椅子能在不平的地面放穩(wěn)嗎

椅子能在不平的地面放穩(wěn)嗎？問題提出把一張椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，然而只需稍為轉動一定角度，就可以使四只腳同時著地，即放穩(wěn)了。怎樣用數學模型來描述和證明這個實際問題呢？模型假設

為了能用數學語言描述，對椅子和地面需作一些必要的假設。

1.椅子四只腳一樣長，椅腳與地面接觸處視為一個點。四只腳的連線呈正方形。（對椅子的假設）2.地面的高度是連續(xù)變化的，即可視為數學上的連續(xù)曲面。（對地面的假設）3.地面是較平坦的，使椅子在任何時候都同時有三只腳同時著地。（對兩者關系的假設）模型建立主要問題是如何用數學語言把椅子四只腳同時著地的條件表達出來。1.引入函數ABCDA’B’ABCDA’B’C’D’θ設f(θ)表示椅腳A與C兩腳到地面距離之和；g(θ)表示椅腳B與D兩腳到地面距離之和.2.函數的性質由假設2，函數f(θ)與g(θ)是θ的非負連續(xù)函數，0≤θ≤2π;由假設3，對任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0，不妨設f(0)>0,g(0)=0；當把椅子轉動π/2時，則AC與BD互換了位置，由假設1，f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).3.把問題化作數學命題

椅子四只腳同時著地等價于存在一點θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.因此，原問題等價于以下命題：命題已知函數f(θ)與g(θ)是θ的非負連續(xù)函數，0≤θ≤2π，且滿足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）對任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).則必存在一點θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.模型求證命題已知函數f(θ)與g(θ)是θ的非負連續(xù)函數，0≤θ≤2π，且滿足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）對任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).則必存在一點θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.求證：

∵f(0)>0,g(0)=0∴f(π/2)=g(0)=0,g(π/2)=f(0)>0

令h(θ)=f(θ)-g(θ),則在[0，π/2]上連續(xù)且h(θ)=f(0)-g(0)>0,h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)<0由連續(xù)函數介值定理可知，必存在一點0<θ0<π/2使h(θ0)=0即f(θ0)=g(θ0)，∵f(θ0)與g(θ0)至少有一個為0，∴f(θ0)=g(θ0)=0模型的解的意義是

在滿足三點假設的前提下，我們證明了通過轉動椅子，必定可把它放穩(wěn)，而且轉動的角度不需超過90度（順時針或逆時針）。思考1.若把假設中的“四只腳的連線呈正方形”改為“四只腳的連線呈長方形”，你認為結論成立嗎？2.若把假設中的“四只腳的連線呈正方形”改為“四只腳共圓”，則結果中有如何？答案：1.若把假設中的“四只腳的連線呈正方形”改為“四只腳的連線呈長方形”，則結果中的π/2改