求極限的方法總結(jié)

學號：0學年論文求極限的方法總結(jié)MethodofLimit學院理學院專業(yè)—班級學生 指導教師（職稱） 完成時間_年_月—日至—年_月_日摘要極限的概念是高等數(shù)學中最重要、最基本的概念之一。許多重要的概念如連續(xù)、導數(shù)、定積分、無窮級數(shù)的和及廣義積分等都是用極限來定義的。因此掌握好求極限的方法對學好高等數(shù)學是十分重要的。但求極限的方法因題而異，變化多端，有時甚至感到變幻莫測無從下手，通過通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。本文主要對了數(shù)學分析中求極限的方法進行一定的總結(jié)，以供參考。關(guān)鍵詞：極限洛必達法則泰勒展開式定積分無窮小量微分中值定理AbstractTheconceptoflimitisthemostimportantmathematics,oneofthemostbasicimportantconceptssuchascontinuity,derivative,definiteintegral,infiniteseriesandgeneralizedintegralsandaredefinedbythematerthemethodstheLimitlearnmathematicsintegralsandaredefinedbythelimitvariesby廿tle,varied,anfsometimesevenimpossibletostartveryunpredictable,andsummarizedthroughtheadoption,wesetouttherequirementsofsomecommonlyusedthispaper,themathematicalanalysisofthemethodofseekingacertainlimitasummaryforreferenee.Keyword:LimitHospital'sRuleTaylorexpansionDefiniteintegralInfinitesimalMeanValueTheorem引言極限時分析數(shù)學中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻中有記載。例如：3世紀中國數(shù)學家劉微的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長的極限時圓周長這一個思想來近似地計算圓周率的。隨著微積分學的誕生，極限作為數(shù)學中的一個概念也就明確提出。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數(shù)學界引起了不少爭論甚至懷疑。知道19世紀，由A.—L.柯西、K.(.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認。數(shù)學分析中的基本概念得表述都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x二X。處倒數(shù)的定義，定積分的定義，偏導數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義等都是用極限來定義的。極限時研究數(shù)學分析的基本工具。極限時貫穿數(shù)學分析的一條主線。學好極限要學會歸納和掌握求極限的方法。本文主要是對求極限的方法進行了歸納和總結(jié)。第一章1、1利用極限的四則運算法則和簡單技巧極限四則元素法則的條件是充分而非必要的，因此，用極限四則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一驗證它是否滿足極限四則運算的法則條件，如果滿足條件，才能利用極限的四則運算法則進行計算；不滿足條件的就不能直接利用極限四則運算法則求解。但是，并非所有不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限，而是需要將函數(shù)進行恒等變形，使其符合條件候再利用四則運算法則求解，而對函數(shù)進行恒等變形時，通常運用一些簡單技巧比如拆項，分子分母乘以某一因子，變量代換，分子分母有理化等等方法即可進行恒等變換，以便于我們計算。極限的四則運算法則敘述如下：定理1.1：如果limf(x)=A,limg(x)=BTOC\o"1-5"\h\zx-xo x-xo1)lim[f(x)土g(x)]=limf(x)土limg(x)=A±B1)f f f2)limf(x)?g(x)]=limf(x)-limg(x)=A?B2)x-xo f f\o"CurrentDocument"f(x)limf(x) A\o"CurrentDocument"若BhO貝V：lim =寧75 =—xtx° BxTxolimc-f(x)=c-limf(x)=cAxTxo f5)lim[f(x)]n二limf(x)二An(n為自然數(shù))5)X-X0x-x x-X-X0上述性質(zhì)對于xfg,xT+8,xT—g也同樣成立①由上述的性質(zhì)和公式我們可以看書函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例1.求lim三空的極限xT2x—3解：由定理中的第三式可以知道+5)lim+5)limxT2—3-隘(x-3)xT2limx2+lim5=x>2 xt2—limx+lim3xT2 xT22222+5=2—3以后遇到類似題目，可以分別求子分母的極限，得到的分式就是結(jié)果例2.例2.求lim空土2的極限xT3x—3解：分子分母同時乘以HE+2x+1_2 (x+1—2)(x+1+2)=limxT3 x—3 xT3lim丄—=lim=limxT3 x—3 xT34式子經(jīng)過化簡后就能得到一個只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可例3.111已知"n=14式子經(jīng)過化簡后就能得到一個只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可例3.111已知"n=1^2+2^3+ +(n—1)xn，求limxnn>g解：觀察存_21=1_1 1 =1_12x323(n—1)xn(n-1)n111因此得到丁嵐+歷+……+(^^1111=1—+———+?2 233=1—1n所以limx所以limxnnTg=lim(1-丄nTg\ n丿=11、2 利用導數(shù)的定義求極限導數(shù)的定義：函數(shù)f(X)在x附近有定義，VAX，則0Ay=f(x+Ax)-f(x)o o如果Axlim乞=lim山+Ax)-f(xAxAxT0AxAxT0存在，則此極限值就稱函數(shù)f(x)在點xo的導數(shù)記為廣(xo)。f'(x)=limf(xo+心)-f(xo)° AxtO Ax在這種方法的運用過程中，首先要選好f(x)。然后把所求極限都表示稱f(x)在定點x0的導數(shù)。例4.求lim(的導數(shù)。例4.求lim(x-2).ctg2x的極限解：lim(x-2)?ctg2x=1lim竺xTxx—-22lim■xxT21廠tg2x—tg2 兀x—2=limxTx2

1、3利用兩個重要極限公式求極限兩個極限公式:(1)十sinx4(1)十sinx4lim二1，xtO x(2)limfl+-'x丿但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(2)(1)lim=1(2)(1)lim=1，G(X)T0)f1limI1EJ=e，G（x）T8）求極限。（3）其中x都可以看作整體來看待。其中第一個重要極限是“00”型；第二個重要極限是“18”型，在18型中滿足“外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒”在利用重要極限求函數(shù)極限時，關(guān)鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限標準型或者是它們的變形式，這就要求要抓住它們的特征，并且能夠根據(jù)它們的特征辨認它們的變形。若用到第一個重要極限來求極限時，往往要利用三角形公式對變量進行變形，設(shè)法化成標準型，所以，要熟練地掌握三角函數(shù)的相關(guān)公式（如倍角、半角公式、兩角和（差）公式、和差化積、積化和差公式等）、如果是用到第二個重要極限求極限時，有時要對自變量作適當?shù)拇鷵Q，使所求的極限變成這一形式。例5.求limXT0<1+xsinx-cosx

sin2x例5.求limXT0<1+xsinx-cosx

sin2x的極限解：這是0型不定式上式=lim1+xsinx-cos2xxtosin2x(J1+xsinx+cosxsin2x+xsinx=lim——xtosin2x(、；1+xsinx+cosx)=limxt01v1+xsinx+cosxxsinx(C xsinx+cosx)例6：lim(xt01-2x)(1+x)1解：為了利用極限lim(1+x)x=e故把原式括號內(nèi)式子拆成兩項，使得第一項為1,第二xtO項和括號外的指數(shù)互為倒數(shù)進行配平。1一2x)丄 一3x1lim(-—)2=lim(1+——)xxT0 (1 +x) xT0 1+2=lim1+xtO\1+x—一3x一3X|_3x*x*1+x1+X丿ee一3—3x1+x一3=lim[(1+ —)一3x]1+xxT0 1+x例7：limxT0

1一cosx解：將分母變形后再化成“0/0”型所以1一cosxlimxT0 x22sin2—

lim —xT0x2=lim=limxT02x(2)21、4利用函數(shù)的連續(xù)性因為一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，所以如果f(x)是初等函數(shù)，且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點,則limf(x)二f(x0)。xTx0例8：limarcsin2x例8：xT1 6解：因為復合函數(shù)arcsin是初等函數(shù)，而XT1是其定義區(qū)間內(nèi)的點，所以極限值就等于該點處的函數(shù)值.因此2x+1 2x+1limarcsinxTlimarcsinxT166.1兀=arcsin=—26例9：求limlnsinxxT兀lnsin兀x=lnsin-2解：復合函數(shù)lnsinlnsin兀x=lnsin-2即有l(wèi)imxT2=limsin=ln12=01、5利用兩個準則求極限。1、1、5利用兩個準則求極限。1、5、1函數(shù)極限的迫斂性夾逼法則）：若一正整數(shù)N,當n>N時，有x<y<zn nnlimx=limz=a,貝y有l(wèi)imy且 n n nxs xs xs利用夾逼準則求極限關(guān)鍵在于從xn的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列｛y｝和n

{z}，使得y<x<z。H n n n例10：求x的極限n解：因為x單調(diào)遞減，n所以存在最大項和最小項1x> +. -1x> +. -+n+=―:n2+nn2+nx<丄+丄+???????+丄?nnn又因為lim 二lim 二1xTg +1limx=1nxs單調(diào)有界準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。利用單調(diào)有界準則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。定理單調(diào)上升（或單調(diào)下降）有上界（或有下界）的數(shù)列必有極限。利用這一定理來求極限時，首先要研究數(shù)列｛xn｝的單調(diào)性和有界性，即證明ItXn的存在性，方li^nx—^a法可用數(shù)學歸納法或不等式的放縮法；再令n?廣,然后解關(guān)于A的方程，求得A的limx③值，從而得出n*n。例11：證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。y—、ja,y=Ja+fa,y=\a+\：a+%/a, , y—a+\：a+、：aH v'a12 3 n證明：從這個數(shù)列構(gòu)造來看yn顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。又因為,y=,y=a+yn n-1所以得y2—a+yn n-1因為前面證明yn是單調(diào)增加的。兩端除以y得nay< +1nyn因為y>y=w,1則纟say 'n從而—+1<-ja+1ynJa<y<pa+1n即y是有界的。n根據(jù)定理｛y,有極限，而且極限唯一。令limy—ln

則有l(wèi)imy2則有l(wèi)imy2=lim(y+a)n n-1ns ns所以又因為解方程得1=呼1TOC\o"1-5"\h\z1+、■4a+1所以lim打=1= ?—nT8 厶例12：設(shè)x=10,x=.一6+x(n=1,2…,n)。試證數(shù)列｛x｝的極限存在，并求此極限。1 n+1 n n解：由x=10及x=4知x>x。1212設(shè)對某個正整數(shù)k有x>x,則有x=,：6+x>、：6+x=xkk+1 k+1 ' kP k+1k+2從而由數(shù)學歸納法可知，對一切自然數(shù)n,都有x>x,n n+1即數(shù)列｛x｝單調(diào)下降，由已知易見x>0 (n=1,2...)即有下界,nn根據(jù)“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這一定理可知存在。令limx=A對x=J6+x兩邊取極限，n n+1、 n有A=、?;6+A所以有A2-A-6=0解得A=3，或A=-2。因為xn>0(n=1，2-)，所以a>0，舍去a=-2,故jnTmxn=31、6 利用羅必達法則求未定式的極限定義：若當xta(或xts)時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于零(或無窮大)，則極限limxta(xts)/(xlimxta(xts)F(x)可能存在、也可能不存在，通常稱為0型和-型未定式。0s例如：十tanxEli^—,（0型）;XT0 xlnsinax二Insinbx'（f型）定理：設(shè)(1)當x 時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于零；在a點的某去心鄰域內(nèi),f'(x)和F'(x)都存在且F'(x)工0;f(x)imf(x)存在(或無窮大)，(xTf)則TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"f(x) 廠(x)\o"CurrentDocument"lim =limxTaF(x) xTaF'(x)定義：這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. 0f0羅必達法則只直接適用于0，f型未定式0*ff-0f型未定式通過恒等變形可化多0或f型。而00,f0,1s型未定式則通過取對數(shù)化多0或f型。因此，在使用羅必達法則時每步都要檢查是否符合法則的條件。此外,還應(yīng)注意及時化簡算式,把定式部分分離出來并求出極限,再對未定式部分使用法則。還應(yīng)注意的是：應(yīng)對分子分母分別求導，而不是對整個分式求導。洛必達法則是計算不定式極限的重要方法,這種方法用起來簡單有力。需注意的是,要看將x0代入式中時，原式是否為不定式，如果不是,就不能使用此法則;在重復使用此法則時,必須每步都作檢查,一旦發(fā)現(xiàn)不是不定式,就要停止使用。例13：limx*lnxxtO+lnx ].lnx解：本例屬0*s未定型，因為x*lnx二v，所以xT+E是s未定型，應(yīng)用洛必達法

zx則,得：limx*lnx則,得：xT0+xt0+=lim=lim[=-limx=0xt0+_ xt0+—xt0+例14：limlnx-xnxT0解：limxnInx=limln^=lim-—=lim(- )=0xt解：limxnInx=limln^=lim-—=lim(- )=0xtO -tO -tO" -tOn-n --n+1例15：limSin2---2C0S2--tO-2sin2-解：Hm(血-+-cos-)(sin---cos-)=恤血-+-cos-%limsin---cos--tO-tO - -tO -3cos--cos-+-sin- 2sin- 2=2lim =—lim3-tO--tO1、7用泰勒展式來求極限用此法必須熟記基本初等函數(shù)的展開式,它將原來函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為求多項式或有理分式的極限問題。對于和或差中的項不能用其等價無窮小代替的情形,有時可用項的泰勒展開式來代替該項,使運算十分簡便。例16：cos--e-2lim-tO -4解：因為cos-=1-+蘭+0(-4)4!=e-弓=1-蘭+丄*蘭+0(-4)

2! 2!4!所以cos--elim-cos--elim-tO -41例17：lim[-一-2ln(1+ )]-1-T+8f 一右-4+o(-4) 1\o"CurrentDocument"=lim =--to -4 12解：因為當-t+8時， >0所以-ln(1+丄)=----丄*(丄)2+O((丄)2) (-T+8)2--從而11—2ln(1+)=——+o(1) ——t+8于是lim[x-x-(1+—)]二lim[—+o(l)]=-xT+g x xT+g— —注意：如果該題利用其他方法就不太好做了。1、8 利用定積分求極限由于定積分是一個有特殊結(jié)構(gòu)和式的極限，這樣又可利用定積分的值求出某一和數(shù)的極限.若要利用定積分求極限，其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一特殊結(jié)構(gòu)的和式。凡每一項可提1/n,而余下的項可用通式寫成n項之和的形式的表達式,一般可用定積分的定義去求。利用定積分可求如下二種形式的極限:1 2 nf(—)+f(—)+???+f(-)A:lim- - J型xT8 —定理：設(shè)f(x)在［0,1］上可積，則有——-

f(-)+f(-)+...+f(-)lim- - J=I—f(x)dxxTg — 0例18例18：求極限limxTg——++--解：令f(x解：令f(x)=x，f(x)在［0,1］上可積。——-+—+...+

lim -xTg -=11xdx=—0—I1 cB:豊-f(-)+f(-)+...+f(-)型定理：若定理：若f(x)在［0,1］上可積,則limxTglimxTgf()+f()+...+f(-)=epx[i—lnf(x)dx]---0例19例19：求lim解：lim—=lim-—*—**—xTg— xTg\——令f(x)=x側(cè)有:

^[~n\lim"…^[~n\lim"… 二lim—丄**xT8 — xT8——*—=epx卩1lnxdX]=e-1n o1、9利用無窮小的性質(zhì)求極限④我們知道在某一過程中為無窮大量的倒數(shù)是無窮小量;有界函數(shù)與無窮小量的乘積,仍是無窮小量。利用這兩個定理可以求出某些函數(shù)的極限。例20：lim4x_7一xT1x2—3x+2解：當xT1時分母的極限為0,而分子的極限不為0,可先求出所給函數(shù)的倒數(shù)是無窮大量：lim4xlim4x-7xT1x2利用無窮小量的倒數(shù)是無窮大量1—3+2c=0—3x+2 4—74x—7故lim =8xt1x2—3x+21x2sin-例21：極限lim xxT0sinx解：limxT解：limxT=limxT01x2sin 0sinxx1*x*sin—sinx x因為當xT0時,x為無窮小量,因為當xT0時,x為無窮小量,xT0sinx1sin為有界量x1故limx*sin=0；xTo x所以原式=0。.1xsin—例22:求極限lim.xxT8v1+x311解：因為sin1<1所以sin1是有界函數(shù)故x-在xT8時是無窮小量。.I-VO利用無窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無窮小量。所以xsin1limxlimxTgxv'1+x31、10 利用等價無窮小的代換求極限利用等價無窮小代換求函數(shù)的極限時，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時使用，若以和、差形式出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為經(jīng)此代換后，往往會改變無窮小之比的階數(shù)，故此慎用為好。常見等價無窮小量（xt0）sinx?tanx?ln（1+x）~ex一1~arcsinx?arctanx?x等價無窮小有重要性質(zhì)?R' B B'設(shè)a?a',R?R'且lim—存在，則lim—=lim—，這個性質(zhì)表明,求兩個無窮小量之比CX C— （—的極限時,分子,分母均可用等價無窮小量之比的極限時,分子,分母均可用等價無窮小量代替,從而使計算大大簡化。⑤例23:極限limtg3xxT0sin5xlimtg3xxT0sin5x2sinx一sin2x例21:求極限limlimtg3xxT0sin5x2sinx一sin2x例21:求極限limxT0x32sinx一sin2x解：lim2(1-cosx)x22(1-cosx)x2sinxlim *x2=lim1* =1xT0 x2錯誤的解法是：恤如xsin2x=血生丄=0（錯在對加減中的某一項進行了等xT0 x3 xT0 x3=xT0價無窮小代換）1、11利用級數(shù)收斂的必要條件求極限⑥給出一數(shù)列un，對應(yīng)一個級數(shù)￡u若能判定此級數(shù)收斂，則必有［TgUn二0。由于nn nTgn=1

判別級數(shù)收斂的方法較多,因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。例24:求極限lima(a—1幾(a—n+1)判別級數(shù)收斂的方法較多,因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。例24:求極限lima(a—1幾(a—n+1)xn,xe(-1,1)nis n!解：設(shè)級數(shù)￡n=0a(a—1)???(a—n+1) Xn

n!其中una(a—1)???(a—n+1) Xn

n!a(a—1)??(a—n+1)(a—n)(n+1)!xn+1lim=limnisnis由達朗貝爾判別法知級數(shù)收斂，再由級數(shù)收斂的必要條件limu=0可知：nisa(a—1)???(a—n+1)lim x=0,xe(—1,1)nisn!例25:求極限lim2"*n!nn解：設(shè)u=lim乂nn由比值審斂法：lim2佇+1is級數(shù)￡s解：設(shè)u=lim乂nn由比值審斂法：lim2佇+1is級數(shù)￡s為2n項級數(shù)。lim2n+1*(n+1)!*(n+1)!nn2n=lim2(=lim2*(1+丄)nn<1￡s￡s收斂,nn2n*n!lim =01、12利用極限定義驗證極限用極限定義驗證極限，是極限問題的一個難點。做這類題目的關(guān)鍵是對任意給定的正數(shù)e，如何找出定義中所說的N或“確實存在。這實際上是利用逆推的方法論證問題，可以培養(yǎng)逆向思維能力。例26例26：證明""空=1n(a>0)證：由于a2<n(i：'n2+a2+n)對于ve>0要使■\/n2+a2n只要使2a2<￡，2n2n>/

2e則當n>N時,就有成立,

就有例27:lim 二1nT+8n5—n3+1證：任給￡>0，要找N，使n>N時，有一1<￡?n5一n3+1顯然，當n較大時，如n>2，有n5(1-—+丄)n2n5因此要使<因此要使<￡成立,當n>=2時，只要n2當n>=2時，只要n2>—或n> 43s 3s。|4這樣一來，取N二max(2,[—])，則當n>N時,3s則有n>2及n>：'±,■ 3s因此上述各式成立。證畢。例28：求函數(shù)f(x)=在x例28：求函數(shù)f(x)=解：x+1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"limf(x)二lim(1+ -)二2xT—1+ xT—1+ x+1 ,limf(x)二lim(1+—(x+1))二0,xT—1+ xT—1— x+1因為limf(x)豐limf(x)xT—1+ xT—1— ，所以f(x)在x=-1處的極限不存在。利用該方法就極限時，只有當左右極限存在且相等是才能說明極限是存在的注：本例是limf(x)=alimf(x)=limf(x)=a的直接應(yīng)用。xTx0 xTx0+ xTx0—1、14 利用微分中值定理和積分中值定理求極限例29：2x—2例29：lim——xT0 x3x—x—sinx2x—2sinx2x—2sinxx3 x—sinxx32x—2sinx由微分中值定理_x—snx=2eln2(e介于x與sinx之間)原式=limxT0原式=limxT02x—2sinxx—sinx*limxT