2023學(xué)年安徽省太和高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,

則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

2.已知函數(shù)/（x）=lnx+l,g（x）=2e'T，若〃〃?）=g（小成立，則〃「〃的最小值是（）

A.—I-In2B.C-2C.In2D.y[c

222

3.已知四棱錐尸―ABC。中，24_L平面A8CZ）,底面A8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=6E為PC的中點(diǎn)，

則異面直線BE與PD所成角的余弦值為（）

.V13KV130厲nV15

A.--------B.------C.--------D.------

393955

4.下列命題是真命題的是（）

A.若平面a,0,Y,滿足￡■!?7,則a〃￡；

2

B.命題，：VxeR,l-x<b貝！If：3xne7?,l-x^<l；

C.“命題P"為真”是“命題P八4為真”的充分不必要條件；

D.命題“若（工-1），+1=0,則x=0”的逆否命題為：“若XH0,則

5.已知空間兩不同直線加、"，兩不同平面夕，￡,下列命題正確的是（）

A.若加||a且“IIa,則，”11〃B.若加?！￡且則〃||小

C.若〃?_La且"||/，則a，/7D.若加不垂直于a,且〃ua,則機(jī)不垂直于〃

6.在（x-乙尸的展開式中，/的系數(shù)為（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

7.若函數(shù)的圖象如圖所示，貝！l/（x）的解析式可能是（）

A.B.=c.=D.

,3x-4y+10>0

8.設(shè)x,）‘滿足約束條件<x+6y—4N0,則z=x+2y的最大值是（）

2x+y-840

A.4B.6C.8D.1（）

9.若復(fù)數(shù)網(wǎng)口（asR）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.以A（3,-l）,8（-2,2）為直徑的圓的方程是

A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-j-9=0

C.x2+y2+x+y-8=0D.x2+y2+x+y-9=0

11.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱，旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，

共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是（）

zuiou.AH/HAH距zuiy4

=出口0?道口0???,出口"一道口埸迪

A.這五年，出口圓1期之和比進(jìn)口總額之列大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

12.一個(gè)正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）

D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù)：

14.成都市某次高三統(tǒng)考，成績(jī)X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，近似服從正態(tài)分布X?NQOO,。?），且P（86<X<100）=0.15,若

該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績(jī)X大于114分的人數(shù)為.

15.如圖，在矩形ABCD中，40=243=4,E是的中點(diǎn)，將△/WE,ACDE分別沿BE,CE折起，使得

平面ABEL平面8CE,平面平面BCE,則所得幾何體A8CDE的外接球的體積為.

16.[/一子）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱柱ABC—4AG中，AC=BC=1,4?=4,4。=1,4。，平面A5c.

（1）證明：平面4ACC|J?平面

（2）求二面角A-48-。的余弦值.

222,

18.（12分）已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足「三+丁二+^^=2,證明：-^+-^+-^＜72.

1+x21+/1+z21+x1+/1+z

19.（12分）已知函數(shù)/（x）="hu+/為實(shí)數(shù)）的圖像在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程為y=x-L

（1）求實(shí)數(shù)。力的值及函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=1,證明履％）=85）（王＜馬）時(shí)，X,+x2＞2.

20.（12分）已知橢圓C:三+營(yíng)=1（0＜。＜。）的離心率為暫.且經(jīng)過點(diǎn)（1,日）

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（0,2）的直線/與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以。4、03為鄰邊的平行四邊形04MB的頂點(diǎn)M在橢圓C

上，求直線/的方程.

21.（12分）已知/（x）=|x-l|+l,=.

12-3x,x＞3

（1）解不等式/（x）42x+3；

（2）若方程/（x）=。有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.（10分）如圖，在矩形A5CO中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊A￡＞上一點(diǎn)，S.AE=2ED,點(diǎn)”是鴕的中點(diǎn),

將△ABE沿著的折起，使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)S處，且滿足SC=SD.

（D證明：5”_1平面8。?！?；

（2）求二面角C—S3—￡的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.

【詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列{%}

則an=23+35(〃-1)=35/?-12

2

令4=35〃-12W2020,解得〃458行.

58x57

故該數(shù)列各項(xiàng)之和為58x23+------x35=59189.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

2.A

【解析】

分析：設(shè)/(M=g5)=f,貝”>0,把機(jī)，〃用f表示，然后令設(shè)。="一〃,由導(dǎo)數(shù)求得〃。)的最小值.

詳解：設(shè)/O)=g(〃)=，，貝m=e'~',H=ln-+-=lnr-ln2+-,

222

m-n=e'~'-ln/+ln2--,令=e'~'-lnz+ln2--,

22

則/f(f)=e'T—1,〃⑺是(0,+8)上的增函數(shù)，

tt

又"(1)=0,.?.當(dāng)re(o,l)時(shí)，h\t)<Q,當(dāng)，e(l,+oo)時(shí)，h'⑴>0,

即獻(xiàn)f)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,”)上單調(diào)遞增，人(1)是極小值也是最小值，

/z(l)=5+ln2,加一”的最小值是彳+ln2.

故選A.

點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求人-。的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)〃（f）的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).

3.B

【解析】

BEPD

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用（灰，而）=

cos即可得解.

【詳解】

???B4_L平面ABCD,底面ABQD是邊長(zhǎng)為2的正方形,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：

A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,網(wǎng)0,0,后），D（0,2,0）,

（出、

???E為PC的中點(diǎn)，,E1,1,^-.

BE=-U,y,麗=(0,2,一句,

BEPD[2713

岳二

—J

2

???異面直線BE與PD所成角的余弦值為卜。5回,PD）\即為四.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.

【詳解】

若平面a,B，Y,滿足aJLy,Z?1/,則a,夕可能相交，故A錯(cuò)誤；

命題“P：VxeR,1-尤2W1”的否定為力：3x0e/?,1-尤；＞1,故B錯(cuò)誤；

PV4為真，說明至少一個(gè)為真命題，則不能推出。人4為真；。人4為真，說明都為真命題，貝1JPvq為真，

所以“命題為真”是“命題P八4為真”的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；

命題“若（x-l）e"+l=O,貝h=0”的逆否命題為：“若XHO,則（％-1孵+1。0”，故D正確；

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.

5.C

【解析】

因答案A中的直線加，〃可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線〃也成立，故不正確；答案C中的直線”

可以平移到平面A中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面外，互相垂直，是正確的；答案D中直線m也有可

能垂直于直線〃，故不正確.應(yīng)選答案C.

6.C

【解析】

寫出（X-，-）"）展開式的通項(xiàng)公式&|=。、（-g）3°必，令10—2廠=4,即r=3,則可求系數(shù).

【詳解】

（X-1尸的展開式的通項(xiàng)公式為加=4產(chǎn)-「（-33'°-"，令10-2r=4,即廠=3時(shí)，系數(shù)為

品（一g）3=T5.故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

由函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合特殊值驗(yàn)證，通過排除法求得結(jié)果.

【詳解】

1-r2

對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤；

X

e-x

對(duì)于選項(xiàng)c,當(dāng)X<—1時(shí)，〃x)=<O,可判斷C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,/(x)=±￥=1+-1,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間，故D錯(cuò)誤；

尤-X尤-

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題，通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，難度一般.

8.D

【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值.

【詳解】

作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線乙：x+2y=0在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，z=x+2),取得最大值.

\/3.L4>T10=0

/。一...「1

f3x-4y+10>0,、

由?！卑说茫篈(2,4)-X=10

2x+y-8<0

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，~由它是純虛數(shù)，求得“，從而確定2a+2?.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

1+Z

【詳解】

2?+2i=—2+2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,2),在第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出。,戾「，從而求出圓的方程.

【詳解】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-“)2+(y-b)1=產(chǎn)，

由題意得圓心。(“力)為A，B的中點(diǎn)，

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得。=—=:,

2222

又一空!53+2)2+(T2)：=叵,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

222

?117

(X_萬(wàn))~+(y_])2=—,化簡(jiǎn)整理得『+y—x—y—8=0>

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對(duì)A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確;

對(duì)B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對(duì)C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；

對(duì)D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長(zhǎng)度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2

所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng)，掌握一些常見的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.231,321,301,1

【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論，即得解

【詳解】

0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有：

(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí)，數(shù)字可以是231,321,301；

(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1.

故答案為：231,321,301,1

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用，考查了學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.2800.

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合尸(86<X4100)=0.15求得P(X〉114)=；—0.15=0.35,即可得解.

【詳解】

根據(jù)正態(tài)分布X?N(100,</),且P(86VX<100)=0.15,

所以「(X〉114)=；-0.15=0.35

故該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績(jī)X大于114分的人數(shù)為8000x0.35=2800.

故答案為：2800.

【點(diǎn)睛】

此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對(duì)稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績(jī)大于114的人數(shù).

32

15.—兀

3

【解析】

根據(jù)題意，畫出空間幾何體，設(shè)BE,EC,的中點(diǎn)分別為M,N,0,并連接

AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,利用面面垂直的性質(zhì)及所給線段關(guān)系，可知幾何體AB8E的外接球的球

心為。，即可求得其外接球的體積.

【詳解】

由題可得八鉆石，ACDE,△BEC均為等腰直角三角形，如圖所示，

設(shè)BE,EC,6C的中點(diǎn)分別為N,O,

連接CM,AO,DN,NO,DO,OE,

則OM_LBE,ONICE.

因?yàn)槠矫鍭BEJ_平面BCE,平面CDE±平面BCE,

所以O(shè)M,平面ABE,ON上平面DEC,

易得OA=OB=OC=OD=OE=2,

則幾何體ABCDE的外接球的球心為。，半徑尺=2,

432

所以幾何體MCDE的外接球的體積為V=—%代=

33

32

故答案為：丁.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用，折疊后空間幾何體的線面位置關(guān)系應(yīng)用，空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法,

屬于中檔題.

16.135

【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，考慮當(dāng)x的指數(shù)為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

卜一日)的展開式通項(xiàng)公式為：&=4.卜2廣1_叼.產(chǎn),，

令卜=4,所以C：?(一班了=135,所以常數(shù)項(xiàng)為135.

故答案為：135.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是，能通過展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)，?的

取值.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)立

3

【解析】

(1)證明ACJ_平面8CGg即平面4ACG，平面8CC5得證；(2)分別以C4,CB,BC所在直線為X軸，y軸.

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-X”，再利用向量方法求二面角A-g8-C的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锽|C_L平面A5C,所以

因?yàn)锳C=BC=l,AB=4i.所以AC2+BC2=AB?.即ACYBC

又BC口耳。=C.所以AC_L平面BCC再

因?yàn)锳Cu平面AACG.所以平面4ACG，平面BCC&I

(2)解：由題可得BC，C4,C5兩兩垂直，所以分別以C4,CB,BC所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系C-XJZ,則A(1,O,O),C(0,0,0),3(0,1,0)，C(0,0,1),所以璃=(0,-1,1),通=(一1,1,0)

設(shè)平面ABB｝的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

------------------------f-y+z=0

由m-BB.=0,6?243=0.得4

I[—%+y=0

令x=l,得加=(1,1,1)

又CAL平面C8片,所以平面。5片的一個(gè)法向量為CA=(1,0,0).

1

cos(m,CA)73=T

所以二面角A-8乃-C的余弦值為電.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

18.見解析

【解析】

222

已知條件［:++卞=2,需要證明的是丁J+1J+要想利用柯西不等式，需要

i+x21+/i+z2i+xi+yi+z

222

xyz=3一〔言+上+急「1'則可以用柯西不等式.

--------7^----7的值'發(fā)現(xiàn)177+工+工

l+尤-1+y-l+z~1+/1+Z2

【詳解】

-------------7

\+x-\+y1+z-

x

iii,~,y1z.

..--------7H------7H---------=l--------+l--------7+l--------——I.

l+xl+yl+zl+xl+yl+z~

由柯西不等式得，

'fy2z2yj]1xyz

J+x2+l+y2+l+z2Jl^l+x2+1+y+1+z^-l^l+x2+l+y2+l+z2

、2

xyz

<2.

(l--+-/7-1-+--y-7-l-+--z7

xyzr-

——r+-^+——-<V2.

l+x-l+)2l+z-

【點(diǎn)睛】

本題考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)a=1,2=0;函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,，］,單調(diào)遞增區(qū)間為+8);(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：⑴由題得/'(x)=a(l+lnx),根據(jù)曲線/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程，列出方程組，求得。力的值,

得到/(x)的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由⑴得8(力=質(zhì)+,根據(jù)由8&)=8(々)，整理得±±=］n匕>0,

X玉無(wú)2X

SD,轉(zhuǎn)化為函數(shù)u⑴-加的最值，即可作出證明.

試題解析：

(1)由題得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+紡)，??(x)=a(l+lnx),

因?yàn)榍€f(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線方程為y=x-l,

⑴=a=1,

所以《,/八I］匚八解得a=l,b=0.

/(l)=Hm+b=0,

令《i(x)=l+lnx=0,得x=L

e

I(1A

當(dāng)0<x<—時(shí)，h,(x)<0,f(x)在區(qū)間0,一內(nèi)單調(diào)遞減；

e\

當(dāng)x>：時(shí)，h,(x)>0,f(x)在區(qū)間(：,+8］內(nèi)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,呂，單調(diào)遞增區(qū)間為

回=lnx+L

(2)由(1)得，g(x)=

XX

由g(xJ=g(X2)(X1<X2),得lnX|+"—=lnx2+一,即過餐=ln七?>().

X]X?X]X?X]

/\X)-X|?XXX.?x

要證/+為>2,需證(X]+X2)—」>21n」9，即證」9一一L>21n9^,

X]X?X]XjX?X]

xxxX

設(shè)」?=則要證上一一L>21n^-,等價(jià)于證:t-->21nt(t>l).

X[X]x2X]

11y(\\

令u(t)=t----21nt,則u'(t)=l+-y—=1—>0,

t'，t2tItJ

.?.u(t)在區(qū)間(l,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，u(t)>u(l)=O,

即t-；>21nt,故X]+X2>2.

20.(1)—+/=1(2)y=±^x+2

4-2

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及/一列方程，由此求得/,從,進(jìn)而求得橢圓的方程.

(2)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立直線/的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何

意義得到兩=函+礪，由此求得用點(diǎn)的坐標(biāo)，將A8,”的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后可求得直線/的斜率，由

此求得直線/的方程.

【詳解】

(1)由橢圓的離心率為且，點(diǎn)(1,且)在橢圓上，所以￡=正,1+工=1

S.a2-b2=c2

22a2a14b2

解得/=4,從=1,所以橢圓。的方程為三+產(chǎn)=].

4

(2)顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為3則直線/的方程為了="+2,設(shè)

4+32—]

A(%,y),8口,%),M(x0,y0),由<4一消去:得(1+4公)/+16依+12=0,

y=fcx+2

g416k12

所以玉+々=一百'*2=由'

由已知得OM=04+08,所以〈，由于點(diǎn)A、B、M都在橢圓上，

所以「+犬=1,J+y；=i,,+y；=L比尸+(必+%)2=1，

展開有(?■+>；)+(；+y；)+y+zy%=L2+玉々+4Y必=o，

4-4k2

又乂乂=（3+2）（優(yōu)+2）=k2xx+2%（內(nèi)+X）+4=

t221+4公

124-4公

所以2++4x=0015=4/,

1+4公1+4公

經(jīng)檢驗(yàn)滿足A=（164）2一4（1+4/）x12=64左2-48>0,

故直線/的方程為y=±"5x+2.

2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

21.(1)[—,+oo)；(2)(1,3).

3

【解析】

(1)對(duì)x分三種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果；(2)

2-x,x<1

尸(x)=卜，1?尤43,.作出函數(shù)E(x)的圖象，當(dāng)直線y=a與函數(shù)y=F(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，方程

12-3x,x>3

尸(x)=a有三個(gè)解，由圖可得結(jié)果.

【詳解】

(1)不等式〃x)W2x+3,即為|x-l|+lW2x+3.

當(dāng)x之1時(shí)，即化為x-l+lW2x+3,得xi—3,

此時(shí)不等式的解集為

當(dāng)x<l時(shí)，即化為—(x—l)+l?2x+3,解得工

此時(shí)不等式的解集為

綜上，不等式/(x)W2x+3的解集為-g，+8).

|x-11+1,x43

（2）F（x）=

12-3x,x>3,

2-x,x<l

即F(x)=<x,l<x<3,.

12-3x,x>3

作出函數(shù)尸(x)的圖象如圖所示,

當(dāng)直線y=。與函數(shù)y