求極限的方法總結(jié)

學(xué)號(hào)：0學(xué)年論文求極限的方法總結(jié)MethodofLimit學(xué)院理學(xué)院專業(yè)—班級(jí)學(xué)生 指導(dǎo)教師（職稱） 完成時(shí)間_年_月—日至—年_月_日摘要極限的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念之一。許多重要的概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和及廣義積分等都是用極限來(lái)定義的。因此掌握好求極限的方法對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的。但求極限的方法因題而異，變化多端，有時(shí)甚至感到變幻莫測(cè)無(wú)從下手，通過(guò)通過(guò)歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。本文主要對(duì)了數(shù)學(xué)分析中求極限的方法進(jìn)行一定的總結(jié)，以供參考。關(guān)鍵詞：極限洛必達(dá)法則泰勒展開(kāi)式定積分無(wú)窮小量微分中值定理AbstractTheconceptoflimitisthemostimportantmathematics,oneofthemostbasicimportantconceptssuchascontinuity,derivative,definiteintegral,infiniteseriesandgeneralizedintegralsandaredefinedbythematerthemethodstheLimitlearnmathematicsintegralsandaredefinedbythelimitvariesby廿tle,varied,anfsometimesevenimpossibletostartveryunpredictable,andsummarizedthroughtheadoption,wesetouttherequirementsofsomecommonlyusedthispaper,themathematicalanalysisofthemethodofseekingacertainlimitasummaryforreferenee.Keyword:LimitHospital'sRuleTaylorexpansionDefiniteintegralInfinitesimalMeanValueTheorem引言極限時(shí)分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)。早在中國(guó)古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。例如：3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家劉微的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限時(shí)圓周長(zhǎng)這一個(gè)思想來(lái)近似地計(jì)算圓周率的。隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念也就明確提出。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數(shù)學(xué)界引起了不少爭(zhēng)論甚至懷疑。知道19世紀(jì)，由A.—L.柯西、K.(.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認(rèn)。數(shù)學(xué)分析中的基本概念得表述都可以用極限來(lái)描述。如函數(shù)y=f(x)在x二X。處倒數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義等都是用極限來(lái)定義的。極限時(shí)研究數(shù)學(xué)分析的基本工具。極限時(shí)貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限要學(xué)會(huì)歸納和掌握求極限的方法。本文主要是對(duì)求極限的方法進(jìn)行了歸納和總結(jié)。第一章1、1利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧極限四則元素法則的條件是充分而非必要的，因此，用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算的法則條件，如果滿足條件，才能利用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；不滿足條件的就不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求解。但是，并非所有不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需要將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件候再利用四則運(yùn)算法則求解，而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧比如拆項(xiàng)，分子分母乘以某一因子，變量代換，分子分母有理化等等方法即可進(jìn)行恒等變換，以便于我們計(jì)算。極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：定理1.1：如果limf(x)=A,limg(x)=BTOC\o"1-5"\h\zx-xo x-xo1)lim[f(x)土g(x)]=limf(x)土limg(x)=A±B1)f f f2)limf(x)?g(x)]=limf(x)-limg(x)=A?B2)x-xo f f\o"CurrentDocument"f(x)limf(x) A\o"CurrentDocument"若BhO貝V：lim =寧75 =—xtx° BxTxolimc-f(x)=c-limf(x)=cAxTxo f5)lim[f(x)]n二limf(x)二An(n為自然數(shù))5)X-X0x-x x-X-X0上述性質(zhì)對(duì)于xfg,xT+8,xT—g也同樣成立①由上述的性質(zhì)和公式我們可以看書(shū)函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例1.求lim三空的極限xT2x—3解：由定理中的第三式可以知道+5)lim+5)limxT2—3-隘(x-3)xT2limx2+lim5=x>2 xt2—limx+lim3xT2 xT22222+5=2—3以后遇到類似題目，可以分別求子分母的極限，得到的分式就是結(jié)果例2.例2.求lim空土2的極限xT3x—3解：分子分母同時(shí)乘以HE+2x+1_2 (x+1—2)(x+1+2)=limxT3 x—3 xT3lim丄—=lim=limxT3 x—3 xT34式子經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后就能得到一個(gè)只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可例3.111已知"n=14式子經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后就能得到一個(gè)只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可例3.111已知"n=1^2+2^3+ +(n—1)xn，求limxnn>g解：觀察存_21=1_1 1 =1_12x323(n—1)xn(n-1)n111因此得到丁嵐+歷+……+(^^1111=1—+———+?2 233=1—1n所以limx所以limxnnTg=lim(1-丄nTg\ n丿=11、2 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(X)在x附近有定義，VAX，則0Ay=f(x+Ax)-f(x)o o如果Axlim乞=lim山+Ax)-f(xAxAxT0AxAxT0存在，則此極限值就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù)記為廣(xo)。f'(x)=limf(xo+心)-f(xo)° AxtO Ax在這種方法的運(yùn)用過(guò)程中，首先要選好f(x)。然后把所求極限都表示稱f(x)在定點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)。例4.求lim(的導(dǎo)數(shù)。例4.求lim(x-2).ctg2x的極限解：lim(x-2)?ctg2x=1lim竺xTxx—-22lim■xxT21廠tg2x—tg2 兀x—2=limxTx2

1、3利用兩個(gè)重要極限公式求極限兩個(gè)極限公式:(1)十sinx4(1)十sinx4lim二1，xtO x(2)limfl+-'x丿但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(2)(1)lim=1(2)(1)lim=1，G(X)T0)f1limI1EJ=e，G（x）T8）求極限。（3）其中x都可以看作整體來(lái)看待。其中第一個(gè)重要極限是“00”型；第二個(gè)重要極限是“18”型，在18型中滿足“外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒”在利用重要極限求函數(shù)極限時(shí)，關(guān)鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限標(biāo)準(zhǔn)型或者是它們的變形式，這就要求要抓住它們的特征，并且能夠根據(jù)它們的特征辨認(rèn)它們的變形。若用到第一個(gè)重要極限來(lái)求極限時(shí)，往往要利用三角形公式對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法化成標(biāo)準(zhǔn)型，所以，要熟練地掌握三角函數(shù)的相關(guān)公式（如倍角、半角公式、兩角和（差）公式、和差化積、積化和差公式等）、如果是用到第二個(gè)重要極限求極限時(shí)，有時(shí)要對(duì)自變量作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，使所求的極限變成這一形式。例5.求limXT0<1+xsinx-cosx

sin2x例5.求limXT0<1+xsinx-cosx

sin2x的極限解：這是0型不定式上式=lim1+xsinx-cos2xxtosin2x(J1+xsinx+cosxsin2x+xsinx=lim——xtosin2x(、；1+xsinx+cosx)=limxt01v1+xsinx+cosxxsinx(C xsinx+cosx)例6：lim(xt01-2x)(1+x)1解：為了利用極限lim(1+x)x=e故把原式括號(hào)內(nèi)式子拆成兩項(xiàng)，使得第一項(xiàng)為1,第二xtO項(xiàng)和括號(hào)外的指數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行配平。1一2x)丄 一3x1lim(-—)2=lim(1+——)xxT0 (1 +x) xT0 1+2=lim1+xtO\1+x—一3x一3X|_3x*x*1+x1+X丿ee一3—3x1+x一3=lim[(1+ —)一3x]1+xxT0 1+x例7：limxT0

1一cosx解：將分母變形后再化成“0/0”型所以1一cosxlimxT0 x22sin2—

lim —xT0x2=lim=limxT02x(2)21、4利用函數(shù)的連續(xù)性因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，所以如果f(x)是初等函數(shù)，且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),則limf(x)二f(x0)。xTx0例8：limarcsin2x例8：xT1 6解：因?yàn)閺?fù)合函數(shù)arcsin是初等函數(shù)，而XT1是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，所以極限值就等于該點(diǎn)處的函數(shù)值.因此2x+1 2x+1limarcsinxTlimarcsinxT166.1兀=arcsin=—26例9：求limlnsinxxT兀lnsin兀x=lnsin-2解：復(fù)合函數(shù)lnsinlnsin兀x=lnsin-2即有l(wèi)imxT2=limsin=ln12=01、5利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。1、1、5利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。1、5、1函數(shù)極限的迫斂性?shī)A逼法則）：若一正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，有x<y<zn nnlimx=limz=a,貝y有l(wèi)imy且 n n nxs xs xs利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從xn的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列｛y｝和n

{z}，使得y<x<z。H n n n例10：求x的極限n解：因?yàn)閤單調(diào)遞減，n所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)1x> +. -1x> +. -+n+=―:n2+nn2+nx<丄+丄+???????+丄?nnn又因?yàn)閘im 二lim 二1xTg +1limx=1nxs單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。定理單調(diào)上升（或單調(diào)下降）有上界（或有下界）的數(shù)列必有極限。利用這一定理來(lái)求極限時(shí)，首先要研究數(shù)列｛xn｝的單調(diào)性和有界性，即證明ItXn的存在性，方li^nx—^a法可用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法；再令n?廣,然后解關(guān)于A的方程，求得A的limx③值，從而得出n*n。例11：證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。y—、ja,y=Ja+fa,y=\a+\：a+%/a, , y—a+\：a+、：aH v'a12 3 n證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來(lái)看yn顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。又因?yàn)?y=,y=a+yn n-1所以得y2—a+yn n-1因?yàn)榍懊孀C明yn是單調(diào)增加的。兩端除以y得nay< +1nyn因?yàn)閥>y=w,1則纟say 'n從而—+1<-ja+1ynJa<y<pa+1n即y是有界的。n根據(jù)定理｛y,有極限，而且極限唯一。令limy—ln

則有l(wèi)imy2則有l(wèi)imy2=lim(y+a)n n-1ns ns所以又因?yàn)榻夥匠痰?=呼1TOC\o"1-5"\h\z1+、■4a+1所以lim打=1= ?—nT8 厶例12：設(shè)x=10,x=.一6+x(n=1,2…,n)。試證數(shù)列｛x｝的極限存在，并求此極限。1 n+1 n n解：由x=10及x=4知x>x。1212設(shè)對(duì)某個(gè)正整數(shù)k有x>x,則有x=,：6+x>、：6+x=xkk+1 k+1 ' kP k+1k+2從而由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切自然數(shù)n,都有x>x,n n+1即數(shù)列｛x｝單調(diào)下降，由已知易見(jiàn)x>0 (n=1,2...)即有下界,nn根據(jù)“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這一定理可知存在。令limx=A對(duì)x=J6+x兩邊取極限，n n+1、 n有A=、?;6+A所以有A2-A-6=0解得A=3，或A=-2。因?yàn)閤n>0(n=1，2-)，所以a>0，舍去a=-2,故jnTmxn=31、6 利用羅必達(dá)法則求未定式的極限定義：若當(dāng)xta(或xts)時(shí)，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于零(或無(wú)窮大)，則極限limxta(xts)/(xlimxta(xts)F(x)可能存在、也可能不存在，通常稱為0型和-型未定式。0s例如：十tanxEli^—,（0型）;XT0 xlnsinax二Insinbx'（f型）定理：設(shè)(1)當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于零；在a點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),f'(x)和F'(x)都存在且F'(x)工0;f(x)imf(x)存在(或無(wú)窮大)，(xTf)則TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"f(x) 廠(x)\o"CurrentDocument"lim =limxTaF(x) xTaF'(x)定義：這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. 0f0羅必達(dá)法則只直接適用于0，f型未定式0*ff-0f型未定式通過(guò)恒等變形可化多0或f型。而00,f0,1s型未定式則通過(guò)取對(duì)數(shù)化多0或f型。因此，在使用羅必達(dá)法則時(shí)每步都要檢查是否符合法則的條件。此外,還應(yīng)注意及時(shí)化簡(jiǎn)算式,把定式部分分離出來(lái)并求出極限,再對(duì)未定式部分使用法則。還應(yīng)注意的是：應(yīng)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。洛必達(dá)法則是計(jì)算不定式極限的重要方法,這種方法用起來(lái)簡(jiǎn)單有力。需注意的是,要看將x0代入式中時(shí)，原式是否為不定式，如果不是,就不能使用此法則;在重復(fù)使用此法則時(shí),必須每步都作檢查,一旦發(fā)現(xiàn)不是不定式,就要停止使用。例13：limx*lnxxtO+lnx ].lnx解：本例屬0*s未定型，因?yàn)閤*lnx二v，所以xT+E是s未定型，應(yīng)用洛必達(dá)法

zx則,得：limx*lnx則,得：xT0+xt0+=lim=lim[=-limx=0xt0+_ xt0+—xt0+例14：limlnx-xnxT0解：limxnInx=limln^=lim-—=lim(- )=0xt解：limxnInx=limln^=lim-—=lim(- )=0xtO -tO -tO" -tOn-n --n+1例15：limSin2---2C0S2--tO-2sin2-解：Hm(血-+-cos-)(sin---cos-)=恤血-+-cos-%limsin---cos--tO-tO - -tO -3cos--cos-+-sin- 2sin- 2=2lim =—lim3-tO--tO1、7用泰勒展式來(lái)求極限用此法必須熟記基本初等函數(shù)的展開(kāi)式,它將原來(lái)函數(shù)求極限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多項(xiàng)式或有理分式的極限問(wèn)題。對(duì)于和或差中的項(xiàng)不能用其等價(jià)無(wú)窮小代替的情形,有時(shí)可用項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng),使運(yùn)算十分簡(jiǎn)便。例16：cos--e-2lim-tO -4解：因?yàn)閏os-=1-+蘭+0(-4)4!=e-弓=1-蘭+丄*蘭+0(-4)

2! 2!4!所以cos--elim-cos--elim-tO -41例17：lim[-一-2ln(1+ )]-1-T+8f 一右-4+o(-4) 1\o"CurrentDocument"=lim =--to -4 12解：因?yàn)楫?dāng)-t+8時(shí)， >0所以-ln(1+丄)=----丄*(丄)2+O((丄)2) (-T+8)2--從而11—2ln(1+)=——+o(1) ——t+8于是lim[x-x-(1+—)]二lim[—+o(l)]=-xT+g x xT+g— —注意：如果該題利用其他方法就不太好做了。1、8 利用定積分求極限由于定積分是一個(gè)有特殊結(jié)構(gòu)和式的極限，這樣又可利用定積分的值求出某一和數(shù)的極限.若要利用定積分求極限，其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一特殊結(jié)構(gòu)的和式。凡每一項(xiàng)可提1/n,而余下的項(xiàng)可用通式寫(xiě)成n項(xiàng)之和的形式的表達(dá)式,一般可用定積分的定義去求。利用定積分可求如下二種形式的極限:1 2 nf(—)+f(—)+???+f(-)A:lim- - J型xT8 —定理：設(shè)f(x)在［0,1］上可積，則有——-

f(-)+f(-)+...+f(-)lim- - J=I—f(x)dxxTg — 0例18例18：求極限limxTg——++--解：令f(x解：令f(x)=x，f(x)在［0,1］上可積?！?+—+...+

lim -xTg -=11xdx=—0—I1 cB:豊-f(-)+f(-)+...+f(-)型定理：若定理：若f(x)在［0,1］上可積,則limxTglimxTgf()+f()+...+f(-)=epx[i—lnf(x)dx]---0例19例19：求lim解：lim—=lim-—*—**—xTg— xTg\——令f(x)=x側(cè)有:

^[~n\lim"…^[~n\lim"… 二lim—丄**xT8 — xT8——*—=epx卩1lnxdX]=e-1n o1、9利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限④我們知道在某一過(guò)程中為無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量;有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積,仍是無(wú)窮小量。利用這兩個(gè)定理可以求出某些函數(shù)的極限。例20：lim4x_7一xT1x2—3x+2解：當(dāng)xT1時(shí)分母的極限為0,而分子的極限不為0,可先求出所給函數(shù)的倒數(shù)是無(wú)窮大量：lim4xlim4x-7xT1x2利用無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量1—3+2c=0—3x+2 4—74x—7故lim =8xt1x2—3x+21x2sin-例21：極限lim xxT0sinx解：limxT解：limxT=limxT01x2sin 0sinxx1*x*sin—sinx x因?yàn)楫?dāng)xT0時(shí),x為無(wú)窮小量,因?yàn)楫?dāng)xT0時(shí),x為無(wú)窮小量,xT0sinx1sin為有界量x1故limx*sin=0；xTo x所以原式=0。.1xsin—例22:求極限lim.xxT8v1+x311解：因?yàn)閟in1<1所以sin1是有界函數(shù)故x-在xT8時(shí)是無(wú)窮小量。.I-VO利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無(wú)窮小量。所以xsin1limxlimxTgxv'1+x31、10 利用等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)的極限時(shí)，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用，若以和、差形式出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榻?jīng)此代換后，往往會(huì)改變無(wú)窮小之比的階數(shù)，故此慎用為好。常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小量（xt0）sinx?tanx?ln（1+x）~ex一1~arcsinx?arctanx?x等價(jià)無(wú)窮小有重要性質(zhì)?R' B B'設(shè)a?a',R?R'且lim—存在，則lim—=lim—，這個(gè)性質(zhì)表明,求兩個(gè)無(wú)窮小量之比CX C— （—的極限時(shí),分子,分母均可用等價(jià)無(wú)窮小量之比的極限時(shí),分子,分母均可用等價(jià)無(wú)窮小量代替,從而使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。⑤例23:極限limtg3xxT0sin5xlimtg3xxT0sin5x2sinx一sin2x例21:求極限limlimtg3xxT0sin5x2sinx一sin2x例21:求極限limxT0x32sinx一sin2x解：lim2(1-cosx)x22(1-cosx)x2sinxlim *x2=lim1* =1xT0 x2錯(cuò)誤的解法是：恤如xsin2x=血生丄=0（錯(cuò)在對(duì)加減中的某一項(xiàng)進(jìn)行了等xT0 x3 xT0 x3=xT0價(jià)無(wú)窮小代換）1、11利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限⑥給出一數(shù)列un，對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)￡u若能判定此級(jí)數(shù)收斂，則必有［TgUn二0。由于nn nTgn=1

判別級(jí)數(shù)收斂的方法較多,因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。例24:求極限lima(a—1幾(a—n+1)判別級(jí)數(shù)收斂的方法較多,因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。例24:求極限lima(a—1幾(a—n+1)xn,xe(-1,1)nis n!解：設(shè)級(jí)數(shù)￡n=0a(a—1)???(a—n+1) Xn

n!其中una(a—1)???(a—n+1) Xn

n!a(a—1)??(a—n+1)(a—n)(n+1)!xn+1lim=limnisnis由達(dá)朗貝爾判別法知級(jí)數(shù)收斂，再由級(jí)數(shù)收斂的必要條件limu=0可知：nisa(a—1)???(a—n+1)lim x=0,xe(—1,1)nisn!例25:求極限lim2"*n!nn解：設(shè)u=lim乂nn由比值審斂法：lim2佇+1is級(jí)數(shù)￡s解：設(shè)u=lim乂nn由比值審斂法：lim2佇+1is級(jí)數(shù)￡s為2n項(xiàng)級(jí)數(shù)。lim2n+1*(n+1)!*(n+1)!nn2n=lim2(=lim2*(1+丄)nn<1￡s￡s收斂,nn2n*n!lim =01、12利用極限定義驗(yàn)證極限用極限定義驗(yàn)證極限，是極限問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)。做這類題目的關(guān)鍵是對(duì)任意給定的正數(shù)e，如何找出定義中所說(shuō)的N或“確實(shí)存在。這實(shí)際上是利用逆推的方法論證問(wèn)題，可以培養(yǎng)逆向思維能力。例26例26：證明""空=1n(a>0)證：由于a2<n(i：'n2+a2+n)對(duì)于ve>0要使■\/n2+a2n只要使2a2<￡，2n2n>/

2e則當(dāng)n>N時(shí),就有成立,

就有例27:lim 二1nT+8n5—n3+1證：任給￡>0，要找N，使n>N時(shí)，有一1<￡?n5一n3+1顯然，當(dāng)n較大時(shí)，如n>2，有n5(1-—+丄)n2n5因此要使<因此要使<￡成立,當(dāng)n>=2時(shí)，只要n2當(dāng)n>=2時(shí)，只要n2>—或n> 43s 3s。|4這樣一來(lái)，取N二max(2,[—])，則當(dāng)n>N時(shí),3s則有n>2及n>：'±,■ 3s因此上述各式成立。證畢。例28：求函數(shù)f(x)=在x例28：求函數(shù)f(x)=解：x+1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"limf(x)二lim(1+ -)二2xT—1+ xT—1+ x+1 ,limf(x)二lim(1+—(x+1))二0,xT—1+ xT—1— x+1因?yàn)閘imf(x)豐limf(x)xT—1+ xT—1— ，所以f(x)在x=-1處的極限不存在。利用該方法就極限時(shí)，只有當(dāng)左右極限存在且相等是才能說(shuō)明極限是存在的注：本例是limf(x)=alimf(x)=limf(x)=a的直接應(yīng)用。xTx0 xTx0+ xTx0—1、14 利用微分中值定理和積分中值定理求極限例29：2x—2例29：lim——xT0 x3x—x—sinx2x—2sinx2x—2sinxx3 x—sinxx32x—2sinx由微分中值定理_x—snx=2eln2(e介于x與sinx之間)原式=limxT0原式=limxT02x—2sinxx—sinx*limxT