2024屆河南省周口市淮陽(yáng)一中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析_第1頁(yè)
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2024屆河南省周口市淮陽(yáng)一中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.82.已知集合,,則等于()A. B. C. D.3.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.4.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.5.已知為圓:上任意一點(diǎn),,若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C.() D.()6.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤(rùn)最大C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤(rùn)超過400萬(wàn)元7.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為88.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.9.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為()A. B. C. D.11.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.14012.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.128二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.不等式的解集為________14.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.15.函數(shù)的定義域是___________.16.已知函數(shù)為偶函數(shù),則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求證:19.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,20.(12分)為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭(zhēng)有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援,現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82821.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線與直線其中的一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)極徑.極角(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)已知直線的直角坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的面積.22.(10分)某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時(shí),公路的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度;(2)當(dāng)公路的長(zhǎng)度最短時(shí),設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點(diǎn),并測(cè)得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開鑿的隧道的長(zhǎng)度.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空,有種,所以共有種.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

解不等式確定集合,然后由補(bǔ)集、并集定義求解.【詳解】由題意或,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算,以及一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說明擬合效果好.4、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.5、B【解析】

如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤(rùn)最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤(rùn)為380萬(wàn)元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.7、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.8、C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn),斜率為,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得②.由①②對(duì)比系數(shù)得,化簡(jiǎn)得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計(jì)算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.10、A【解析】

根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓,根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離,由此求解出截面圓的半徑,從而截面面積可求.【詳解】如圖所示:設(shè)內(nèi)切球球心為,到平面的距離為,截面圓的半徑為,因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半,所以球的半徑為,又因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,所以,所以截面圓的半徑,所以截面圓的面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算,難度一般.任何一個(gè)平面去截球,得到的截面一定是圓面,截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.11、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C12、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行上述程序框圖,可得第1次循環(huán),滿足判斷條件,;第2次循環(huán),滿足判斷條件,;第3次循環(huán),滿足判斷條件,;第4次循環(huán),滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

通過平方,將無(wú)理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得,解得,所以解集是?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理不等式的解法。14、【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負(fù),對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程,化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù),所以,即,即,即,即,即,即,即,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求得切線的斜率,則切線方程得解;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),對(duì)參數(shù)分類討論,求得函數(shù)的單調(diào)性,以及最值,即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則.所以.又,故所求切線方程為,即.(Ⅱ)依題意,得,即恒成立.令,則.①當(dāng)時(shí),因?yàn)?,不合題意.②當(dāng)時(shí),令,得,,顯然.令,得或;令,得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),,,所以,只需,所以,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題,屬綜合中檔題.18、(1)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對(duì)恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因?yàn)槎x域?yàn)?,所以,時(shí),,即在和上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對(duì)恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.19、(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;(2)由公式可得:,,所以所求回歸直線方程為:;(3)根據(jù)題意,設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即時(shí),煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程,利用線性回歸方程的求法得解,結(jié)合基本不等式求最值.20、(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).【解析】

(1)排序后第10和第11兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù);(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表;(3)由列聯(lián)表計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016(3)由于,因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),正確認(rèn)識(shí)莖葉圖是解題關(guān)鍵.21、(1)極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2

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