幾種常見數列的求和方法及相應練習

數列——數列求和【考題回放】1.（北京卷）設，則等于（） A. B.C. D.2.等差數列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=（）A．9B．10C．11D．123.（福建）數列的前項和為，若，則等于（）A．1B．C．D．4.（全國II）設Sn是等差數列｛an｝的前n項和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，則EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝（）A.EQ\f(3,10)B.EQ\f(1,3)C.EQ\f(1,8)D.EQ\f(1,9)5.（天津卷）已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等于（）A．55B．70C．85D．1006.（江蘇卷）對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是數列求和常用方法一、直接求和法（或公式法）將數列轉化為等差或等比數列，直接運用等差或等比數列的前n項和公式求得.①等差數列求和公式：②等比數列求和公式：（切記：公比含字母時一定要討論）例1:（07高考山東文18）設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．（1）求數列的通項公式．（2）令求數列的前項和．例2：已知，求的前n項和.針對訓練1：設Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法。若，其中是等差數列，是公比為等比數列，令則兩式相減并整理即得例2（07高考天津理21）在數列中，，其中．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求數列的前項和；例3：（07高考全國Ⅱ文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，（Ⅰ）求，的通項公式；（Ⅱ）求數列的前n項和．針對訓練2：設數列滿足，．（Ⅰ）求數列的通項；（Ⅱ）設，求數列的前項和．求和：3.求數列前n項的和.三、裂項求和法這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例1：求數列的前n項和.例2：（06湖北卷理17）已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；針對訓練3：1.在數列{an}中，，又，求數列{bn}的前n項的和.2：求證：四、分組求和法所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并。例1：數列{an}的前n項和，數列{bn}滿.（Ⅰ）證明數列{an}為等比數列；（Ⅱ）求數列{bn}的前n項和Tn。例2：求數列，的前項和．針對訓練4：求和：五、并項求和法：針對一些特殊的數列，將其某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的前n項和時，可將這些項放在一起先求和.例1、已知數列的前n項和，求.例2：在各項均為正數的等比數列中，若的值.例3：求數列的前n項和：，…針對訓練5：1：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.2：求（）倒序相加法：類似于等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.例1：已知函數證明：；（2）求的值.例2：（07豫理22.）設