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2024屆河南名校聯(lián)盟高三上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,則()A. B. C. D.2.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面,已知這三人都不會(huì)違約且無(wú)兩人同時(shí)到達(dá),則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是()A. B. C. D.3.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要4.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn),則雙曲線的方程為()A. B. C. D.7.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.8.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.9.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫(xiě)的條件是()A. B. C. D.10.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.11.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.412.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若、滿足約束條件,則的最小值為_(kāi)_____.14.若函數(shù),則__________;__________.15.設(shè)為正實(shí)數(shù),若則的取值范圍是__________.16.銳角中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,若,則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,直角梯形ABCD中,,,,四邊形EDCF為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:平面ABE;(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為,若存在,求出線段BP的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán),由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生,低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.20.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求證:.21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的面積.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè)不等式的解集為,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦模?所以,所以,因?yàn)?,所以,故選A.【點(diǎn)睛】對(duì)于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.2、D【解析】
先判斷是一個(gè)古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù),再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.4、A【解析】
作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.5、D【解析】
先根據(jù)已知條件求解出的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因?yàn)?,?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡(jiǎn)得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問(wèn)題.6、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點(diǎn)代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.7、A【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】
根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)的值,進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時(shí)輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。12、A【解析】
由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出不等式組所表示的可行域,利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,即點(diǎn),平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、01【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,代入即可求解.【詳解】函數(shù),所以,.故答案為:0;1.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù),可得,進(jìn)而,有,而,令,得到,再用導(dǎo)數(shù)法求解,【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,令,,所以,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題,16、【解析】
由余弦定理,正弦定理得出,從而得出,推出的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍,再利用二倍角公式化簡(jiǎn),即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡(jiǎn)得又為銳角三角形,則,,.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(I)見(jiàn)解析(II)(III)【解析】試題分析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的法向量,且,據(jù)此有,則平面.(Ⅱ)由題意可得平面的法向量,結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,則,而平面的法向量,據(jù)此可得,解方程有或.據(jù)此計(jì)算可得.試題解析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,∴,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),又,∴,∴,又∵平面,∴平面.(Ⅱ)∵,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),∴,∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,∴,∴,又∵平面的法向量,∴,∴,∴或.當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴.綜上,.18、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有;(2)分布列見(jiàn)解析,,.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在、之間的學(xué)生人數(shù),可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算的值,結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論;(2)從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間的學(xué)生人數(shù)為,在之間的學(xué)生人數(shù)為,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計(jì)男8030110女405090總計(jì)12080200又,所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān).(2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,則該人為“文科方向”的概率為.依題意知,所以(),所以的分布列為0123P所以期望,方差.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差,屬于中檔題.19、詳見(jiàn)解析【解析】
選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計(jì)算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計(jì)算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡(jiǎn)得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因?yàn)?,所以,即;由余弦定理得,即,化?jiǎn)得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡(jiǎn)得,解得或(舍去);所以邊上的高為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)通過(guò)證明,即可證明線面平行;(2)通過(guò)證明平面,即可證明線線垂直.【詳解】(1)連,因?yàn)闉槠叫兴倪呅危瑸槠渲行?,所以,為中點(diǎn),又因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行和線面垂直,通過(guò)線面垂直得線線垂直,關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理,找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.21、(1)的值為或.(2)【解析】
(1)分類討論,當(dāng)時(shí),線段與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),能取得最小值,利用拋物線的焦半徑公式即可求解;當(dāng)時(shí),線段與拋物線有公共點(diǎn),利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.(2)由題意可得軸且設(shè),則,代入拋物線方程求出,再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題,,若線段與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn),即時(shí),設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)共線時(shí),的最小值為,此時(shí)若線段與拋物線有公共點(diǎn),即時(shí),則三點(diǎn)共線時(shí),的最小值為:,此時(shí)綜上,實(shí)數(shù)的值為或.因?yàn)?,所以軸且設(shè),則,代入拋物線的方程解得于是,所以【點(diǎn)睛】
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