本科畢業(yè)論文-微分方程穩(wěn)定性理論在再生資源管理與開發(fā)中的應用

內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)論文引言可再生自然資源（如生物資源等）是自然資源的重要組成部分,是發(fā)展經(jīng)濟,改善和提高人們生活質量的重要物質基礎.近年來,可再生資源的利用強度不斷增大,出現(xiàn)了資源枯竭、再生能力下降等現(xiàn)象.這類資源雖然可以再生,但也不是“取之不盡,用之不竭”的.所以,可再生資源的持續(xù)利用問題已成為當前學術界普遍關注的重要研究課題[1,2].但現(xiàn)有研究多偏重于定性分析,對有關最大可持續(xù)利用和最大商業(yè)利潤下的利用策略的研究較少,所以尋求可再生資源的最大可持續(xù)利用量問題也就成為資源科學研究中的一個要點.目前,雖然已有這方面線性利用策略的研究,但利用線性理論還不能更深入的研究這方面內容.所以,我們將利用非線性理論來研究可再生資源的管理與開發(fā).非線性科學作為一門嶄新的科學,已經(jīng)被應用到地學、環(huán)境科學、大氣科學和管理科學等領域中.它的最大特點是能夠量化研究事物之間的的關系和機理.只有深刻了解管理對象（要素）之間的內在動力學關系和演化機制,才能實施科學而有效的管理,從而達到最大限度的合理利用可再生資源的目的.由于資源的分布不合理,利用的方式也不同,實際的利用策略往往并不是線性的.所以本文嘗試運用非線性理論來研究在人類對可再生自然資源非線性利用條件下的策略問題.第一章微分方程穩(wěn)定性理論§1.1線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)[3]1.1.1系統(tǒng)的基本概念動力學研究的是系統(tǒng)如何隨時間而變化的.所謂系統(tǒng),就是指由一些相互聯(lián)系(或相互作用)的客體組成的集合.這些客體,既可以是自然科學中的一些物質,如氣體、液體、固體、化合物、生物的各部分或其整體,也可以是各種社會事物和組織,如各種群體或財政經(jīng)濟結構以及生產(chǎn)力和知識等較抽象的事物.系統(tǒng)的性質或特征是用一些所謂狀態(tài)變量(statevariables)所表征的,如粒子的坐標和動量,熱力學中的溫度、壓強和體積,化學反應中各化合物的濃度,以及社會現(xiàn)象中的人口和人口密度、生產(chǎn)力和生產(chǎn)資料,股票行情,等等.當這類狀態(tài)變量隨時間變化,也就是系統(tǒng)處于非平衡態(tài)時,此時的系統(tǒng)稱為動力(或動態(tài))系統(tǒng)(dynamicalsystem).動力學就是研究動力系統(tǒng)中狀態(tài)變量如何隨時間變化(即系統(tǒng)的運動)的一個學科.狀態(tài)變化的規(guī)律既可能表示為連續(xù)形式的微分方程或微分積分方程,也可能用關于狀態(tài)變量的離散方程表示.對于一個由微分方程表示的動力系統(tǒng),如果方程中不顯含時間,又稱其為自治的(autonomous)系統(tǒng);否則,稱其為非自治的(nonautonomous)系統(tǒng).1.1.2線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的概述非線性科學[4]的理論研究重要的一步是建立數(shù)學模型,通過建模來較逼真地描寫客觀動力系統(tǒng).要做到這一點,最為關鍵的就是關于相互作用的描述,包括系統(tǒng)內部的相互作用、系統(tǒng)與外部的相互作用,以及系統(tǒng)對這些作用的響應和反饋.關于相互作用的描述通?？煞譃榫€性和非線性兩類.線性描述的就是所謂的線性模式系統(tǒng),非線性描述的就是所謂的非線性模式系統(tǒng).線性模式系統(tǒng)對客觀動力系統(tǒng)的描寫是近似的,往往只適用于描寫系統(tǒng)局部和短時的行為,其特點就是數(shù)學上的簡單和物理上的一目了然.非線性模式系統(tǒng)對客觀動力系統(tǒng)的描寫是較客觀的和全局性的,不僅可以描述全空域還可以描寫全時域的行為.其代價就是模式上的復雜帶來了數(shù)學求解的困難,大部分的非線性模式是無法求出數(shù)學上的解析解的.為了解決這個矛盾,穩(wěn)定性理論及尋找其近似解的各種方法應運而生.在非線性科學誕生之前,人們多用線性模式來近似研究、處理非線性的客觀動力系統(tǒng).在客觀世界里,非線性作用和非線性現(xiàn)象是普遍的,而線性作用和線性現(xiàn)象則是非線性作用和非線性現(xiàn)象在極端條件下的特例,是極不普遍的.1.1.3線性和非線性的數(shù)學描述如果空間是均勻的（1.1）（1.2）只要是線性（關于或的一次冪）函數(shù),那么系統(tǒng)（1.2）式就是一線性系統(tǒng).如果是一非線性函數(shù),那么系統(tǒng)（1.2）式就是一非線性系統(tǒng).如果空間不均勻,即,則（1.3）即個別變化=局地變化+平流項.如果廣義速度是不均勻的,那么是一非線性項,所以不管是否為線性函數(shù),系統(tǒng)（1.2）都是一非線性系統(tǒng).如果廣義速度是均勻的,那么是一線性項.當是線性函數(shù)時,系統(tǒng)（1.2）式是一線性系統(tǒng),如果是一非線性函數(shù),系統(tǒng)（1.2）式則是一非線性系統(tǒng).1.1.4線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的特點線性系統(tǒng)具有以下顯著特點：均勻性（空間分布均勻、相互作用等權重）;獨立性（代數(shù)疊加律）;可逆性.所謂的可逆性指的是當,物理規(guī)律或結果僅變號而形式、分布不變,即非線性系統(tǒng)具有以下顯著特點：非均勻（空間分布、相互作用的方式、效應、結果隨時間、地點條件而變）;相干性（各要素喪失其獨立性,遵守矢量疊加原理）;不可逆性（空間不均勻所致,各要素的作用和重要性不同）,如生物進化、天氣演變、地球自轉等演化行為的不可逆性;存在支配與從屬、控制與反饋、策動與響應等對立矛盾的兩個方面.§1.2穩(wěn)定性分析理論1.2.1線性擾動方程所謂的定態(tài)指的是在一定參數(shù)下不隨時間變化的態(tài),也就是在相空間里靜止不動的點,即滿足以下條件的點:定態(tài)的物理意義是指相空間里廣義相速度為零的點(一個或多個),因為廣義速度為零,系統(tǒng)是靜止的(所以叫做“定”).上式是一代數(shù)方程組,可以容易求出其解:.定態(tài)的另一個物理含義則是指,當時系統(tǒng)將達到的態(tài).狀態(tài)（定態(tài)）的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)不隨參數(shù)或物理量的微小漲落而遠離該態(tài).在非線性科學里,由于非線性微分方程的求解的困難,一般是很難求得系統(tǒng)任意時刻的狀態(tài).假設系統(tǒng)的初態(tài)為某一定態(tài),現(xiàn)給系統(tǒng)一個擾動,,考察系統(tǒng)是否會遠離該定態(tài).擾動后的狀態(tài)為：（1.4）所謂的穩(wěn)定性分析就是研究時刻后該擾動是否放大或衰減.如果經(jīng)過充分長的時間后,擾動,系統(tǒng)將回到原來的初態(tài),則稱該定態(tài)是穩(wěn)定的.如果擾動不隨時間的增大而衰減并并趨于零反而增大,那么經(jīng)擾動后的狀態(tài)將隨時間的增加而遠離初態(tài).此時,我們稱該定態(tài)是不穩(wěn)定的.一般我們利用多項式展開法和Taylor展開法求非線性動力系統(tǒng)的某一定態(tài)的擾動方程,下面介紹確定非線性動力系統(tǒng)的某一定態(tài)的擾動方程的步驟：（1）求系統(tǒng)的定態(tài)解,：單變量系統(tǒng)：令 （1.5）或雙變量系統(tǒng)：令（1.6）由（1.5）或（1.6）式可求得系統(tǒng)的（由方程的冪次和維數(shù)所決定）個定態(tài)：或.（2）分別對每一個定態(tài)或計算Jacobi矩陣元,并寫出對應的Jacobi矩陣和擾動方程.個定態(tài)就有個擾動方程.1.2.2平衡態(tài)（系統(tǒng)）的穩(wěn)定性[5]我們知道,在一維、二維（元）情況下,系統(tǒng)的擾動方程都是線性的,即（1.7）（1.8）對于線性微分方程其解為;,（1.9）二維情況：（1.10）所以,線性擾動方程的解的形式是指數(shù)形式的.由于,擾動隨時間增大;,擾動隨時間減少.所以,的正負決定了系統(tǒng)（定態(tài)）的穩(wěn)定與不穩(wěn)定.而得實、虛數(shù)則決定系統(tǒng)定態(tài)的物理性質和空間的拓撲結構.現(xiàn)在,我們來討論如何確定的取值.將擾動方程的解代入擾動方程（1.10）式,利用可得所以,要使擾動為零解的條件是（1.11）即（1.12）其中是單位對角矩陣由（1.11）得（1.13）其中（1.14）（1.12）式的解,即特征方程的特征值：（1.15）我們把（1.12）式叫做定態(tài)（系統(tǒng)）的特征方程,而則為特征方程的特征根.定態(tài)的穩(wěn)定性分析的關鍵就是對取值的討論.將特征根寫為由（1.15）式可以得出以下的穩(wěn)定性條件判據(jù)：如果,擾動得到放大,平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;如果,擾動將得到衰減,平衡態(tài)是穩(wěn)定的;如果,而,平衡態(tài)是臨界穩(wěn)定的.1.2.3奇點（平衡態(tài)）的分類第一類：此時方程（1.15）式的兩個根和為同號、不等的實根,這意味著系統(tǒng)將不會出現(xiàn)振蕩（即非周期的曲線或直線）地趨近或遠離定態(tài),該定態(tài)（奇點）叫做結點.如果,兩個實根都是大于零的,擾動將隨時間增加而放大,解遠離平衡點,奇點為不穩(wěn)定的結點.如果,兩個實根都是小于零的,擾動將隨時間增加而減小,最終趨于零,解趨于平衡點,奇點為穩(wěn)定的結點.第二類：此時特征根是兩個異號（一正一負）的實根（奇點不穩(wěn)定）,即（1.15）式的解有兩支,一是趨于平衡點,一是遠離平衡點.該奇點稱為鞍點,此時相空間已分為四個區(qū),系統(tǒng)的演化軌線為馬鞍形.鞍點永遠是不穩(wěn)定的.第三類：此時特征值是兩個不等的復根,,而且這兩個復數(shù)根的實部都不為零..此時解的行為時振蕩形的,即做不等振幅的周期運動.我們把該奇點稱為焦點.如果,實部大于零,擾動隨時間增加而放大,解振蕩遠離平衡點（振幅不斷增加）,奇點為不穩(wěn)定的焦點.如果,實部小于零,擾動隨時間增加而減小,解振蕩趨近平衡點（振幅不斷衰減）,奇點為穩(wěn)定的焦點.第四類：此時特征值為純虛數(shù)（）,解為周期振蕩,奇點為中心點,中心點是臨界穩(wěn)定的.下面總結在已知數(shù)學模型的前提下,對非線性動力系統(tǒng)[6]進行數(shù)理分析的步驟：求定態(tài),令：解代數(shù)方程組;計算Jacobi矩陣元（用定態(tài)值代入）;寫出特征根方程一元;求解特征根方程的所有解,…;根據(jù)特征值的虛實和正負來判斷定態(tài)的性質和穩(wěn)定與否;①為純虛數(shù)時,平衡態(tài)是中心（系統(tǒng)作周期運動）;②為虛數(shù)時,平衡態(tài)是焦點（系統(tǒng)作變振幅的周期運動）;③為一正一負的實數(shù)時,平衡態(tài)是鞍點（系統(tǒng)作馬鞍形運動）;④兩值同為正或同為負的實數(shù)時,平衡態(tài)是結點（系統(tǒng)作非周期曲線或直線運動）;對于一維動力系統(tǒng),為正或負時,平衡態(tài)是結點（系統(tǒng)作直線運動）;⑤如果或,平衡態(tài)是不穩(wěn)定的,反之,或,平衡態(tài)是穩(wěn)定的.§1.3分岔理論[7]1.3.1分岔的定義、條件分岔理論是耗散結構理論、突變理論和混沌理論的基礎.所有的耗散結構、突變和混沌現(xiàn)象都必須經(jīng)過分岔.但分岔未必能夠出現(xiàn)耗散結構和混沌現(xiàn)象.所以分岔是耗散結構、突變和混沌的必要條件.分岔的定義：由于參數(shù)的變化,系統(tǒng)因原平衡態(tài)失穩(wěn)而進入新的平衡態(tài)的過程.分岔點的條件分岔點的必要條件分岔點意味著原來的平衡態(tài)失穩(wěn)而分出新的平衡態(tài),所以,分岔點必定是奇點（平衡態(tài)）.因此分岔點的必要條件是：一維（元）（1.16）二維（元）（1.17）分岔點的充分條件分岔意味著從一個態(tài)分岔出至少兩個態(tài)或兩個狀態(tài)分支,所以分岔點必定是臨界的.換句話說,分岔點是若干個奇點的一個,故要滿足臨界定態(tài)條件,即：從穩(wěn)定性分析理論可知,對于動力系統(tǒng)如果是奇點條件,那么則是奇點性質判別條件.當時,平衡態(tài)是穩(wěn)定的;當時,平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;當時,平衡態(tài)將由穩(wěn)定的變?yōu)椴环€(wěn)定的.所以（1.18）是一維動力系統(tǒng)出現(xiàn)分岔的充分條件（臨界定態(tài)條件）.對于二維情況,由特征根方程可知,如果這兩個根的實部在某參數(shù)值的一側為負,在另一側為正,而在中間則恰好為零,即,則在處有分支存在.所以,其分岔的充分條件為或（1.19）所以,分岔點的充要條件是和（一維）（1.20）和（二維）（1.21）1.3.2一維離散動力系統(tǒng)的分岔離散動力系統(tǒng)也稱映射（迭代）動力系統(tǒng),一維的映射（迭代）動力系統(tǒng)的數(shù)學表達式為（1.22）算子叫做操作,是迭代操作,反映了映射機制和迭代機制.算子相當于函數(shù),是系統(tǒng)本身的性質.的形式不同,所描寫的離散動力系統(tǒng)就不同,動力系統(tǒng)的行為也就不一樣,整個動力系統(tǒng)的行為取決于操作,這一點與連續(xù)動力系統(tǒng)的函數(shù)相似.對于確定的系統(tǒng),操作是確定的,只要知道初值,則可逐步迭代求出以后所有各步（次）的值.離散動力系統(tǒng)的不動點離散動力系統(tǒng)的不動點的物理意義類似于連續(xù)動力系統(tǒng)的平衡態(tài),都是描寫最終（）的狀態(tài),但數(shù)學上式有區(qū)別的.對于離散動力系統(tǒng)任意次迭代后仍然不變的點為不動點.所以,不動點的方程為（1.23）而連續(xù)動力系統(tǒng)的平衡態(tài)方程是（1.24）例1.1求的不動點.不動點方程為（）檢驗：將代入,得該不動點實際就是以下兩直線（方程）的交點：例1.2求蟲口（Logistic）模式的不動點（）.該模式說明下一代蟲口與父母數(shù)成正比,與環(huán)境容量成正比.其不動點方程為不動點為這兩個不動點實際就是以下兩方程的兩個交點：不動點的穩(wěn)定性離散動力系統(tǒng)不動點的穩(wěn)定性是由Floquet（夫洛開）乘子為判據(jù)的.這里的Floquet乘子類似于連續(xù)動力系統(tǒng)的Jacobi矩陣的特征值,作為判據(jù),其性質類似于.（1.25）對于蟲口模式,,當時,系統(tǒng)只有一個解.而且（）是穩(wěn)定的.當,系統(tǒng)有兩個解：;.對于：（）不動點不穩(wěn)定.對于：,（）不動點是穩(wěn)定的.所以,當參數(shù)從變到時,系統(tǒng)發(fā)生分岔,分岔點的參數(shù)值為,一個穩(wěn)定的失穩(wěn)后分岔出一個穩(wěn)定的.上面我們介紹了蟲口模式一個不動點的情況,是否還有其他的不動點？我們知道離散系統(tǒng)的周期解就是不動點,一個不動點叫周期1,其表達式是.二個不動點叫周期2,其表達式是,即描寫了連續(xù)兩次操作：以此類推,個不動點叫周期,其表達式是,即描寫了次連續(xù)操作.例1.3對于系統(tǒng),其連續(xù)兩次操作結果為系統(tǒng)只有一個不動點.但對于Logistic模式,連續(xù)二次操作結果為即系統(tǒng)有4個解（不動點）,（1.26）不動點和是原來的兩個不動點,而和才是周期2的新解.由于和是周期2的解（不動點）,則有（1.27）（1.27）式說明了,如果第一年蟲口是,第二年就是,第三年又是,第四年又是,…….這是典型的雙穩(wěn)態(tài)如野生螃蟹今年是大年捕撈的多,明年是小年少捕撈（捕撈的人也少了）,后年又是大年,…….例如,取,則,,即不同年（代）的蟲口只在這兩個值上下往返跳動：這就是周期2的物理意義.周期的穩(wěn)定性判據(jù)周期的穩(wěn)定性也滿足（1.25）式,但此時（1.28）對于Logistic模式,由周期1的條件可知：除了是個分岔點,也是一個分岔點,即當參數(shù)時,原來穩(wěn)定的將失穩(wěn),但分岔出新的兩個態(tài)和.當（1.29）即當時,和又將失穩(wěn),各將分岔出兩個（共是4個）新態(tài),該過程是倍分岔.如時,將分岔出當,,不動點和都是穩(wěn)定的.對于Logistic模式,其參數(shù)取值與分岔過程如下：一個態(tài)分岔出2個新的穩(wěn)定態(tài)（）;1～2分岔;和各自分岔出2個新的穩(wěn)定態(tài),2～4分岔;上述的4個態(tài)將分岔出8個新的態(tài),4～8分岔.……周期,,次操作：后,由可知共有個態(tài),其中的個態(tài)是新的平衡態(tài).例1.4蟲口模式：,其中.,有利于蟲口繁衍,,不利于蟲口繁衍.當,不動點方程為求得不動點對于,穩(wěn)定對于,不穩(wěn)定周期1分岔點的參數(shù)約束為所以,當,不動點失穩(wěn),分岔出新的不動點（周期2）,它們滿足：第二章再生資源管理與開發(fā)模型的建立§2.1模型建立的前提[8]在人類有限度的收獲（捕撈、收割、采集、砍伐等）下,資源一般具有自我恢復能力,即再生能力.漁業(yè)資源是一種典型的再生資源,在陸地資源日漸匱乏的21世紀,漁業(yè)這一再生資源尤為重要.所以本文將以漁業(yè)為例來說明再生資源的管理與開發(fā),將介紹Scheafer資源開發(fā)模型和有關的最大經(jīng)濟效益的收獲策略等基本理論和方法,這些理論和方法對任意的可再生資源的管理與開發(fā)都適用.對再生資源最重要的就是適度開發(fā),不能為了一時的高產(chǎn)去“竭澤而漁”.人類應該在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的大前提下,才可以追求最高產(chǎn)量或最優(yōu)的經(jīng)濟效益.所以,資源開發(fā)與資源管理是一對矛盾.所謂的開發(fā)就是收獲或捕撈,對資源或對蟲口（如魚口）的增長來說,這相當于一個阻力或死亡因素.而所謂的管理,就是捕撈策略.其前提就是必須維持穩(wěn)定的魚量或資源量,而后再研究如何控制捕撈或使持續(xù)產(chǎn)量最大或使捕撈（收獲）的經(jīng)濟效益最大[9].產(chǎn)量和經(jīng)濟效益是兩個不同的概念,產(chǎn)量高未必經(jīng)濟效益就好,這與收獲的代價和市場的價值有關.§2.2Scheafer模型的建立假設在沒有捕撈的情況下,魚（或任意養(yǎng)殖種群）的數(shù)量（魚口）遵守Logistic的蟲口模式：（）（2.1）其中,是物種不受環(huán)境和資源的限制的固有增長率,是自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大蟲口數(shù)量（密度）.設捕撈強度為,表示特定的捕撈策略,即要求捕魚者每天只能捕撈一定的數(shù)量,該數(shù)量決定了出海的漁船數(shù)和噸位數(shù);捕撈系數(shù)為,表示單位強度下的捕撈率.則單位時間的捕撈率為：.如果假設單位時間的捕撈量與漁場魚量成正比,則（2.2）為方便起見,（2.2）式取.由Logistic模型（2.1）式和條件（2.2）式可以容易得到在捕撈情況下漁場魚量滿足的動力方程,即Scheafer模型：()（2.3）這是一個一階二次非線性方程.系統(tǒng)的分岔點的充要條件為即（2.4）（2.4）式的解為所以,系統(tǒng)的分岔條件是,而分岔點為.另一方面,由平衡點（態(tài)）條件或可知Scheafer系統(tǒng)（2.3）式有兩個平衡點（態(tài)）：平衡點的性質和穩(wěn)定性討論如下：對于（2.5）即當,為不穩(wěn)定結點（適度捕撈,系統(tǒng)將離開0而增長）,而當,為穩(wěn)定結點（過度捕撈,系統(tǒng)始終為0,滅絕了）.對于平衡態(tài),因為（2.6）（2.6）式說明,當（適度捕撈）時,為穩(wěn)定結點（永遠捕撈不完）;而當（過度捕撈）,為不穩(wěn)定結點（離開平衡態(tài),向滅絕發(fā)展）.綜合（2.5）和（2.6）式有以下結論：（1）時,是一臨界條件,即分岔條件,而分岔點為;（2）時,適度捕撈,魚口將從不穩(wěn)定的向穩(wěn)定的平衡態(tài)發(fā)展,這時漁場里的魚,永遠捕撈不完.我們可以獲得持續(xù)的產(chǎn)量：（2.7）而我們如果進行過度捕撈,即時,魚口將從穩(wěn)定的向滅絕態(tài)發(fā)展.事實上Scheafer系統(tǒng)的含時解可以用初等積分法求得（2.8）其中為初始魚量.當,時,解漸近地趨于解（穩(wěn)定態(tài)）.說明:只要捕撈適度（）,漁場的魚群總能自行調節(jié)到持續(xù)生產(chǎn)水平上去,從而獲得持續(xù)產(chǎn)量.當,時,解漸近地趨于解(穩(wěn)定態(tài)）.注意,此時的,為負數(shù),是不穩(wěn)定的,即不現(xiàn)實的態(tài).說明:當捕撈過度時（）,漁場魚量將減至,當然談不上獲得持續(xù)產(chǎn)量了,或持續(xù)產(chǎn)量.所以過度捕撈只能以逐日減產(chǎn)的形式維持一段時間,直至魚量為0后而沒有任何的捕撈量,系統(tǒng)才達到真正的平衡.第三章模型的分析與結果討論在第二章里,我們只考慮資源（魚量）的可否持續(xù)發(fā)展（捕撈）的問題,而沒有考慮捕撈的經(jīng)濟效應[10].如果每次航海只捕撈幾斤的魚,是沒有實際意義的,盡管魚量不會滅絕.這里包含兩個問題：一是每日或每月最多可持續(xù)捕撈多少;二是每次捕撈既要保證可持續(xù)性,又要保證以最少的捕撈費用得到最大的可持續(xù)捕撈魚量.前一問題是關于最大可持續(xù)（收獲）捕撈量,而后一問題則是關于如何才能做到漁資源在持續(xù)捕撈的條件下為人們提供最大收益的經(jīng)濟問題.§3.1最大持續(xù)收獲量策略下面先解決第一個問題,即最大持續(xù)捕魚（收獲）量的策略[11].從數(shù)學上來看,最大持續(xù)捕魚（收獲）量的策略就是取某一特定的捕撈策略,使可持續(xù)產(chǎn)量（穩(wěn)定的平衡態(tài)）,或持續(xù)產(chǎn)量為極值（最大捕撈而不滅絕）.即（3.1）將代入,得（3.2）從而求得最大可持續(xù)捕撈量（3.3）而漁場的穩(wěn)定魚量,即平衡態(tài)（3.4）從以上的討論可知,是得到最大持續(xù)捕魚（收獲）量的策略.如果每天捕的魚量,則為每天的凈增長率;如果每月捕的魚量,則為每月的凈增長率.§3.2最大經(jīng)濟效益[12]的收獲（捕撈）策略現(xiàn)在我們來討論第二個問題,即如何才能在持續(xù)捕撈（收獲）的條件下為人類提供最大的經(jīng)濟效益.眾所周知,當今對（魚類）資源的開發(fā)、利用的目的不是追求最大收（捕撈）量,而是最大經(jīng)濟效益.最簡單的經(jīng)濟效益模型就是用從捕撈所得到的收入中扣除開支后的利潤來衡量.因此,我們簡單的假設：單位捕撈強度（如每條出海漁船）的費用為（常數(shù)）,魚的銷售為（常數(shù)）,那么單位時間的收入和支出分別為（3.5）單位時間的利潤為 （3.6）所謂最大的經(jīng)濟收益就是在使魚量穩(wěn)定在（3.7）的約束條件下的（3.8）取極（最大）值.令：,有（3.9）比較（3.2）式最大捕撈下的強度可知,在最大經(jīng)濟效益下,捕撈強度減小了.而最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量為：（3.10）比最大捕撈量下的魚量（3.3）式增加了.最大利潤下漁場單位時間的持續(xù)產(chǎn)量為（3.11）較最大捕撈下的持續(xù)產(chǎn)量有所減小.在最大經(jīng)濟效益下的最大可持續(xù)凈收益[13,14]（3.12）或最大可持續(xù)凈收益=最大利潤下漁場單位時間的持續(xù)產(chǎn)量價格即與前一模型相比較可以看出,在最大效益原則下捕撈強度和持續(xù)產(chǎn)量均有減少,而漁場的魚量則有所增加.而且所減少或所增加的比例隨著捕撈成本的增長（捕得較少）而變大,隨著銷售價格的增長（價格貴,則多捕一點）而變小,這顯然是符合實際情況的.所以,在固定的成本價格體系中以優(yōu)化持續(xù)利潤[15]為目標將會起到保護生物種群的作用,而不會刺激人們對資源進行掠奪式開發(fā).結論本文主要介紹了非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和分岔理論,以及它們在再生資源管理與開發(fā)中的應用.本文運用非線性理論,建立了可再生資源（以漁業(yè)資源為例）二次非線性收獲的動力模式.本文通過理論知識的介紹,進一步熟悉了微分方程穩(wěn)定性理論和分岔理論的知識,在這些知識的基礎上,建立了可再生資源管理與應用的模型,通過對模型的分析與討論,我得到以下結論：為了保證可再生資源的可持續(xù)利用,必須控制收獲量,采取合理的周期性收獲策略,才能避免可再生資源的過度利用,正確處理好經(jīng)濟發(fā)展與可再生資源保護之間的關系.由于自己學習的還不夠全面,因此,本文只粗淺的討論了可再生資源的最大持續(xù)收獲策略和最大經(jīng)濟效益的收獲策略.隨著現(xiàn)代社會經(jīng)濟的發(fā)展和科學技術的進步,在以后的研究中人們肯定還會利用微分方程的穩(wěn)定性理論,對再生資源的管理與開