安徽省宣城市郎溪縣2021屆高考仿真模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題

安徽省宣城市郎溪縣2021屆理數(shù)高考仿真模擬考試試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=\2+i\,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.—在B._旦C.匹Dgi

222

2.設(shè)集合A={x\x<2或x>3},B={x\ex-r-l<0},貝U4nB=()

A.（-8,i）B.（-2,1）C.（2,1）D.(3,+8)

3.數(shù)列1，擊，訐幼,…i+2+；++.…的前n項和為（）

n

A，4TB.碧C.空D-2(n+l)

n+1n+1n+1

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出k的值為（）

A.3B.4C.5D.6

winY

5.函數(shù)/（x）=m湍i）的大致圖像是（）.

6.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副"弦圖"給出了勾股定理的證明，后人稱

其為"趙爽弦圖"，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖

所示.在“趙爽弦圖"中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，則薪=（）

7.1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯克構(gòu)造了一種曲線，取一個正三角形，在每個邊以中間的!部分

為一邊，向外凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的I部分擦掉，就成了一個很像雪

花的六角星，如圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻的散落1000粒豆子，則落在六角星中的豆子數(shù)約

為（）（兀k3,V3?1.732）

C.481D.331

8G-l）-（a-專）6的展開式中X2的系數(shù)為（）

A.48B.54C.60D.72

9.在菱形ABCD中，4=號，4B=4百，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置,

二面角P-BD-C的大小為年,則三棱錐P-BCD的外接球的表面積為（）

A.2百兀B.2近兀C.72TtD.112n

10.設(shè)曲線％=J1-（1一y）2上的點到直線x—y-2=0的距離的最大值為a,最

小值為b,則a—匕的值為（）

A.苧B.V2C.2^+lD.2

11.已知雙曲線［-3=l（a>0,b>0）的左、右頂點分別是A,B,右焦點為F，點

P在過F且垂直于x軸的直線I上，當AABP的外接圓面積達到最小時，點P恰好

在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±?xB.y=+y%C.y=+xD.y=±y/2x

12.已知四面體ABCD的所有棱長均為a,M,N分別為棱AD,BC的中點，F(xiàn)為

棱AB上異于A,B的動點.有下列結(jié)論：

①線段MN的長度為1：②若點G為線段MN上的動點，則無論點尸與G如何運動,

直線FG與直線CD都是異面直線；③/MFN的余弦值的取值范圍為［0,^）;④△

FMN周長的最小值為V2+1.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

,1<%<3

13.設(shè)x,y滿足約束條件f，且z=ax+by（a>0,b>0）的最大值為3,則

<y<3

ab的最大值為—.

14.已知可導(dǎo)函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),滿足'Q)_2/(%)<0，且/(2)=

4,則不等式/(2X)>4X的解集是_.

15.過拋物線C-.y2=2Px(p>0)的焦點F的直線I與C相交于A,B兩點，且A.B

兩點在準線上的射影分別為M.N,件亞=尢沁旦="，則A=_.

、4MFN〃

16.已知數(shù)列｛冊｝滿足：的=1,a=+i—a”C｛。1，a2，…，a=｝(neN*)，記數(shù)列｛4｝的

前n項和為Sn,若對所有滿足條件的列數(shù)｛4｝，Si。的最大值為M,最小值為m,

則M+m-__.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.)

17.已知函數(shù)/(%)=V3sinxcosx—3cos2%+1.

(1).求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2).在銳角△力BC中，角A,B,C所對的邊分別a,b,c.若/(C)=l,c=加，D為

AB的中點，求CD的最大值.

18.如圖，在四棱錐A-BCFE中，四邊形EFCB為梯形，EF//BC,且EF=^BC,

AABC是邊長為2的正三角形，頂點F在AC上的射影為點G,且FG=百，CF=

浮,BF=|.

(1).證明：平面FGB1平面ABC；

(2).求二面角E-AB-F的余弦值.

19.公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計學(xué)家德梅赫(Demere)向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯

卡(B.Pascal)提請了一個問題，帕斯卡和費馬(Fermat)討論了這個問題，后來惠更斯

(C.Huygens)也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確

的解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏k(k>l,keN*)局，誰便贏得全部賭注a元.

每局甲贏的概率為p(0<p<1),乙贏的概率為l-p,且每局賭博相互獨立.在甲贏了

m(m<k)局，乙贏了n(n<fc)局時，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)

家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏k局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼

續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比P//乙分配賭注.

(1).甲、乙賭博意外終止，若a=243,/c=4,m=2,n=l,p=1，則甲應(yīng)分得多少賭

注？

(2).記事件A為“賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注”，試求當k=4,m=2,n=l時賭

博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率f(p),并判斷當時，事件4是否為小概

率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機事件為小概率事

件.

20.已知橢圓+l(a>0,h>0)過點(2,-1),離心率為造，拋物線y2=

-16x的準線I交%軸于點A,過點4作直線交橢圓C于M,N.

(1).求橢圓C的標準方程和點A的坐標；

(2).設(shè)P,Q是直線I上關(guān)于x軸對稱的兩點，問：直線PM與QN的交點是否

在一條定直線上？請說明你的理由.

21.已知函數(shù)/(%)=x-eax-1(a&R).

(1).討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性

(2).若函數(shù)/(%)的圖像經(jīng)過點(1,1),求證：+ln/(x)>0(x>0).

22

22.在直角坐標系xOy中，點4是曲線C1：(x-2)+y=4上的動點，滿足2方=瓦?

的點B的軌跡是C2.

(1)以坐標原點0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線G,C2的極

坐標方程；

(2)直線I的參數(shù)方程是「：,二上:二‘a(chǎn)(土為參數(shù))，點P的直角坐標是(-1,0),

y—LSinct

若直線I與曲線C2交于M,N兩點，當\PM\?\PN\=|MN『時，求cosa的值.

23.已知函數(shù)/(%)=\2x-2|4-\2x—1|,g(x)=|x+1|4-|4x—2|.

(1)求不等式/(%)>4的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式2/(%)-g{x}>a\x\恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

答案解析部分

安徽省宣城市郎溪縣2021屆理數(shù)高考仿真模擬考試試卷

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足(1+i)z=\2+i\,則復(fù)數(shù)z的虛部是()

A.-在B.-三iC.在D.在i

2222

【答案】A

【考點】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

【解析】【解答】由于|2+4=五，所以z=￡=離鼻=當(1一)=苧一爭

JJlit^1Tl1-I)￡.44

故復(fù)數(shù)Z的虛部是-在，

2

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的運算整理化簡再由復(fù)數(shù)模的定義計算出結(jié)果。

2.設(shè)集合力={x|x<2或x>3},B={x|e*T-1<0},貝ij4nB=()

A.(-8,1)B.(-2,1)C.(2,1)D.(3,+叼

【答案】A

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】ex-1—1<0,x<1,B=(―°°,1),

則AnB=(-8,1),

故答案為：A.

【分析】可求出集合B,然后進行交集的運算即可.

3.數(shù)列1-----1-----------1------...的前n項和為()

&1+2,1+2+3，1+2+3+…+n'ujniJ、"八

A_2L_2n4n__H_

A?申BR.市Cr.,Dn-2(n+1)

【答案】B

【考點】等差數(shù)列的前n項和，數(shù)列的求和

【解析】【解答】由等比數(shù)列前〃項和公式有：1+2+3+…+n=嗎2，

1211

則：1+2+3H---Fn-十(zi+1)-2(元n+1)，

則該數(shù)列的前n項和為：2[(1~1)+(1-1)++(^-=2(1—云匕)=nVl'

故答案為：B.

【分析】利用的等差數(shù)列的前n項和公式將已知數(shù)列的通項化簡，利用裂項求和的方法求

出數(shù)列的前n項和.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出k的值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)

【解析】【解答】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，可得：

運行第1次，T=log23，k=2；

運行第2次，T=log23-log34=log24=2,k=3；

運行第3次,T=log23-log34-log45=log25,此時滿足判定條件,輸出k=4.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)框圖，依次進入循環(huán)，直到不滿足判斷框內(nèi)的條件為止.

5?函數(shù)八切二正曲的大致圖像是（口

【考點】函數(shù)的圖象

【解析】【解答】由題意可知/(%)的定義域為｛x\x0),

,、sin(—%)sinx,、

-?"ce=訴?不=一厘irr一‘⑺’

/(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱，???排除C；

:"加=意%=°'二排除人,

又，G)==——>o,

鳴+1)1鳴+i)

故答案為：B.

【分析】首先根據(jù)判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱排除C選項，再根據(jù)函數(shù)值去

進行排除即可.

6.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副"弦圖"給出了勾股定理的證明，后人稱

其為"趙爽弦圖"，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖

所示.在“趙爽弦圖"中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，則赤=()

D.gaat+耳4Tb

【答案】B

【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，平面向量的基本定理及其意義

【解析】【解答】BF=BC+CF=BC+禍4=BC+氯EB+BA)=BC+氯一.BF+

￡1)，

即BF=eC+1(-1fiF+￡l)，解得晶=||品+||易，

P即UB彘F=—2156a=+1225；b-

故答案為：B.

【分析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可.

7.1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯克構(gòu)造了一種曲線，取一個正三角形，在每個邊以中間的［部分

為一邊，向外凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的:部分擦掉，就成了一個很像雪

花的六角星，如圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻的散落1000粒豆子，則落在六角星中的豆子數(shù)約

為()(兀a3,V3?1,732)

【答案】A

【考點】正弦定理

【解析】【解答】設(shè)原正三角形邊長為3a

則由正弦定理得=2R,即R=痘a，

22

所以正三角形外接圓半徑為V3a，則Ss=nR=3an,

又由題意得凸出來的小正三角形邊長為a

則S六角星~S大三用形+3s小三角形

=”a.3a《+3x”.a號=3島2

所以落在六角星中的豆子數(shù)約為1000X0.577=577.

故答案為：A.

【分析】設(shè)原正三角形邊長為3a,則由正弦定理求出正三角形外接圓半徑，根據(jù)S六磔=

S大為形+3S”源形落在六角星中的概率2資,從而可得結(jié)論?

8G-l）,（a—套）6的展開式中x2的系數(shù)為（）

A.48B.54C.60D.72

【答案】D

【考點】二項式定理，二項式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)（?-專戶的展開式的通項公式為Tr+1=布?（偽6T.（一套），=限

（-2）r-x3-r，

令r=1,T2=-12/；令r=2,T3=60%,

所以（x-1）?一套）6的展開式中X2項的系數(shù)為：1x60+（-1）x（-12）=72,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意首先求出二項展開式的通項公式再結(jié)合題意令r=1以及r=2計算出

展開式中%2項的系數(shù)即可。

9.在菱形ABCD中，4=界AB=4W,將^ABD沿BD折起到△PBD的位置,

二面角P-BD-C的大小為冬，則三棱錐P-BCD的外接球的表面積為（）

A.28兀B.26兀C.72nD.112n

【答案】D

【考點】球的體積和表面積，二面角的平面角及求法

【解析】【解答】由題意可得如下示意圖，設(shè)AC.BD交于E,

則AC1BD,即CE1BD.PE1BD

所以NPEC為二面角P-BD-C的平面角，即ZPEC=^-，

又PEOCE=E,所以BD1平面PCE,

過P作PF1AC于F,BDLPF.BDOAC=E,

所以PF1平面ABCD,

若0,0，分別是面BDC的外接圓圓心、三棱錐P-BCD的外接球的球心，

則00'1平面ABCD,所以00'//PF，

所以P,尸，0,。,必共面且該面為球體的最大截面，

連接00‘，0,D,0D,0,P"有0,D=0,P=R為外接球半徑，

0D=r為面BDC的外接圓半徑，若設(shè)00'=%.

則：x2+r2=R2>OF2+(PF-x)2=R2,

,菱形ABC。中，4=AB=4V3,ZPEC=)

???PD=DC=PB=BC=4A/3,PE=EC=6,BD=4百，

且E0="=2g,09=絲=2,PF=PE-sin^=3y[3,OF=0E+EF=

77

2+PE-cos掾=5,

r2=OD2=OE2+ED2=16，

即d+16=25+(3V3一，解得％=2遍，；.R2=28，

所以三棱錐P-BCD的外接球的表面積4兀產(chǎn)=1127r,

故答案為：D

【分析】由題意畫出圖形，找出ABCD外接圓的圓心及三棱錐P-BCD的外接球心為。，通

過求解三角形求出三棱錐P-BCD的外接球的半徑，即可求出三棱錐P—BCD的外接球的表

面積.

10.設(shè)曲線X=J1一（1一y）2上的點到直線X一y-2=0的距離的最大值為a,最

小值為b,貝!|a—b的值為（）

A.旦B.V2cM+lD.2

【答金】c2

【考點】直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】將x=-（1-y）2化為：x2+（y—I）2=1>

所以曲線是圓心（0,1）,半徑r=l的右半圓，如圖，

圓心到直線x-y-2=0的距離d=，

???圓上的點到直線的最小距離人=孥-1，

4L

最大值為（0,2）到直線的距離，即。=負=2魚，

則a-b=?+1-

故答案為：C.

【分析】求得圓心到直線％-、-2=0的距離4=竽，進而求得a,b的值，即可

求解。

11.已知雙曲線三一￥=l（a>0,6>0）的左、右頂點分別是A,B,右焦點為F，點

P在過F且垂直于x軸的直線I上，當XABP的外接圓面積達到最小時，點P恰好

在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±/xB.y=+-yXC.y=±XD.y=+y/2x

【答案】C

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P的坐標為（2,y0）（yo>O），由于\AB\

為定值，由正弦定理可知當sin/4PB取得最大值時，UPB的外接圓面積取得最小值,

也等價于tan/4PB取得最大值，;tan2PF=r,tan^BPF=^,

Joy。

a+cc-a

??tan4PB=tan（4PF-/BPF）=7g=$<-y==?,

當且僅當yo~—（），即當y（）=b時，等號成立，此時最大，此時

yoyo>°NAPB△APB

的外接圓面積取最小值，點P的坐標為（c,b）,代入W—4=1,可得0=2,即

a2b2a2

號=2，即<=1,所以雙曲線的漸近線方程為：y=±x。

a2a2

故答案為：c

【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P的坐標為（2,yo）（yo>O），由于為定

值，由正弦定理可知當sin4PB取得最大值時，4APB的外接圓面積取得最小值，也

等價于tan/4PB取得最大值，再利用正切函數(shù)的定義結(jié)合兩角差的正切公式，進而利用

均值不等式求最值的方法，從而求出tan/PBW?,進而求出/APB的最大值，此時

XAPB的外接圓面積取最小值，點P的坐標為（c,b）,代入馬_馬=1,進而求出a,c

a2b2

的關(guān)系式，再利用雙曲線中a,b,c三者的大小關(guān)系，進而求出a,b的關(guān)系式，從而結(jié)合雙曲

線的焦點的位置，進而求出雙曲線的漸近線方程。

12.已知四面體ABCD的所有棱長均為近，M,N分別為棱AD,BC的中點，F(xiàn)為

棱AB上異于A,B的動點.有下列結(jié)論：

①線段MN的長度為1；②若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動,

直線FG與直線CD都是異面直線；③/MFN的余弦值的取值范圍為［0,y）;④△

FMN周長的最小值為V2+1.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【考點】異面直線及其所成的角，點、線、面間的距離計算

【解析】【解答】在棱長為1的正方體上取如圖所示的四個頂點依次連接，即可得到棱長

為V2四面體ABCD,

MN的長度為正方體棱長1,故①

對；

對于②:

如圖，F(xiàn)取為AB的中點，G取為MN的中點,

/取為CD的中點，則由正方體的性

質(zhì)易知，該三點在一條直線上，故此時

FG與CD相交于/,故②錯;

對于③，

BN=~=^-,BM=y/BD2-MD2=

2—^=y，又有MN=1

13

故cos/MBN=有==立>在

2連.匹35

故F點無限接近B點時，cos"FN會無限接近立，故/MFN的余弦值的取值范圍

3

不為⑼?)，③錯誤；

對于④，如圖將等邊三角形ABC與ABD鋪平，放在同一平面上，

故有N'F+FM'>MN'=V2，當且僅當F為AB中點時取最小值

故在正方體中NF+FM>y/2

故4FMN周長的最小值為近+1

故④對

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意將四面體放置在正方體中，根據(jù)M、N分別為前后面的中心判斷①；

取F為AB中點，G為MN中點，此時直線FG與直線CD相交；通過計算cos/MFN判斷③;

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，計算可得NF+FM>a判斷④，從而得出答案。

二、填空題

,1<%<3

13.設(shè)x,y滿足約束條件｛,且z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為3,則

'14"3

ab的最大值為一.

【答案】|

【考點】簡單線性規(guī)劃

,1<x<3

【解析】【解答】因為z,y滿足約束條，［，且z=ax+b(a>0,b>0)的

口《"3

最大值為3,

所以當x,y最大時，z最大，

2

即3a+3b=3,即a+b=1,加《芋)_—",

當且僅當a=b=時，ab取最大值，

故答案為：今.

【分析】由約束條件作出可行域，利用線性規(guī)劃知識求得a+b=l,利用"1"的代換，結(jié)合

基本不等式求最值.

14.己知可導(dǎo)函數(shù)/(%)的定義域為(0,+叼，滿足xf,_2/(%)<0，且/(2)=

4,則不等式/(2乂)>鏟的解集是—.

【答案】(—8,1)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】設(shè)g(x)=4雜，則￡㈤_獷'CW/(x),

因為%>0,Xf,(x)-2/(x)<0，所以g'(x)<0，g(x)在(0,+河上單調(diào)遞

減，

f(2x)〉鏟，即〉i=寫，令2、=t,即詈>零，g(t)>g(2),

所以t<2,2X<2,所以x<1?

故答案為：(一8,1)。

【分析】設(shè)g(x)=4空，利用求導(dǎo)的方法判斷其單調(diào)性，進而求出其值域，再結(jié)合已知

條件得出t<2,即2、<2,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進而求出不等式/(2、)>4,的

解集。

15.過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F的直線I與C相交于A.B兩點，且4,8

兩點在準線上的射影分別為M,N,海亞=尢2M=〃，則

【答案】4

【考點】拋物線的定義，余弦定理

【解析】【解答】解：如圖：

設(shè)/MAF-6,AF=a,BF=b,

由拋物線定義可得：AM=a,BN=b,ZMF0+ZNFO=ZMFA+/NFB=5,

在AMAF中，由余弦定理可得：MF?=2。2(1—cos。)，

同理：MF2=2h2(l4-cos0),

故^AMAF=2a2sin。，SANBF=2b2sin。＞

(S/MNF)2=1MF2-NF2=a2b2sin2d，

2

故a=(SlMNf)=4,

〃SAMAF'SANBF

故答案為：4.

【分析】設(shè)^MAF=6,AF=a,BF=b可得S/M"=^a2sin0，^ANBF=

222222

療sin。，(S4M/VF)=1MF-NF=absin6，可得、的值。

16.已知數(shù)列｛4｝滿足：⑥=1,即+i—即€｛%,取，…，M｝(九EN*)，記數(shù)列｛4｝的

前n項和為Sn,若對所有滿足條件的列數(shù)｛4｝,Si。的最大值為M,最小值為m,

則M+m=__.

【答案】1078

【考點】數(shù)列遞推式

【解析】【解答】由題意，數(shù)列｛Q〃｝滿足：。1=1，冊+1-斯€｛%,做，…，斯｝，

由。2—'可得。2=2。1=2;

由。3—@2￡｛。1，a2)'可得。3=。2+=3或。3=2a2=4;

由a4-a3e｛%,a2fa3],可得知=%+即=4或5；。4=。3+。2=5或6；

a4=2a3=6或8；

由as-a4e[alta2,a3,a4],可得的=%+%=5或6或7；

。5=。4+。2=6或7或8；%=。4+。3=7或8或9或10或12；

的=2曲=8或或9或10或12或16；

,1nlO

綜上可得S10的最大值M=1+2+2?+…29==2=1023，

1—Z

最小值為m=1+2+3+…10=1°"，°)=55，

所以M+m=1078.

故答案為：1078

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的前四項的最大，最小值，得出何時和最大，何

時和最小，進而求得結(jié)論.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(%)=V3sinxcosx—3cos2x+1.

(1).求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2).在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別a,b,c.若/(C)=lfc=y[3，D為

AB的中點，求CD的最大值.

【答案】(1)解：/(%)=苧sin2%-怖(1+cos2x)+1，

=V5sin(2x—可)—2，

由2kli+242x—可42/CTTH—,kWZ，

解得：kn+x<kn+,kEZ，

所以/(%)遞減區(qū)間[/CTT+罌,々兀+€Z-

⑵解：期(C)=gsin(2CT)-4=1，

得sin(2C一令=苧，

???△ABC為銳角三角形，

77

??.C6(0,J),

c「7T〃/兀2兀、

"2"可€(_?手)，

?.?2C一—X百一一匹甘，

「7T

C=3'

由余弦定理得：

a2=CD2+(^)-2?骨D?cosNBDC，b2=CD2+(^)-2?與CD*

CQS^ADC，

且cosDC=—CQS^ADC,

兩式相加得：CD2=1(a2+b2)-^，

Z4

由3=M+爐—2abcosC=a2+b2—ab,

222

>a+b-°與蛇=/(Q2+b)，

當a=b時，等號成立，

即a2+b2的最大值為6,

所以CD的最大值為|.

【考點】基本不等式，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理

【解析】【分析】⑴先利用二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)

性即可求解；

(2)由已知先求C,然后結(jié)合余弦定理及基本不等式即可求解.

18.如圖，在四棱錐A-BCFE中，四邊形EFCB為梯形，EF//BC，且EF=

，AABC是邊長為2的正三角形，頂點F在AC上的射影為點G,且FG=

V3>CF=41,BF=怖?

(1).證明：平面FGB1平面ABC；

(2).求二面角E-AB-F的余弦值.

【答案】(1)證明：由頂點F在AC上投影為點G,可知，F(xiàn)G1AC.

取AC的中點為0,連結(jié)OB,GB.

在RtAFGC中,FG=6，CF=亨，所以CG=

在RtAGBO中，OB=有0G=|，所以BG=^

/Z

所以，BG2+GF2=FB2,即FG±BG.

■：FG1AC,FGLGB,ACCBG=G

???尸G1.面ABC.

又尸GU面FGB,所以面FGB1面ABC.

(2)解：由(I)知，OB1FG,OB1AC,且ACCFG=G

所以O(shè)BJL面AFC，且FGJ.面ABC.以0B所在直線為x軸，0C所在直線為

y軸，過點0作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

>1(0,-1,0)^(73,0,0)^(0,-1,73),E(￥，J遮)，F(xiàn)4=(-V3,-l,0)，

而=(-苧，3，例麗=(一6，4圾

設(shè)平面ABE,ABF的法向量分別為m.n,則

｛三?更=0,則而,

m-BM=0

4E=0,則

n,BF=0

n=(1,-V3,i)，

cmn7785

cose=imiiHi="ss-'

所以二面角E-AB-F的余弦值為蜜.

【考點】平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角

【解析I分析】⑴推導(dǎo)出FGJLAC,取AC的中點為0,連結(jié)。B,GB,推導(dǎo)出FG±BG,FG±AC,

從而FG_L面ABC,由此能證明面FGB_L面ABC；

⑵以O(shè)B所在直線為x軸，0C所在直線為y軸，過點0作平面ABC的垂線為z軸，建立空

間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AB-F的余弦值.

19.公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計學(xué)家德梅赫(Demere)向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯

卡(B.Pascal)提請了一個問題，帕斯卡和費馬(<Fermat)討論了這個問題，后來惠更斯

(C.Huygens)也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確

的解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏k(k>l,kGN*)局，誰便贏得全部賭注a元.

每局甲贏的概率為p(0<p<1),乙贏的概率為l—p,且每局賭博相互獨立.在甲贏了

m(m<k)局，乙贏了n(n<fc)局時，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)

家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏k局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼

續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比P甲:P乙分配賭注.

(1).甲、乙賭博意外終止，若a=243,k=4,m=2,n=l,p=，則甲應(yīng)分得多少賭

注？

(2).記事件A為"賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注"，試求當k=4,zn=2,n=1時賭

博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率/(p)，并判斷當pN看時，事件4是否為小概

率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機事件為小概率事

件.

【答案】(1)解：設(shè)賭博再繼續(xù)進行X局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，

由題意知，最多再進行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，

當X=2時，甲以4:1贏，所以P(X=2)=弓)2=1,

當X=3時，甲以4:2贏，所以P(X=3)=?|x(1-|)x|,

當X=4時，甲以4:3贏，所以P(X=4)=C：|x(l—|)2x|=^，

484248

-+=--=-

于是得甲扁得全部賭注的概率為9279

2727

8元

-21

所以，甲應(yīng)分得的賭注為243x9=

(2)解：設(shè)賭博繼續(xù)進行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，

當y=3時，乙以4：2贏，p(y=3)=(1—p)3,

當y=4時，乙以4:3贏，P(y=4)=C1p(l-p)3=3P(1-p)3,

從而得乙贏得全部賭注的概率為P(A)=(1-p)3+3p(l-p)3=(1+3P)(1-p)3,

于是甲贏得全部賭注的概率/(p)=1-P(4)=1-(1+3p)(l-p)3,

對/(P)求導(dǎo)得f(p)=-3(1-p)3-(1+3p)-3(1-p)2(-l)=12p(l-p)2，

因於p<1，即/'(p)>0，從而有/(P)在弓,1)上單調(diào)遞增，

于是得/(P)min=/6)=瑞f，乙贏的概率PH)最大值為1一黑=慕=0,0272<

0.05,

所以事件A是小概率事件.

【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式

【解析】【分析】⑴設(shè)賭博再繼續(xù)進行X局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題

意知，最多再進行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，利用相互獨立事件概率乘法公式和

互斥事件概率加法公式求出甲贏的概率，由此能求出甲應(yīng)分得的賭注；

(2)設(shè)賭博繼續(xù)進行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，當丫=3時，乙

以4:2贏，P(Y=3)=(1—p)3,當丫=4時，乙以23贏,P(Y=4)=C扛(1-p)3=

3P(1-p)3,求出甲贏得全部賭注的概率y(p)=1-p(z)=1-(1+3p)(i-p)3,求

導(dǎo)，f'(p)=12p(l—p)2，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出/(p)min=f(3=fl，從而求出事件

A是小概率事件.

20.已知橢圓C:^|+*l(a>0,b>0)過點(2,-1),離心率為孚,拋物線y2=

-16%的準線I交x軸于點A,過點A作直線交橢圓C于M,N.

(1).求橢圓C的標準方程和點A的坐標；

(2).設(shè)P,Q是直線I上關(guān)于%軸對稱的兩點，問：直線PM與QN的交點是否

在一條定直線上？請說明你的理由.

41

---+----=1

a2b2

【答案】(1)解：由題意可得｛必=—c2解得。2=8,后=2，

a2

即橢圓c的方程為：4+^=1，

oL

又由拋物線y2=-16x,可得準線方程為Z:%=4,所以4(4,0).

(2)解：設(shè)P(4,t),Q(4,—t),MN:x=my+4,,N(%2，y2)

,x=my+4

由f22,整理得(M？+4)y2+8my+8=0,

+4y-8=0

：

所rrKi以為,+為=一8m麗，為為=鬲8耳，

則為+為=一根丫1丫2即々普=-m,

直線PM為y-t=-4),即y-t=一4)①，

直線QN為y+t=-4),即y+t=-4)②，

②一①得：2"春然一歲)(％-4),即2t4?喙夢(x—4)

所以2t=?(―mt)(久一4)>解得：x=2,

所以直線PM與QN的交點恒在定直線%=2±.

【考點】橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由離心率和橢圓過定點，直接可以求出橢圓方程和點4的坐標;

⑵聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由韋達定理可以表示出兩直線方程，即可解決.

21.已知函數(shù)/(x)=x.e^-1(aER).

(1).討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性

(2).若函數(shù)/(x)的圖像經(jīng)過點(1,1),求證：+ln/(x)>0(%>0).

【答案】(1)解：由題意，函數(shù)/(%)的定義城為R,

當a=0時，/(x)=I函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增；

當aH0時，可得/(%)=eax-1+ax-eax-1=eax-1?a?(x+》，

令/(x)=0，得％=一：，

①當a<0時，在區(qū)間(-8,-1)±y(x)>0>/(%)單調(diào)遞增，

在區(qū)間(一:，+°°)上/'(%)<0，f。)單調(diào)遞減，

②當a>0時，在區(qū)間(—8,_1)上/'(%)<()，/(x)單調(diào)遞減，

在區(qū)間(一［，+為)上/'(%)>o,/(%)單調(diào)遞增，

(2)解：若函數(shù)/(%)的圖像經(jīng)過點(1,1),則/(I)=e-i=1，得Q=1，即/(%)=

x?e*T,

則——xr+In/(x)=—―Yx+ln(x,e，-17)=——xy+Inx+x-1,

xteJ\y%-e'x-e

設(shè)g