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2024屆甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱(chēng)為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō),他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.2.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.4.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn),若為線段的中點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī),算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī),則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,6.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.7.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.9.平行四邊形中,已知,,點(diǎn)、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.10.已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.11.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.612.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.14.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)____.15.已知是第二象限角,且,,則____.16.在矩形中,,為的中點(diǎn),將和分別沿,翻折,使點(diǎn)與重合于點(diǎn).若,則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面積.18.(12分)直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),且,若,到軸距離的乘積為.(1)求的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求直線的方程.19.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.(1)求橢圓的方程;(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和21.(12分)已知函數(shù),(1)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn),,若,求的最小值.22.(10分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤,,當(dāng)時(shí),不妨取,,故時(shí),不成立,當(dāng)時(shí),不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.3、A【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.4、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn),∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對(duì)于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).5、B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績(jī)不小于80的有12個(gè),成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.6、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.7、B【解析】
由題意得出的值,進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,因此,該雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率,利用公式計(jì)算較為方便,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價(jià)于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大,所以,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.9、C【解析】
將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運(yùn)算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn),結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.12、C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
變換得到,計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】
代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解:雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,解得,即.又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.16、.【解析】
計(jì)算外接圓的半徑,并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過(guò)外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)面,即可得解.【詳解】由題意可知,,所以可得面,設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理可得,即,,設(shè)三棱錐外接球的半徑,因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^(guò)底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn),則,所以外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=1,結(jié)合sinB>1,可求tanA=,結(jié)合范圍A∈(1,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解.【詳解】(1)∵bcosA﹣asinB=1.∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=1,∵sinB>1,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(1,π),∴A=;(2)∵a=2,B=,A=,∴C=,根據(jù)正弦定理得到∴b=6,∴S△ABC=ab==6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)【解析】
(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),由距離之積為16,可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算,將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點(diǎn)均在拋物線上,即可求得p的值,從而求出拋物線的方程;(2)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過(guò)定點(diǎn),將面積用參數(shù)t表示,求出其最值,并得出此時(shí)的直線方程.【詳解】解:(1)由題設(shè),因?yàn)?,到軸的距離的積為,所以,又因?yàn)?,,,所以拋物線的方程為.(2)因?yàn)橹本€與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn),所以的斜率不為,所以設(shè)聯(lián)立,得,即,,即直線恒過(guò)定點(diǎn),所以,當(dāng)時(shí),面積取得最小值,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與拋物線相交的問(wèn)題,其中垂直條件的轉(zhuǎn)化,直線過(guò)定點(diǎn)均為該題的關(guān)鍵,屬于綜合性較強(qiáng)的題.19、(1);(2)【解析】
(1)又題意知,,及即可求得,從而得橢圓方程.(2)分三種情況:直線斜率不存在時(shí),的斜率為0時(shí),的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式以及四邊形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】(1)由焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直及橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,,∵過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.又,解得.∴橢圓的方程為(2)由(1)可知圓的方程為,(i)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的斜率為0,此時(shí)(ii)當(dāng)直線的斜率為零時(shí),.(iii)當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得,設(shè)的橫坐標(biāo)分別為,則.所以,(注:的長(zhǎng)度也可以用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理計(jì)算.)由可得直線的方程為,聯(lián)立橢圓的方程消去,得設(shè)的橫坐標(biāo)為,則..綜上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,解答此類(lèi)題目,通常利用的關(guān)系,確定橢圓方程是基礎(chǔ);通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓方程建立方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù),得到目標(biāo)函數(shù)解析式,運(yùn)用函數(shù)知識(shí)求解;本題是難題.20、(1);(2)【解析】
(1)由化為,利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系,得到是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時(shí),數(shù)列從開(kāi)始成等差數(shù)列,,代入得是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;極小值,無(wú)極大值;(2)【解析】
(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解不等式,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到函數(shù)的極值;(2)由題意可得,,求出的表達(dá)式,,求出h(t)的最小值即可.【詳解】(1)將代入中,得到,求導(dǎo),得到,結(jié)合,當(dāng)?shù)玫剑涸鰠^(qū)間為,當(dāng),得減區(qū)間為且在時(shí)有極小值,無(wú)極大值.(2)將解析式代入,得,求導(dǎo)得到,令,得到,,,,,,,,因?yàn)?,所以設(shè),令,則所以在單調(diào)遞減,又因?yàn)樗?所以或又因?yàn)椋运?所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值的意義,考查轉(zhuǎn)化思想與減元意識(shí),是一道綜合題.22、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為、,由(1)知,,且滿足,,
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