2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2同步練習(xí)：第1章知能基礎(chǔ)測(cè)試

第一章知能基礎(chǔ)測(cè)試時(shí)間120分鐘，滿分150分．一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．曲線1．曲線y=2x2—2%在點(diǎn)(1,—2)處的切線的傾斜角為()B．45°DB．45°D．135°a1%+x>=1+3B-(log2%)‘=%in2A．—1C．—45°答案］D解析］y'=x—2,所以斜率上=1—2=—1,所以傾斜角為135°.故選D.2．下列求導(dǎo)運(yùn)算準(zhǔn)確的是()C.(3x)'=3x/og3e D.(x2cos%)′=—2xsinx答案］B解析］(.x+3),=1—V，所以A不準(zhǔn)確；xx(3x),=3xln3,所以C不準(zhǔn)確；(x2cos%),=2xcosx+x2^(—sinx),所以D不準(zhǔn)確；(log2x)=白，所以B對(duì).故選B.xn2.如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0),則導(dǎo)函數(shù)y=S,(t)的圖像大致為()答案］A解析］由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增一減一增一減，其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù)，故選A..已知函數(shù)fx)=2x4—2x3+3m,x￡R,若f(x)+9三0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()乙

m>2m<2c 3m<2答案］A解析］因?yàn)楹瘮?shù)fm>2m<2c 3m<2答案］A解析］因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x4—2x3+3m，所以f(x)=2x3—6x2.令f(x)=0,得x=0或x=3.27經(jīng)檢驗(yàn)知x=3是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值點(diǎn)為f(3)=3m—7.不等式f(x)+9三0恒成立,27 3即f(x)三一9恒成立，所以3m—~2三一9,解得m三2.5.直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為2V2C.2答案］D解析］如圖所示4爽D.4y=4x,J=x3.解得x=2〈J=8x=—2,〈卜=一8....第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8)x4由定積分的幾何意義得S=/2(4x—x3)dx=(2x2—-4)l2=8—4=4.0.已知f(x)=xInx，若f(x0)=2,則x0=()A.e2 B.eCln2D.ln2D.ln2答案］B解析］f(x)的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=lnx+1,由f(x。)=2,得Inx0+1=2,解得xo=e..(2019?會(huì)寧縣期中)曲線f(x)=x3+x-2的一條切線平行于直線尸4x—1,則切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為()A.(0,—1)或(1,0) B.(1,0)或(一1,—4)C.(―1,—4)或(0,—2) D.(1,0)或(2,8)答案］B解析］由y=%3+%—2,得y'=3%2+1,由已知得3%2+1=4,解之得%=±1.當(dāng)%=1時(shí)，y=0；當(dāng)%=—1時(shí)，y=—4.，切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0)或(一1,—4)..函數(shù)f%)=%3—2%+3的圖象在%=1處的切線與圓％2+y2=()A.相切 B.相交且過(guò)圓心C.相交但不過(guò)圓心 D.相離答案］C解析］切線方程為y—2=%―1,即%—y+1=0.圓心到直線的距離為主=羋<2啦，所以直線與圓相交但不過(guò)圓心.故選C..f(%)是f%)的導(dǎo)函數(shù)，f(%)的圖象如圖所示，則f%)的圖象可能是()答案］D解析］由圖可知，當(dāng)b>%>a時(shí)，f(%)>0,故在a,b］上，f%)為增函數(shù).且又由圖知f(%)在區(qū)間a,b］上先增大后減小，即曲線上每一點(diǎn)處切線的斜率先增大再減小，故選D..曲線y=e2%在點(diǎn)(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()9A.2e2 B.4e2C.2e2 D.e2答案］D

解析］,「yy=1e2,，在點(diǎn)(4,e2)處的切線方程為y=2e2x—e2,令x=0得y=—e2,令y=0得x=2,...圍成三角形的面積為e2.故選D..(2019?全國(guó)I理，7)函數(shù)y=2x2-exi在一2,2］的圖象大致為()答案］D解析］由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞減，排除A,B；當(dāng)0<x<x1時(shí)，f‘(x)>0,函數(shù)f(x)遞增.所以，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得極小值，故選D..(2019?甘肅省會(huì)寧一中高二期中)對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(。，b)和(如d，規(guī)定：(a,b尸(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d；運(yùn)算“③”為：(a,b)?(c,d)=(ac—bd,bc+ad)；運(yùn)算“十”為：(a,b。十(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q￡R,若(1,2)%,q)=(5,0),則(1,2)十(p,q)=()A．(4,0)A．(4,0)B.(2,0)C.(0,2)C.(0,2)答案］B解析］由(1,2)十(p,q)=(5,0)得D.(0，一4)［p［p—2q=5今

2p+q=0,p=1q=—2所以(1,2)十(p,q)=(1,2)十(1,—2)=(2,0).共16分．將準(zhǔn)確答案填在題中橫線上)當(dāng)x<0時(shí)，共16分．將準(zhǔn)確答案填在題中橫線上)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ln(—x)+3x，則曲線y=.(2019?全國(guó)卷m理，15)已知f(x)為偶函數(shù)，f(x)在點(diǎn)(1,一3)處的切線方程是 .答案］y=-2x—1解析］由題意可得當(dāng)x>0時(shí)，f(x尸lnx—3x,則f(x尸1—3,f,(1)=—2,則在點(diǎn)(1,一x3)處的切線方程為y+3=—2(x—1),即y=—2x—1.ax21.右函數(shù)f(x)=---在(0,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是x答案］a三0解析］f(%)=(ax—0/=a+X2,由題意得，a十士三0對(duì)x￡(0,+8)恒成立，x2即a三一,,x￡(0,+8)恒成立..，.a三0.x2.(2019?安徽理，15)設(shè)x3+ax+b=0,其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是 ．(寫出所有準(zhǔn)確條件的編號(hào))①a=—3,b=一3；②a=-3,b=2；③a=—3,b>2；④a=0,b=2；⑤a=1,b=2.答案］①③④⑤解析］令f(x尸x3+ax+b，求導(dǎo)得f(x尸3x2+a，當(dāng)a三0時(shí)，f(x)三0,所以f(x)單調(diào)遞增，且至少存有一個(gè)數(shù)使fx)<0,至少存有一個(gè)數(shù)使fx)>0,所以fx)=x3+ax+b必有一個(gè)零點(diǎn)，即方程x3+ax+b=0僅有一根，故④⑤準(zhǔn)確；當(dāng)a<0時(shí)，若a=—3,則f'(x)=3x2—3=3(x+1)(x—1),易知，f(x)在(一8,—1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在—1,1］上單調(diào)遞減，所以fx)iB=f(—1)=—1+3+b=b+2,f(x)iB=f(1)=1—3+b=b—2,要使方程僅有一根，則極大 極小f(x)=f(—1)=—1+3+b=b+2<0或者f(x)=f(1)=1—3+b=b—2>0,解得b<—2或b>2,極大 極小故①③準(zhǔn)確.所以使得三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是①③④⑤..已知函數(shù)f(x)=x3—3x，若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(mW—2)可作曲線y=f(x)的三條切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.答案］(—3,—2)解析］f'(x)=3x2—3,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則切線方程為y—(x3—3x0)=(3x2—3)(x—x0),，??切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,m),，m—(x3—3x0)=(3x2—3)(1—x0),Am=—2x0+3x0—3,m'=—6x2+6x0,...當(dāng)0Vx0<1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x0<0或x0>1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x0=0時(shí)，m=—3,當(dāng)x0=1時(shí)，m=—2,.,.當(dāng)一3<m<—2時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=—2x3+3x2—3的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，從而x0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，故過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作三條不同切線，Am的取值范圍是(—3,—2)．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)13.(本題滿分12分)設(shè)f(x尸alnx+2-+2x+1,其中a￡R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處2x2的切線垂直于y軸.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析］(1)因?yàn)閒(x)=alnx+白+1x+1,2x2a1,3故f'(x)=x—2x2+2.因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0,即f‘(1)=0,從00=3-2

十1-2-a而解得a=-1.TOC\o"1-5"\h\z, , 1.3.(2)由(1)知f(x)=-lnx=^+7x+1(%>0),1 1,33x2-2x-1f(x尸-x-2%2+2= 2x2(3x+1)(X-1)= 2x2 .令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-3(因?yàn)閤2=-g不在定義域內(nèi)，舍去).當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，f(x)<0,故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x￡(1,+8)時(shí)，f(x)>0,故f(x)在(1,+8)上為增函數(shù).故f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3..(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(aW0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值一2.⑴求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(3)證明：對(duì)任意x「x2￡(—1,1),不等式fxJ—f(x2)l<4恒成立.解析](1);f(x)是R上的奇函數(shù)，:f-x)=-fx),即一ax3—cx+d=—ax3—cx—d，.=d=—d,，d=0(或由f(0)=0得d=0).f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c,又當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值一2,W1)=-2，..《If'(1)=0，a+c=—2,則解得c=-33a+c=0,.f(x)=x3-3解得c=-3⑵f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x—1),令f'(x)=0,得x=±1,當(dāng)一1<x<1時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<—1或x>1時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；.函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(一8,-1)和(1,+8)；遞減區(qū)間為(-1,1).

所以，f(x)在x=-1處取得極大值，且極大值為f(—1)=2.(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間一1,1］上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間一1,1］上的最大值為M=f(-=2.最小值為m=f(1)=-2.，對(duì)任意x1、x2G(-1,1),Ifx1)-f(x2)l<M—m=4成立.即對(duì)任意x1、x2￡(-1,1),不等式fx1)-f(x2)l<4恒成立..(本題滿分12分)計(jì)算定積分僅1x+3ldx.解析］解析］因?yàn)閒(x)=lx+3I=—x—3,x<—3,x+3,x三一3,所以原式=/-3(—x—3)dx+/0(x+3)dx.-4 -3分別取F1(x)=—2x2—3x,F2(x)=2x2+3x,則F1(x)=-x-3,F'2(x)=x+3.所以/°?x+3ldx=/-3(—x—3)dx+/0(x+3)dx=(—2x2—3x)I-3+(］x2+3x)I03=5.-4 -4 -3.(本題滿分12分)某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0),借款的利率為4.8%.又銀行吸收的存款能全部放貸出去.(1)若存款利率為x,x￡(0,0.048),試寫出存款量g(x)及銀行應(yīng)支付給儲(chǔ)戶的利息h(x)與存款利率x之間的關(guān)系式；(2)存款利率定為多少時(shí),銀行可獲得最大收益？解析］(1)由題意，存款量g(x)=kx2.銀行應(yīng)支付的利息h(x)=xg(x)=kx3.(2)設(shè)銀行可獲得收益為y，則y=0.048kx2-kx3.，y'=0.096kx-3kx2.令y'=0,得x=0(舍去)或x=0.032。當(dāng)x￡(0,0.032)時(shí)，y,>0；當(dāng)x￡(0.032,0.048)時(shí)，y'<0....當(dāng)x=0.032時(shí)，y取得最大值.即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí),銀行可獲最大收益．.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a￡R.(1)若f(x)在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值；(2)若f(x)在(-8,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.解析］(1)f'(x)=6x2—6(a+1)x+6a=6(x—a)(x—1).因f(x)在x=3處取得極值，所以f'(3)=6(3-a)(3—1)=0,解得a=3.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a=3時(shí)，％=3為f(x)的極值點(diǎn).(2)令f(x)=6(x—a)(x—1)=0得x1=a,x2=1.當(dāng)a<0時(shí)，若x￡(—8,a)U(1,+8),則f(x)>0,所以f(x)在(一8,a)和(1,+8)上為增函數(shù).當(dāng)0Wa<1時(shí)，f(x)在(一8,0)上為增函數(shù).當(dāng)a三1時(shí)，若x￡(—8,1)U(a,+8),則f(x)>0,所以f(x)在(一8,1)和(a,+8)上為增函數(shù)，從而f(x)在(—8,0)上為增函數(shù).綜上可知，當(dāng)a三0時(shí)，f(x)在(一8,0)上為增函數(shù).x2.(本題滿分14分)(2019?全國(guó)卷H理，21)(1)討論函數(shù)f(x)=--rex的單調(diào)性，并證明x2當(dāng)x>0時(shí)，(x—2)ex+x+2>0；ex-ax-a(II)證明：當(dāng)a￡0,1)時(shí)，函數(shù)g(-)= — (x>0)有最小值，設(shè)g(x)的最小值為h(a),求x函數(shù)h(a)的值域.|導(dǎo)學(xué)號(hào)05300393解析](Ifx)的定義域?yàn)?一8,—2)U(—2,+8).x，、(x—1)(x+2)ex