二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)及例題

八年級(jí)數(shù)學(xué)上知識(shí)改變命運(yùn)創(chuàng)造未來(lái)Page1Page1【教學(xué)標(biāo)題】二元一次方程及方程組【教學(xué)目標(biāo)】認(rèn)識(shí)二元一次方程及方程組掌握二元一次方程組相關(guān)知識(shí)了解學(xué)習(xí)三元一次方程【重點(diǎn)難點(diǎn)】二元一次和三元一次方程組的應(yīng)用【教學(xué)內(nèi)容】二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)歸納、解題技巧匯總、練習(xí)題1、把兩個(gè)一次方程聯(lián)立在一起，那么這兩個(gè)方程就組成了一個(gè)二元一次方程組。有幾個(gè)方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。2、二元一次方程定義：一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程經(jīng)典例題解析例1、若方程是關(guān)于的二元一次方程，求、的值.解：∵方程是關(guān)于的二元一次方程∴解得例2、將方程變形，用含有的代數(shù)式表示.解:去括號(hào)得，移項(xiàng)得，合并同類(lèi)項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，例3、方程在正整數(shù)范圍內(nèi)有哪幾組解？解：有三組解，分別是例4、若是方程組的解，求的值.解：∵是方程組的解∴解得例5、已知是關(guān)于的二元一次方程，求的值.解：∵是關(guān)于的二元一次方程∴解得∴（變式訓(xùn)練）已知是關(guān)于的二元一次方程，當(dāng)時(shí)，求的值.知識(shí)點(diǎn)1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（）.2、若是關(guān)于的二元一次方程的一個(gè)（組）解，則的值為（）3、對(duì)于二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，下列四組值不是該方程的解的一組是（）4、二元一次方程在正整數(shù)范圍內(nèi)的解有（）.無(wú)數(shù)個(gè)兩個(gè)三個(gè)四個(gè)5、若是二元一次方程，則.6、關(guān)于的方程當(dāng)時(shí)，是一元一次方程；當(dāng)時(shí)，是二元一次方程.7、已知在方程中，若用含有的代數(shù)式表示，則，用含有的代數(shù)式表示，則8、若，則9、已知，則10、在二元一次方程中，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.3、二元一次方程組定義：兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫二元一次方程組。4、二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。5、二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)公共解，叫做二元一次方程組的解。一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。消元的方法有兩種：代入消元法例：解方程組x+y=5……①6x+13y=89……②解：由①得:x=5-y……③把③帶入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7帶入③，x=5-59/7即x=-24/7x=-24/7y=59/7加減消元法例：解方程組x+y=9……①x-y=5……②解：①+②2x=14即x=7把x=7帶入①得7+y=9解得y=-2x=7y=-2二元一次方程組的解有三種情況：1.有一組解如方程組x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7為方程組的解2.有無(wú)數(shù)組解如方程組x+y=6①2x+2y=12②因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程(亦稱(chēng)作“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”)，所以此類(lèi)方程組有無(wú)數(shù)組解。3.無(wú)解如方程組x+y=4①2x+2y=10②，因?yàn)榉匠挞诨?jiǎn)后為x+y=5這與方程①相矛盾，所以此類(lèi)方程組無(wú)解。

注意：用加減法或者用代入消元法解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意用哪種方法簡(jiǎn)單,避免計(jì)算麻煩或?qū)е掠?jì)算錯(cuò)誤。

教科書(shū)中沒(méi)有的幾種解法

(一)加減-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1x=1y=2特點(diǎn):兩方程相加減,單個(gè)x或單個(gè)y,這樣就適用接下來(lái)的代入消元.(二)換元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫(xiě)為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6x=1y-4=2y=6特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類(lèi)，換元后可簡(jiǎn)化方程也是主要原因。（三）另類(lèi)換元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可寫(xiě)為：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4

知識(shí)點(diǎn)2：二元一次方程組及其解1、有下列方程組：（1）（2）（3）其中說(shuō)法正確的是只有（１）、（3）是二元一次方程組只有（2）是二元一次方程組只有（3）是二元一次方程組（1）、（２）、（3）都是二元一次方程組2、下列哪組數(shù)是二元一次方程組的解（）3、若方程組有無(wú)數(shù)組解，則、的值分別為（）4、寫(xiě)出一個(gè)以為解的二元一次方程組；寫(xiě)出以為解的一個(gè)二元一次方程.5、已知是二元一次方程組的解，則的值為。6、如果且那么的值是.7、若與是同類(lèi)項(xiàng)，則8、已知是方程組的解，求、的值.9、已知關(guān)于的方程組的解滿(mǎn)足求式子的值.10、小花在家做家庭作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)練習(xí)冊(cè)上一道解方程組的題目被墨水污染，（）表示被污染的內(nèi)容，她著急地翻開(kāi)書(shū)后面的答案，這道題目的解是，聰明的你能夠幫她補(bǔ)上（）的內(nèi)容嗎？二元一次方程組的解

一般地，使二元一次方程組的兩個(gè)方程左、右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。求方程組的解的過(guò)程，叫做解方程組。一般來(lái)說(shuō)，二元一次方程組只有唯一的一個(gè)解。

注意：

二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的！也可以由一個(gè)或多個(gè)二元一次方程單獨(dú)組成?！镏攸c(diǎn)★一元一次，二元一次方程組的解法;方程的有關(guān)應(yīng)用題（特別是行程、工程問(wèn)題）列方程（組）解應(yīng)用題一概述列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：⑴審題。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。⑸解方程及檢驗(yàn)。⑹答案。綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。二常用的相等關(guān)系1．行程問(wèn)題（勻速運(yùn)動(dòng)）基本關(guān)系：s=vt⑴相遇問(wèn)題(同時(shí)出發(fā))：+=;⑵追及問(wèn)題（同時(shí)出發(fā)）：若甲出發(fā)t小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則⑶水中航行：;2．配料問(wèn)題：溶質(zhì)=溶液×濃度溶液=溶質(zhì)+溶劑3．增長(zhǎng)率問(wèn)題：4．工程問(wèn)題：基本關(guān)系：工作量=工作效率×工作時(shí)間（常把工作量看著單位“1”）。5．幾何問(wèn)題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。三注意語(yǔ)言與解析式的互化二元一次方程組是最簡(jiǎn)單的方程組，其應(yīng)用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問(wèn)題，大多需要通過(guò)設(shè)元、布列二元一次方程組來(lái)加以解決，現(xiàn)將常見(jiàn)的幾種題型歸納如下：一、數(shù)字問(wèn)題例1一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程組，得，因此，所求的兩位數(shù)是14．點(diǎn)評(píng)：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對(duì)有些問(wèn)題是無(wú)能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程．一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問(wèn)題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之．二、利潤(rùn)問(wèn)題例2一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤(rùn)涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣(mài)出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程組，解得，因此，此商品定價(jià)為200元．點(diǎn)評(píng)：商品銷(xiāo)售盈利百分?jǐn)?shù)是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言的，不要誤為是相對(duì)于定價(jià)或賣(mài)出價(jià)．利潤(rùn)的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤(rùn)=賣(mài)出價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率（盈利百分?jǐn)?shù)）．特別注意“利潤(rùn)”和“利潤(rùn)率”是不同的兩個(gè)概念．三、配套問(wèn)題例3某廠(chǎng)共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來(lái)的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1．因此，設(shè)安排ｘ人生產(chǎn)螺栓，ｙ人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25ｘ個(gè)，螺母20ｙ個(gè)，依題意，得，解之，得．故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母．點(diǎn)評(píng)：產(chǎn)品配套是工廠(chǎng)生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見(jiàn)的問(wèn)題，解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見(jiàn)的配套問(wèn)題的等量關(guān)系是：（1）“二合一”問(wèn)題：如果ａ件甲產(chǎn)品和ｂ件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的ｂ倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的ａ倍，即；（2）“三合一”問(wèn)題：如果甲產(chǎn)品ａ件，乙產(chǎn)品ｂ件，丙產(chǎn)品ｃ件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的相等關(guān)系式是：．四、行程問(wèn)題例4在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A(yíng)、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車(chē)沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上．問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？【研析】設(shè)巡邏車(chē)、犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度分別為x、y千米/時(shí)，則，整理，得，解得，因此，巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí)．點(diǎn)評(píng)：“相向而遇”和“同向追及”是行程問(wèn)題中最常見(jiàn)的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來(lái)的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們?cè)瓉?lái)的距離；“同向追及”時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們?cè)瓉?lái)的距離．五、貨運(yùn)問(wèn)題典例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少?lài)?？分析：“充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”．設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則，整理，得，解得，因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．點(diǎn)評(píng)：由實(shí)際問(wèn)題列出的方程組一般都可以再化簡(jiǎn)，因此，解實(shí)際問(wèn)題的方程組時(shí)要注意先化簡(jiǎn)，再考慮消元和解法，這樣可以減少計(jì)算量，增加準(zhǔn)確度．化簡(jiǎn)時(shí)一般是去分母或兩邊同時(shí)除以各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)或移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等．六、工程問(wèn)題例6某服裝廠(chǎng)接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠(chǎng)原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶(hù)要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠(chǎng)改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得，解得.點(diǎn)評(píng)：工程問(wèn)題與行程問(wèn)題相類(lèi)似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間×工作效率”以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間”．其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無(wú)關(guān)時(shí)，通常用“1”表示總工作量．【過(guò)手練習(xí)】一、選擇題：1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=2．下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A．3．二元一次方程5a－11b=21（）A．有且只有一解B．有無(wú)數(shù)解C．無(wú)解D．有且只有兩解4．方程y=1－x與3x+2y=5的公共解是（）A．5．若│x－2│+（3y+2）2=0，則x+3y的值是（）A．－1B．0C．－3D．6．方程組的解，x與y的值相等，則k等于（）7．下列各式，屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有（）①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+xA．1B．2C．3D．48．某年級(jí)學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人，則下面所列的方程組中符合題意的有（）A．二、填空題9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代數(shù)式表示y為：y=_______；用含y的代數(shù)式表示x為：x=________．10．在二元一次方程－x+3y=2中，當(dāng)x=4時(shí)，y=_______；當(dāng)y=－1時(shí)，x=______．11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，則m=_____，n=______．12．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，則k=_____．14．二元一次方程x+y=5的正整數(shù)解有______________．15．以為解的一個(gè)二元一次方程是_________．16．已知的解，則m=_______，n=______．三、解答題17．當(dāng)y=－3時(shí)，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（關(guān)于x，y的方程）有相同的解，求a的值．18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a，b滿(mǎn)足什么條件？19．二元一次方程組的解x，y的值相等，求k．20．已知x，y是有理數(shù)，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，則x－y的值是多少？21．已知方程x+3y=5，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二元一次方程，使它與已知方程所組成的方程組的解為．22．根據(jù)題意列出方程組：（1）明明到郵局買(mǎi)0.8元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢(qián)，問(wèn)明明兩種郵票各買(mǎi)了多少枚？（2）將若干只雞放入若干籠中，若每個(gè)籠中放4只，則有一雞無(wú)籠可放；若每個(gè)籠里放5只，則有一籠無(wú)雞可放，問(wèn)有多少只雞，多少個(gè)籠？【拓展訓(xùn)練】選擇題1.解方程組，若要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，消元的方法應(yīng)選取()

（A）先消去x.（B）先消去y.（C）先消去z.（D）以上說(shuō)法都不對(duì).

2.三元一次方程組，消去未知數(shù)后，得到的二元一次方程組是()

（A）.（B）.（C）.（D）.

3.三元一次方程組的解是()

（A）.（B）.（C）.（D）.

4.已知是方程組的解，則，，的值為()

（A）.（B）.（C）.（D）.

5.若方程組的解和的值互為相反數(shù),則的值等于()

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.

6.已知方程組有無(wú)窮多組解,則的值分別為()

(A)．(B)．(C)．(D)可取任意值．

7．己知，，滿(mǎn)足方程組，則()

（A）．（B）．（C）．（D）．

8.若三元一次方程組的解使，則的值是(）

（A）0.（B）.（C）.（D）-8.

9．如果，且，，則()

（A）18.（B）2.（C）0.（D）-2.

10.若，，都是不等于零的數(shù)，且，則()

（A）2.（B）-1.（C）2或-1.（D）不存在.

11.某瓶中裝有1分，2分，5分三種硬幣，15枚硬幣共3角5分，則有多少種裝法()

（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.

12.學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個(gè)，足球數(shù)與排球數(shù)的比是2:3，三種球共41個(gè)，則籃球有多少個(gè)？()

（A）21.（B）12.（C）8.（D）35.

二、填空題13．若是一個(gè)三元一次方程組，則x=______，y=_______，z=_______.

14．已知若用含的一次式表示，則________．

15.解三元一次方程組時(shí)，若先消去，得到關(guān)于，的二元一次方程組是_________；若先消去，得到關(guān)于，的二元一次方程組是________；若先消去，得到關(guān)于，的二元一次方程組是_________.因此比較簡(jiǎn)單的方法是先消去________.

16.已知代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，其值為；當(dāng)時(shí)，其值為3；當(dāng)時(shí)，其值為35.當(dāng)時(shí)，其值是______