)尺平面垂直與頂端懸線夾的前伸局部；調(diào)節(jié)標(biāo)尺上部平面鏡平面與標(biāo)尺平面平行，鏡面上指標(biāo)線處于儀器的對(duì)稱中心。圖2-1秒表一般有指針式和數(shù)字式兩種，其精度有0.01s、0.1s、0.2s等多種。實(shí)驗(yàn)室常用的秒表是數(shù)字式秒表，其精度是0.01s，秒表的使用方法參見(jiàn)使用說(shuō)明書。數(shù)字毫秒計(jì)的使用方法參見(jiàn)使用說(shuō)明書。【實(shí)驗(yàn)原理】1．單擺測(cè)重力加速度單擺是由一個(gè)不能伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線和懸在此線下端體積很小的金屬球所構(gòu)成，在擺長(zhǎng)遠(yuǎn)大于擺球的直徑，擺球質(zhì)量遠(yuǎn)大于細(xì)線質(zhì)量的條件下，將擺球自平衡位置拉至一邊〔擺角小于5°〕釋放，擺球即在平衡位置左右往返作周期性擺動(dòng)，如圖3-2所示。設(shè)擺球的質(zhì)量為m，其質(zhì)心到擺的支點(diǎn)O的距離為l〔擺長(zhǎng)〕。作用在擺球上的切向力的大小為mgsin。它總指向平衡點(diǎn)O′。當(dāng)角很小時(shí)，那么sin≈，切向力的大小為mg，按照牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為圖2-2圖2-2〔2-1〕這是一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程，可知簡(jiǎn)諧振動(dòng)角頻率的平方等于g/l，由此得出〔2-2〕式中T為單擺的周期。實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)測(cè)出擺長(zhǎng)l和周期T，那么重力加速度g即可由上式求得。上式也可以寫成〔2-3〕圖2-3這里T2和l之間具有線形關(guān)系，為其斜率。如果測(cè)出各種擺長(zhǎng)及其對(duì)應(yīng)的周期，便可作出一個(gè)圖線，由該圖線的斜率即可求出g值。圖2-3測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑d，用鋼卷尺測(cè)量擺線長(zhǎng)，記錄起末位置坐標(biāo)和，那么由圖3-3可知擺長(zhǎng)。測(cè)量單擺周期時(shí)，為了減小測(cè)量單個(gè)周期的相對(duì)誤差，我們一般是測(cè)量連續(xù)擺動(dòng)n個(gè)周期的時(shí)間t，那么。2．單擺的擺角與周期在擺角不太小時(shí)，按照振動(dòng)理論，振動(dòng)周期和擺角的關(guān)系為〔2-4〕取零級(jí)近似取二級(jí)近似或?qū)懗伞?-5〕如果測(cè)出不同擺角下的周期T，作圖線，即可驗(yàn)證上式?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．重力加速度g的測(cè)定〔1〕儀器調(diào)整。在熟悉單擺裝置的儀器結(jié)構(gòu)性能后，按規(guī)定要求調(diào)整好儀器；了解所使用的秒表的結(jié)構(gòu)和功能，進(jìn)行幾次計(jì)時(shí)、停止、復(fù)零的練習(xí)?！?〕做擺長(zhǎng)約為1m的單擺，用鋼卷尺測(cè)量擺線長(zhǎng)，記錄起末位置坐標(biāo)和，用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑d，這樣各進(jìn)行3次，求平均值，計(jì)算擺長(zhǎng)l?！?〕使單擺的擺角不要太大〔≤5°〕，測(cè)量擺動(dòng)50次所用的時(shí)間t，要求測(cè)3次求平均值，計(jì)算周期T。在測(cè)周期時(shí)，應(yīng)選擇擺球通過(guò)最低位置時(shí)計(jì)時(shí)。此時(shí)可以通過(guò)觀察鏡尺，當(dāng)擺線、擺線在鏡尺中的像以及鏡尺刻線三者重合時(shí)計(jì)時(shí)?！?〕改變擺長(zhǎng)，每次縮短約10cm，按上述方法測(cè)量每一擺長(zhǎng)的周期，共測(cè)5個(gè)點(diǎn)，作出圖線，并由圖線的斜率求出g值。2．研究單擺的擺角與周期關(guān)系對(duì)某一擺長(zhǎng)，取不同的擺角測(cè)其對(duì)應(yīng)的周期。這時(shí)，如果采用前面的方法測(cè)周期，就會(huì)由于空氣阻力等因素造成擺角的不斷減小而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此，實(shí)驗(yàn)中改用數(shù)字毫秒計(jì)測(cè)周期。數(shù)字毫秒計(jì)采用檔，此檔的功能是：第一次遮光時(shí)開(kāi)始記時(shí)，第二次遮光不計(jì)，第三次遮光時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束。光電門放置在擺球通過(guò)的路徑的最低點(diǎn)處，靠近擺球遮光。每個(gè)擺角下的周期測(cè)3次。擺角的大小可以通過(guò)標(biāo)尺直接讀出。要求至少測(cè)5組數(shù)據(jù)，用所得數(shù)據(jù)作圖線，由圖線的截距和斜率檢驗(yàn)式〔2-5〕的的系數(shù)是否等于1/4。【思考題】1．測(cè)量單擺周期時(shí)，為什么時(shí)間起止點(diǎn)都選在擺球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)處？2．試比擬直接用公式計(jì)算g值和利用圖線求g值兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。3．自己設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，研究擺線質(zhì)量和空氣浮力對(duì)測(cè)量重力加速度g的影響。實(shí)驗(yàn)三自由落體法測(cè)重力加速度【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．學(xué)習(xí)用光電測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量短時(shí)間的方法。2．用自由落體儀測(cè)定重力加速度。3．比擬用自由落體法測(cè)重力加速度與用單擺測(cè)重力加速度的優(yōu)缺點(diǎn)?！緦?shí)驗(yàn)儀器】圖3-1自由落體儀、多功能數(shù)字式測(cè)定儀、米尺、鋼球。圖3-1自由落體儀如圖5-1所示。在底座I上豎直固定一立柱K，電磁頭D、上光電門E1、下光電門E2和接球器G皆可在立柱K上移動(dòng)和固定。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將電磁頭D通電，那么被磁化的電磁鐵芯C可吸住鋼球F；斷開(kāi)電磁頭電源，鋼球自由下落。當(dāng)經(jīng)過(guò)上光電門E1時(shí)，多功能數(shù)字式測(cè)定儀J開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)下光電門E2時(shí)，計(jì)時(shí)停止，因此，多功能數(shù)字式測(cè)定儀可以記錄并顯示鋼球落下兩光電門間的高度所需要的時(shí)間?！緦?shí)驗(yàn)原理】建立坐標(biāo)系ox，方向鉛直向下〔參見(jiàn)圖3-1〕，取落球〔鋼球〕靜止時(shí)的高度位置為原點(diǎn)，光電門E1、E2的坐標(biāo)分別為x0和x1，落體下落h1高度〔h1=x1-x0〕所需要的時(shí)間為t1，那么有〔3-1〕式中v0為落體在x0處的速度，g為重力加速度。假設(shè)固定E1，移動(dòng)E2使其坐標(biāo)變?yōu)閤2，那么兩光電門之間的距離為h2=x2–x1，落體下落h2高度所需要的時(shí)間為t2，同理可得〔3-2〕由以上二式消去v0，可得〔3-3〕實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們固定E1位置不變，等間距〔例如每增加10cm〕移動(dòng)E2，取h1，h2，…，h10共10個(gè)數(shù)值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別測(cè)出相應(yīng)的時(shí)間t1，t2，…，t10，再由逐差法計(jì)算g：〔3-4〕【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．調(diào)節(jié)立柱鉛直〔1〕將光電門E1置于電磁鐵芯C下方附近，E2固定于接球器上方，用細(xì)線將重錘掛在電磁鐵芯下部，旋轉(zhuǎn)底座上的調(diào)節(jié)螺絲H，使鉛垂線正好穿過(guò)兩光電門的中心?！?〕取下重錘，并翻開(kāi)電磁頭電源吸住鋼球，在確信立柱不晃動(dòng)時(shí)斷開(kāi)電源，觀察鋼球是否正好穿過(guò)光電門E2的中心。要求鋼球從底部開(kāi)始遮光且不能打著光電門，否那么，微調(diào)底座螺絲直至到達(dá)要求。在實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)鋼球不落入接球器G內(nèi)以至滾跑，可用手在E2下方將球接住。2．測(cè)光電門之間距離h和下落時(shí)間t〔1〕用米尺測(cè)h，多功能數(shù)字式測(cè)定儀測(cè)時(shí)間t對(duì)每一個(gè)h，測(cè)六次t，取其平均值，同時(shí)注意鋼球是否正好擋光。〔2〕固定E1位置不變，移動(dòng)E2使h分別為40，50，…，130cm共10個(gè)數(shù)值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用逐差法處理數(shù)據(jù)?！舅伎碱}】1．由測(cè)量結(jié)果知，的數(shù)值總的來(lái)說(shuō)偏小，你能指出可能是何種原因造成的嗎？2．試說(shuō)明，假設(shè)作圖，那么得到一直線，由其斜率和截距可分別求出g和初速度v0。問(wèn)是否可以適中選擇變量，得到一直線，由其斜率求出v0，而由截距得到g？實(shí)驗(yàn)四液體粘度的測(cè)定【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．了解斯托克斯定律。2．掌握用落球法測(cè)定液體的粘滯系數(shù)〔粘度〕。【實(shí)驗(yàn)儀器】盛油玻璃量筒〔內(nèi)置蓖麻油〕，螺旋測(cè)微計(jì)，秒表，水銀測(cè)溫計(jì)，小鋼球【實(shí)驗(yàn)原理】當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同流層之間的速度不同，在相鄰兩層之間因?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生切向力?？斓囊粚咏o慢的一層以拉力，慢的一層給快的一層以阻力，這對(duì)力就稱內(nèi)摩擦力或粘滯阻力。流體的這種性質(zhì)稱為粘滯性。vy圖4-1實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，流體內(nèi)部相鄰兩層流體之間的內(nèi)摩擦力f，除了正比于兩層之間的接觸面積，還正比于該處的速度梯度〔即沿垂直于速度方向上，每單位長(zhǎng)度上的速度增量〕：vy圖4-1〔4-1〕比例系數(shù)稱為粘滯系數(shù)，只與流體本身的性質(zhì)有關(guān)。流體的粘滯系數(shù)與溫度有關(guān)。對(duì)流體來(lái)說(shuō)，粘滯系數(shù)隨溫度升高而減??；對(duì)氣體那么相反，隨溫度升高而增大。在溫度不變時(shí)，壓強(qiáng)不特別大〔如幾百個(gè)大氣壓〕的情況下，壓強(qiáng)對(duì)液體的影響極小。超流動(dòng)性：液氦在溫度低于2.16K時(shí)，具有無(wú)摩擦的在毛細(xì)管內(nèi)流動(dòng)的特性，其幾乎為零。這種性質(zhì)稱為超流動(dòng)性。測(cè)液體粘滯系數(shù)的方法很多，本實(shí)驗(yàn)用斯托克斯公式測(cè)量給定液體的粘滯系數(shù)。當(dāng)小球在無(wú)限大的液體中運(yùn)動(dòng)，且速度v0不大，同時(shí)又沒(méi)有旋渦產(chǎn)生時(shí)，小球所受的粘滯阻力：〔r為小球半徑〕，上式即為斯托克斯定律。實(shí)驗(yàn)采用近似的斯托克斯定律條件，采用有限的液體，即盛放在量筒中的蓖麻油作為待測(cè)液體。小球在液體中自由下落時(shí)，受到三個(gè)力的作用：重力G、浮力F和粘滯阻力f，三個(gè)力都在豎直方向上，重力向下、浮力和粘滯力向上。阻力隨小球的速度增加而增加。以靜止開(kāi)始下落的小球，先作加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下落速度到達(dá)一定值時(shí)，小求所受三力平衡，開(kāi)始勻速下落，此時(shí)：其中：＝，是鋼制小球的密度為蓖麻油的密度〔用密度計(jì)測(cè)量〕v0為小球勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度最后液體的粘滯系數(shù)為：〔4-2〕lFGf圖4-2v0可通過(guò)如下方法測(cè)量：〔采用米尺測(cè)量，t采用秒表測(cè)量〕。由于在實(shí)際測(cè)量時(shí)液體是盛放在有限的容器中的，不滿足無(wú)限寬廣的條件，這時(shí)實(shí)際測(cè)得的速度v和上述理想條件下的速度vlFGf圖4-2〔4-3〕因此，液體的粘度應(yīng)修正為〔4-4〕式中，R為量筒的內(nèi)半徑，H為液體的深度。由于斯托克斯公式是在無(wú)渦流的理想狀態(tài)下導(dǎo)出的，而實(shí)際小球下落時(shí)并不是這樣的理想狀態(tài)，因此還要進(jìn)行修正，粘性力取一級(jí)近似為f=6πηνr〔1+〕〔4-5〕式中，雷諾系數(shù)Re=2ρ0νr/η，那么修正后的粘度為〔4-6〕【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．使盛有待測(cè)液體〔蓖麻油〕的量筒的中心軸處于鉛直方向；選取標(biāo)線N1、N2。2．用米尺測(cè)量液體深度H及標(biāo)線間距離h，用游標(biāo)卡尺測(cè)量量筒內(nèi)徑D。3．用螺旋測(cè)微器選擇10個(gè)小球，使它們的半徑在誤差允許范圍內(nèi)可認(rèn)為相同。分別測(cè)量每個(gè)小球的半徑。4，用鑷子將小球放置在液體外表，使其沿中心軸線下落，用秒表分別測(cè)出每個(gè)小球通過(guò)標(biāo)線N1N2所用的時(shí)間t，取平均值，那么v=h/t。5．利用公式計(jì)算η值并求出標(biāo)準(zhǔn)不確定度?！舅伎碱}】1．實(shí)驗(yàn)中，為什么不從小球落入液面時(shí)就開(kāi)始計(jì)時(shí)？為何要取標(biāo)線N1N2？2．如果投入的小球偏離中心軸線，將會(huì)有什么影響？3．如果用實(shí)驗(yàn)的方法求補(bǔ)正項(xiàng)的系數(shù)2.4，應(yīng)如何進(jìn)行？4．試推導(dǎo)η的單位是“Pa?s〞。實(shí)驗(yàn)五楊氏模量的測(cè)量胡克〔R.Hooke1635-1702〕于1678年從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出，對(duì)于有拉伸壓縮形變的彈性體，當(dāng)應(yīng)變較小時(shí)，應(yīng)變與應(yīng)力成正比，即圖5-1圖5-1稱為胡克定律。因，，故胡克定律又可表示為式中比例系數(shù)E稱為楊氏模量。由于為純數(shù)，故楊氏模量和應(yīng)力有相同的單位：稱為“帕斯卡〞，可簡(jiǎn)稱為“帕〞，國(guó)際符號(hào)為“Pa〞。楊氏模量是表征材料本身彈性的物理量，由胡克定律可知，應(yīng)力大而應(yīng)變小，楊氏模量較大；反之，楊氏模量較小。楊氏模量反映材料對(duì)于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。對(duì)于一定的材料來(lái)說(shuō)，拉伸和壓縮的楊氏模量不同，但通常二者相差不多。僅當(dāng)形變很小時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變才服從胡克定律。假設(shè)應(yīng)力超過(guò)某一限度，到達(dá)一點(diǎn)時(shí)，撤消外力后，應(yīng)力回到零，但有剩余應(yīng)變p，稱為塑性應(yīng)變。塑性力學(xué)便是專門研究這類現(xiàn)象惡毒。當(dāng)外力進(jìn)一步增大到某一點(diǎn)時(shí)，會(huì)突然發(fā)生很大的形變，該點(diǎn)被稱為屈服點(diǎn)。在到達(dá)屈服點(diǎn)后不久，材料可能發(fā)生斷裂，在斷裂點(diǎn)被拉斷。【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．學(xué)會(huì)用拉伸法測(cè)量金屬絲的楊氏模量。圖5-21．平面鏡2．后足3．前足圖5-21．平面鏡2．后足3．前足3．學(xué)會(huì)用逐差法處理數(shù)據(jù)?！緦?shí)驗(yàn)儀器】楊氏模量測(cè)量?jī)x、光杠桿、望遠(yuǎn)鏡直尺組、螺旋測(cè)微器、米尺、鋼卷尺、砝碼等。楊氏模量測(cè)量?jī)x如圖5-1所示。A、B為鋼絲兩端的螺絲夾，在B的下端掛有砝碼的托盤，調(diào)節(jié)儀器底部的螺絲J可以使平臺(tái)水平，且使B剛好懸于平臺(tái)的圓孔中間。在平臺(tái)上放有光杠桿G，光杠桿前兩足放在平臺(tái)的槽內(nèi)，后足尖放在螺絲夾B上。當(dāng)鋼絲伸長(zhǎng)時(shí)，可通過(guò)望遠(yuǎn)鏡直尺組測(cè)量光杠桿的偏轉(zhuǎn)角，從而求出鋼絲的微小伸長(zhǎng)量。光杠桿由平面反射鏡、前足、后足組成，如圖5-2所示。鏡面傾角及前、后足之間距離均可調(diào)。望遠(yuǎn)鏡直尺組由刻度尺和望遠(yuǎn)鏡組成，如圖5-3所示。轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡目鏡可以清楚地看到十字叉絲。調(diào)整望遠(yuǎn)鏡調(diào)焦手輪并通過(guò)光杠桿的平面鏡可以看到刻度尺的像，望遠(yuǎn)鏡的軸線可以通過(guò)望遠(yuǎn)鏡軸線調(diào)整螺釘調(diào)整，松開(kāi)望遠(yuǎn)鏡、刻度尺緊固螺釘，望遠(yuǎn)鏡、刻度尺能夠分別沿立柱上下移動(dòng)。圖5-3圖5-31．刻度尺；2．望遠(yuǎn)鏡調(diào)焦手輪；3．望遠(yuǎn)鏡軸線調(diào)整螺釘；4．望遠(yuǎn)鏡緊固螺釘；5．缺口；6．準(zhǔn)星；7．刻度尺緊固螺釘對(duì)于一根長(zhǎng)為l，橫截面積為S的鋼絲，在外力F的作用下伸長(zhǎng)了l，那么由胡克定律可得〔5-1〕式中E為楊氏模量。設(shè)鋼絲的直徑為d，那么S=d2/4，將其代入式〔1〕并整理可得〔5-2〕實(shí)驗(yàn)中，我們測(cè)出拉力F，鋼絲長(zhǎng)l、直徑d和微小伸長(zhǎng)量l，即可代入式〔5-2〕求得楊氏模量E。因?yàn)閘不易測(cè)量，所以測(cè)量楊氏模量的裝置都是圍繞如何測(cè)量微小伸長(zhǎng)量而設(shè)計(jì)的。本實(shí)驗(yàn)利用光杠桿裝置去測(cè)量微小伸長(zhǎng)量l，拉力F用逐次增加砝碼的方式讀出，鋼絲長(zhǎng)l用鋼卷尺測(cè)出，直徑d用螺旋測(cè)微器測(cè)出。lDama02圖5-4a光杠桿裝置的原理圖如圖5-4所示。假設(shè)平面鏡的法線和望遠(yuǎn)鏡的光軸在同一直線上，且望遠(yuǎn)鏡光軸和刻度尺平面垂直，刻度尺上某一刻度發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡反射進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡，可在望遠(yuǎn)鏡中十字叉絲處讀下該刻度的像，設(shè)為alDama02圖5-4a因?yàn)閘很小，且l<<b，也很小，故有：因am-a0<<D，故有：聯(lián)立兩式，消去，有令a=am-a0，那么有〔5-3〕式中b為光杠桿后足尖到前兩足尖連線之間垂直距離，用米尺測(cè)出，D為光杠桿平面鏡到刻度尺之間的垂直距離，用鋼卷尺測(cè)出，為加砝碼前后刻度尺在平面鏡中的像移動(dòng)的距離，通過(guò)望遠(yuǎn)鏡中十字叉絲可以讀出。這樣，樣式模量的測(cè)量公式可以寫為〔5-4〕式中，m為砝碼的質(zhì)量，g為重力加速度。實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們首先記錄未加砝碼時(shí)望遠(yuǎn)鏡中十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上某一刻度的像a0，然后逐次增加1.0kg砝碼，分別記錄各次十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上某刻度的像a1，a2，…，a5，砝碼加到5.0kg時(shí)，在逐次減少1.0kg砝碼，分別記錄各次十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上某刻度的像a4′，a3′，…，a0′。求加砝碼相等時(shí)的各次記錄的平均值，，…，，再由逐差法求出m=3kg時(shí)a的平均值〔11-5〕【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．儀器調(diào)節(jié)〔1〕調(diào)節(jié)楊氏摸量測(cè)量?jī)x=1\*GB3①調(diào)整楊氏模量測(cè)量?jī)x底部的螺絲使立柱鉛直〔平臺(tái)水平〕。=2\*GB3②將光杠桿按要求放在平臺(tái)上。目視檢查其主桿是否水平，如不水平，可上下移動(dòng)螺絲夾，待主桿水平后旋緊固定螺絲。檢查螺絲夾能否在平臺(tái)圓孔內(nèi)上下自由移動(dòng)。調(diào)整光杠桿平面鏡使鏡面位于鉛直平面內(nèi)。=3\*GB3③在鋼絲下端托盤上加掛初始砝碼〔又稱本底砝碼，該砝碼不應(yīng)計(jì)入以后所加的力F之內(nèi)〕，拉直鋼絲?！?〕調(diào)節(jié)光杠桿、望遠(yuǎn)鏡直尺組=1\*GB3①粗調(diào)。將望遠(yuǎn)鏡直尺組放在離光杠桿平面鏡前1.5～2.0m處，使望遠(yuǎn)鏡和光杠桿處于同一高度；將望遠(yuǎn)鏡水平放置，望遠(yuǎn)鏡軸心線和刻度尺平面豎直放置；調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的左右位置和在平面內(nèi)的方位，使沿望遠(yuǎn)鏡鏡筒方向觀察光杠桿平面鏡面，能夠看到刻度尺的像和觀察者眼睛的像。=2\*GB3②細(xì)調(diào)。微調(diào)望遠(yuǎn)鏡的方位，使刻度尺的像位于視場(chǎng)中央；然后調(diào)節(jié)目鏡，使十字叉絲清晰；再調(diào)物鏡，使望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)中十字叉絲和刻度尺的像均很清晰。=3\*GB3③消除視差。調(diào)節(jié)光杠桿平面鏡鏡面傾角，使十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上與望遠(yuǎn)鏡同一高度的位置；微調(diào)物鏡，消除視差〔上下稍許移動(dòng)眼睛，刻度線與十字叉絲橫線之間不出現(xiàn)相對(duì)移動(dòng)就是無(wú)視差〕。2．測(cè)量〔1〕儀器調(diào)整完畢，記錄加掛初始砝碼時(shí)望遠(yuǎn)鏡中十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上某一刻度的像a0?！?〕逐次增加1.0kg砝碼，分別記錄各次十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上某刻度的像a1，a2，…，a5，砝碼加到5.0kg時(shí)，在逐次減少1.0kg砝碼，分別記錄各次十字叉絲對(duì)準(zhǔn)刻度尺上某刻度的像a4′，a3′，…，a0′。由逐差法求出?！?〕用鋼卷尺測(cè)量鋼絲的長(zhǎng)度l〔螺絲夾A、B之間的距離〕，光杠桿平面鏡到刻度尺之間的垂直距離D，分別測(cè)量5次?！?〕用螺旋測(cè)微器測(cè)量鋼絲直徑d，選不同位置測(cè)5次?！?〕取下光杠桿，將其放在一張平整的白紙上用力壓，用米尺測(cè)量光杠桿后足尖到前兩足尖連線之間垂直距離b，測(cè)量5次。【考前須知】1．在望遠(yuǎn)鏡調(diào)整中，必須注意時(shí)差的消除，否那么會(huì)影響讀數(shù)的準(zhǔn)確性。2．實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不得碰撞儀器，更不能移動(dòng)光杠桿和望遠(yuǎn)鏡直尺組和的位置。加掛砝碼必須輕拿輕放，待系統(tǒng)穩(wěn)定后才可讀數(shù)，否那么必須重做。3．待測(cè)鋼絲不得彎曲，假設(shè)加掛初始砝碼仍不能將其拉直或嚴(yán)重銹蝕的鋼絲必須更換?！舅伎碱}】1．如果實(shí)驗(yàn)時(shí)鋼絲有些彎曲，對(duì)實(shí)驗(yàn)有何影響？如何從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題？2．實(shí)驗(yàn)中哪個(gè)量的測(cè)量誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響最大？對(duì)垂直距離b的測(cè)量為何不用精度較高的游標(biāo)卡尺，而用米尺。3．鋼的楊氏模量為2×1011N·m-2，而其極限強(qiáng)度〔破壞應(yīng)力〕為7.5×108N·m-2，二者是否矛盾？為什么？實(shí)驗(yàn)六慣性秤【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．了解慣性秤測(cè)定慣性質(zhì)量的原理及方法。2．掌握慣性秤的定標(biāo)方法。3．測(cè)定物體的慣性質(zhì)量以及研究重力加速度對(duì)慣性秤的影響?！緦?shí)驗(yàn)儀器】慣性秤、周期測(cè)定儀。慣性秤由平臺(tái)和秤臺(tái)組成，它們之間用兩條相同的彈性鋼條連接起來(lái)，附件有砝碼組、管制器、待測(cè)物及支撐桿等。平臺(tái)被水平地固定在支撐桿上，秤臺(tái)用來(lái)放置砝碼和待測(cè)物，并且在秤臺(tái)上有一圓柱孔，該孔和砝碼底座〔包括小砝碼和圓柱體〕一起用以固定砝碼組的位置和待測(cè)物的位置，如圖6-1所示。653421653421圖6-1慣性秤結(jié)構(gòu)示意圖1.秤臺(tái)；2.彈性鋼條；3.臺(tái)座；4.支架；5.圓柱體；6.光電門?！緦?shí)驗(yàn)原理】根據(jù)牛頓第二定律有m=F/a,把同一個(gè)力作用在不同物體上，并測(cè)出各自的加速度，就能確定物體的慣性質(zhì)量。當(dāng)慣性秤水平固定后，將秤臺(tái)沿水平方向撥動(dòng)一厘米左右距離，松開(kāi)手后，這時(shí)秤臺(tái)及其上面物體將作水平的周期性振動(dòng)，對(duì)此運(yùn)動(dòng)起作用的只有秤臂的彈性恢復(fù)力。在秤臺(tái)上的負(fù)荷不大且秤臺(tái)位移很小的情況下，我們可以近似地認(rèn)為秤臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是沿水平方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)秤臺(tái)上的物體受到秤臂的彈性恢復(fù)力為F=?kx，〔k為秤臂的彈性系數(shù)，x為秤臺(tái)水平偏離平衡位置的距離〕，根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)動(dòng)方程為：〔6-1〕式中，M0為空秤的慣性質(zhì)量，M1為砝碼的慣性質(zhì)量。設(shè)初相位為零，式〔6-1〕的解為：x=x0cosωt〔6-2〕其中，x0為秤臺(tái)振幅，ω為圓頻率，由此可得：〔6-3〕〔6-4〕當(dāng)秤臺(tái)上負(fù)荷不大時(shí)，認(rèn)為k是常數(shù)?？梢钥闯?，慣性秤的水平周期T的平方和慣性質(zhì)量成正比，即〔6-5〕由上式可知，假設(shè)砝碼的慣性質(zhì)量M1，并測(cè)出其周期T1，那么只要測(cè)得被測(cè)物體的振動(dòng)周期T2，就可以求出其慣性質(zhì)量M2，這就是使用慣性秤測(cè)定慣性質(zhì)量的根本原理。實(shí)驗(yàn)中為了防止計(jì)算，常采用作圖法。對(duì)慣性秤預(yù)先作出T2-M定標(biāo)圖線，只要測(cè)出T2，就可以直接從圖線上讀出被測(cè)物的慣性質(zhì)量值。作圖方法如下：先測(cè)出空秤〔其慣性質(zhì)量為M0〕的水平振動(dòng)周期T0，然后將具有相同慣性質(zhì)量的砝碼依次增加放到秤臺(tái)上，測(cè)出分別對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期T1，T2，……，Ti，繪出相應(yīng)的T2-M圖線,如圖6-2所示。這樣，只要測(cè)出某待測(cè)物的振動(dòng)周期Tk，即可在T2-M圖線上找出其對(duì)應(yīng)的慣性質(zhì)量Mk。至于空秤的慣性質(zhì)量M0，它是一個(gè)常數(shù)，在繪制T2-M圖線時(shí)，取M0作為橫坐標(biāo)的原點(diǎn)即可，這樣作圖或用圖時(shí)均可不必考慮M0。圖6-2慣性秤的T2-M圖線慣性秤必須嚴(yán)格水平放置，才能得到正確的結(jié)果，否那么，秤的水平振動(dòng)將會(huì)受到重力的影響。這時(shí)，秤臺(tái)除受到秤臂的彈性恢復(fù)力外，還要受到重力在水平方向上的一個(gè)分力的作用。為研究重力對(duì)慣性秤的影響，可以分為以下兩種情況考慮：〔1〕圓柱體懸空；慣性秤仍水平安置，將圓柱體用細(xì)線吊在秤臺(tái)的圓孔內(nèi)，讓圓柱體懸空,如圖6-3〔a〕所示。此時(shí)，圓柱體重量不再鉛直地作用在秤臂上，由于被測(cè)物在偏離平衡位置后，其重力的水平方向分力作用在秤臺(tái)上，從而使秤的振動(dòng)周期有所變化，在位移x與懸線長(zhǎng)L〔由懸點(diǎn)到圓柱體中心的距離〕相比擬小時(shí)，忽略圓柱體與秤臺(tái)圓孔間的摩擦阻力，那么作用于振動(dòng)系統(tǒng)上的恢復(fù)力為kx+Mgx/L，此時(shí)振動(dòng)周期為：〔6-6〕那么：〔6-7〕〔a〕慣性秤水平放置〔b〕慣性秤豎直放置圖6-3可見(jiàn)，這種情況下秤臂的振動(dòng)周期要小一些?！?〕秤臂豎置安裝。此時(shí)秤臺(tái)的振動(dòng)亦在鉛直面內(nèi)進(jìn)行，假設(shè)秤臺(tái)中心至臺(tái)座中心的距離為l,如圖6-3(b)所示。此時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成：〔6-8〕相應(yīng)的周期可以寫成：〔6-9〕那么：〔6-10〕可見(jiàn)，由于重力影響，其振動(dòng)周期也會(huì)比水平位置時(shí)的周期減小。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．作慣性秤水平放置時(shí)的定標(biāo)曲線。〔1〕用水準(zhǔn)儀校準(zhǔn)慣性秤秤臂的水平，接好周期測(cè)定儀?！?〕將慣性秤沿水平方向稍稍撥離，任其振動(dòng)，測(cè)定空秤時(shí)M0的周期T0，然后依次加上砝碼Mi，測(cè)定周期Ti。注意加砝碼時(shí)應(yīng)對(duì)稱參加，使砝碼重心一直位于秤臺(tái)中心?！?〕根據(jù)的質(zhì)量Mi和測(cè)得的周期Ti，繪出慣性秤水平放置時(shí)的Ti2-Mi定標(biāo)曲線。2．測(cè)定圓柱體的慣性質(zhì)量。〔1〕將圓柱體放入秤臺(tái)圓孔中，測(cè)定其周期T?！?〕從定標(biāo)曲線中查出待測(cè)圓柱體的慣性質(zhì)量M0。3．研究重力對(duì)慣性秤的影響?！?〕慣性秤仍水平放置，用細(xì)線把圓柱體吊在秤臺(tái)中心圓孔內(nèi)，使其懸空。測(cè)出由懸點(diǎn)至圓柱體重心的距離L，測(cè)定其振動(dòng)周期T＇，并和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2中測(cè)定的T作比擬。注意應(yīng)盡量使圓柱體重心與秤臺(tái)中心重合。〔2〕將慣性秤豎直放置，將圓柱體放入秤臺(tái)圓孔中，測(cè)出秤臺(tái)中心至臺(tái)座中心的距離l，測(cè)定其周期T"，并和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2中測(cè)定的T作比擬?！舅伎碱}】1．通過(guò)對(duì)T與T＇、T"的比擬，你能得到什么結(jié)論？2．處在失重狀態(tài)的兩個(gè)質(zhì)量不同的物體，你能用天平區(qū)分它們的引力質(zhì)量大小嗎？假設(shè)用慣性秤，你能區(qū)分它們的慣性質(zhì)量大小嗎？實(shí)驗(yàn)七電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)的