專題12.1 概率、條件概率與全概率公式【解析版】

專題12.1概率、條件概率與全概率公式【核心素養(yǎng)】1.考查簡(jiǎn)單排列組合計(jì)算及古典概率的計(jì)算，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2.結(jié)合獨(dú)立性考查條件概率的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生B?A(或A?B)相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA＝B并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B(或A＋B)交事件(積事件)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A∩B(或AB)互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生A∪B＝Ω，且A∩B＝?知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三古典概型(1)具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型實(shí)驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．(2)古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．特別地，對(duì)任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五事件的獨(dú)立性(1)兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.必然事件Ω，不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立.(2)相互獨(dú)立的性質(zhì)：如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)六頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)七條件概率1．條件概率定義一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計(jì)算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)2．條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．3．【兩點(diǎn)說明】（1）如果知道事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；（2）已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計(jì)算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)八全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)九貝葉斯公式(1)一般地，當(dāng)0＜P(A)＜1且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).【拓展】貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之間的轉(zhuǎn)化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之間的內(nèi)在聯(lián)系．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：有限樣本空間【典例分析】例11．（2022上·高二校考單元測(cè)試）有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在結(jié)冰；④買了一注彩票就得了特等獎(jiǎng)．其中是隨機(jī)事件的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)事件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】①④是隨機(jī)事件，②為必然事件，③為不可能事件.故選：B例12.（2023上·上海閔行·高二校考期末）將一顆骰子先后拋擲2次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為a和b，設(shè)事件A：“是3的倍數(shù)”，事件B：“”，事件C：“a和b均為偶數(shù)”.(1)寫出該試驗(yàn)的一個(gè)等可能的樣本空間，并求事件A發(fā)生的概率；(2)求事件B與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.【答案】(1)樣本空間見解析，；(2).【分析】（1）列舉法寫出樣本空間，古典概型的概率求法求事件A發(fā)生的概率；（2）列舉出事件的基本事件，即可求事件B與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.【詳解】（1）如下表格，行表示，列表示，123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知：樣本空間中基本事件有，共有36種；事件的基本事件有，共有12種；所以.（2）事件的基本事件有，共有5種；事件的基本事件有，共有9種；所以，事件的基本事件有，共有11種，所以.【總結(jié)提升】確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件．(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．【變式訓(xùn)練】變式11．（2023上·新疆·高二八一中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)擲一粒骰子的試驗(yàn)，在概率論中把“出現(xiàn)零點(diǎn)”稱為（）A．樣本空間 B．必然事件 C．不可能事件 D．隨機(jī)事件【答案】C【分析】列出試驗(yàn)中的樣本點(diǎn)數(shù)，即可求解.【詳解】解：對(duì)擲一粒骰子的試驗(yàn)，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為：1，2，3，4，5，6，所以在擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)零點(diǎn)是不可能事件，故選：C．變式12.（2023上·河南信陽·高二潢川一中?？茧A段練習(xí)）同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合列舉法求得事件和事件，進(jìn)而得到兩事件的關(guān)系，得到答案.【詳解】由同時(shí)拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故選：C.題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算【典例分析】例21.{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件，；(2)若事件，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？【答案】(1)，(2)【分析】（1）由隨機(jī)事件，求出樣本點(diǎn)，然后求解即可；（2）由事件E，結(jié)合已知事件A、B、C、D求解即可.【詳解】（1）由題意得，事件，事件，事件，事件.則，；（2）由（1）知，事件，，因?yàn)椋?例22.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)某人向一個(gè)目標(biāo)連續(xù)射擊3次，用事件表示隨機(jī)事件“第i次射擊命中目標(biāo)”（，2，3），指出下列事件的含義：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析．【分析】（1）根據(jù)事件交的定義說明；（2）根據(jù)事件的交與補(bǔ)的定義說明；（3）根據(jù)事件并與補(bǔ)的定義說明；（4）根據(jù)事件補(bǔ)與交的定義說明．【詳解】（1）表示第1次和第2次都擊中目標(biāo)；（2）表示第3次未擊中目標(biāo)，表示第1次和第2次都擊中目標(biāo)且第3次未擊中目標(biāo)；（3）表示第1次或第2次擊中目標(biāo)，事件第1次和第2次都未擊中目標(biāo)；（4）表示第()次未擊中目標(biāo)，表示3次都未擊中目標(biāo)．【總結(jié)提升】互斥事件、對(duì)立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的觀點(diǎn).兩者的區(qū)別及聯(lián)系：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，有如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生.兩個(gè)事件A與B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況.因此，互斥未必對(duì)立，但對(duì)立一定互斥.【變式訓(xùn)練】變式21.（2023·全國·高一課堂例題）拋擲兩枚骰子，一枚是紅色的，一枚是藍(lán)色的．設(shè)“紅骰子的點(diǎn)數(shù)是2”，“藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)是3”．(1)寫出樣本空間，并用樣本點(diǎn)表示事件A，B；(2)計(jì)算；(3)計(jì)算．【答案】(1)答案見解析；(2)“紅骰子是2點(diǎn)，藍(lán)骰子是3點(diǎn)”；(3)“紅骰子是2點(diǎn)或藍(lán)骰子是3點(diǎn)”.【分析】（1）用表示紅骰子的點(diǎn)數(shù)是i，藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)是j，寫出樣本空間及事件.（2）結(jié)合（1），利用積事件的意義即可求解.（3）結(jié)合（1），利用和事件的意義即可求解.【詳解】（1）用表示紅骰子的點(diǎn)數(shù)是i，藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)是j，則試驗(yàn)的樣本空間是．依題意，.（2）“紅骰子是2點(diǎn)，藍(lán)骰子是3點(diǎn)”．（3）“紅骰子是2點(diǎn)或藍(lán)骰子是3點(diǎn)”．變式22.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件，，，求下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)事件并的定義求解；（2）根據(jù)事件交的定義求解；（3）根據(jù)事件的補(bǔ)（對(duì)立事件）和交的定義求解；（4）根據(jù)事件的補(bǔ)（對(duì)立事件）和交的定義求解；【詳解】（1）由已知；（2）由題意；（3）由已知，，所以（4）由已知，，所以．題型三：古典概型【典例分析】例31.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表：乙甲123456123456共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個(gè)，因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率.故選：A例32.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為.故選：D.【總結(jié)提升】1.用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個(gè)數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題步驟如下：①定型，即根據(jù)古典概型的特點(diǎn)——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù)．③求值，代入公式P(A)求值．2.稍微復(fù)雜的問題，往往在于簡(jiǎn)單排列組合問題的解答.【變式訓(xùn)練】變式31.（2022·全國·高考真題（理））從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．【答案】.【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．變式32.（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，我國勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù)．算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為．縱式：橫式：【答案】【分析】先求出一共擺出的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，再求出個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的兩位數(shù)，利用古典概率公式計(jì)算即可.【詳解】用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，共可以擺出個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；共有種；所以，個(gè)位和十位上算籌不一樣多的概率為種；故答案為：題型四：相互獨(dú)立事件判斷【典例分析】例41．【多選題】（2023上·湖北·高二武漢市第四中學(xué)校聯(lián)考期中）下面結(jié)論正確的是（

）A．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件B．若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則與也是相互獨(dú)立事件C．若，，A與B相互獨(dú)立，那么D．若，，A與B相互獨(dú)立，那么【答案】BD【分析】根據(jù)互斥與對(duì)立事件的定義，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】A中，由互斥事件的定義可知，事件A，B互斥，則A與也是互斥事件不成立，A錯(cuò)誤；特別地，若事件A，B對(duì)立，則A與是同一事件，顯然不互斥.B中，若A與B相互獨(dú)立，則A與，B與，與都是相互獨(dú)立事件，所以B正確；C中，如果A與B相互獨(dú)立，則，所以C錯(cuò)誤；D中，如果A與B相互獨(dú)立，則，所以D正確.故選：BD．例42.【多選題】（2023下·河南商丘·高二商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則A，B相互獨(dú)立C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若A與B相互獨(dú)立，則【答案】BD【分析】根據(jù)并事件的概率的計(jì)算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的并事件的概率公式即可判斷C.【詳解】A，若，則，A錯(cuò)誤；B，因?yàn)椋瑒t，B正確；C，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，C錯(cuò)誤；D，若A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，D正確.故選：BD【規(guī)律方法】（1）定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．【變式訓(xùn)練】變式41.【多選題】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率判斷AB，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義結(jié)合概率的求法判斷CD.【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則基本事件總數(shù)為，，，，，，共36種情形，滿足事件的有，共4種情形，其概率，故A正確；滿足事件的有，共2種情形，其概率，B不正確；滿足事件的有，，，共18種情形，其概率，滿足事件的有共2種情形，所以，則，所以與相互獨(dú)立，C正確；滿足事件的只有一種情形，所以，因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立，D正確.故選：ACD.變式42．（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）一個(gè)口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中隨機(jī)抽取1個(gè)球，則（

）A．若不放回地抽取兩次，則“取到2個(gè)紅球”和“取到2個(gè)白球”是互斥事件B．若不放回地抽取兩次，則“取到2個(gè)紅球”與“取到2個(gè)白球”相互獨(dú)立C．若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率大于第2次取到紅球的概率D．若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是【答案】AD【分析】對(duì)于A，根據(jù)互斥事件概念判斷；對(duì)于B，互斥事件不可能是相互獨(dú)立事件；對(duì)于C，有放回地抽取每次抽到紅球的概率均相等；對(duì)于D，使用對(duì)立事件計(jì)算概率.【詳解】對(duì)于A，若不放回地抽取兩次，則取到的球不可能是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所以“取到2個(gè)紅球”和“取到2個(gè)白球”是互斥事件，故A正確；對(duì)于B，若不放回地抽取兩次，記事件A：“取到2個(gè)紅球”，記事件B：“取到2個(gè)白球”，則A與B是互斥事件，所以，而，所以，所以A與B不是相互獨(dú)立事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率為，第2次取到紅球的概率為，所以第1次取到紅球的概率等于第2次取到紅球的概率，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是，故D正確.故選：AD.題型五：相互獨(dú)立事件概率計(jì)算【典例分析】例51．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為．【答案】/【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空．【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以，．故答案為：；．例52.（2023上·湖南常德·高二校聯(lián)考期中）甲、乙準(zhǔn)備進(jìn)行一局羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.(1)求第3回合由乙發(fā)球的概率；(2)求前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙的概率.【答案】(1)(2).【分析】（1）第3回合由乙發(fā)球包含兩種情況，分別求出概率相加即可得解；（2）前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙，則前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)為2或3，分別求出概率相加即可.【詳解】（1）由題可知，第3回合由乙發(fā)球包含兩種情況：第1回合甲贏，第2回合乙贏；第1回合乙贏，第2回合乙贏，所以第3回合由乙發(fā)球的概率為.（2）前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙，則前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)為2或3，甲贏的回合數(shù)為3的概率為，甲贏的回合數(shù)為2的概率為，所以前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙的概率為.【規(guī)律方法】1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．3.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們能同時(shí)發(fā)生．4．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；(2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．5.計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．【變式訓(xùn)練】變式51.（2022上·湖南長沙·高二周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對(duì)與否相互之間沒有影響，則這名同學(xué)得300分的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】記“這名同學(xué)答對(duì)第個(gè)問題”為事件，則，，這名同學(xué)得300分包括兩種情況，一是答對(duì)第一和第三兩個(gè)題目，二是答對(duì)第二和第三兩個(gè)題目，這兩種情況是互斥的，所以.故答案為：變式52.（2023下·遼寧·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否回答正確互不影響．求：(1)該選手進(jìn)入第三輪考核才被淘汰的概率；(2)該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得.（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）記“該選手正確回答第輪問題”為事件，則事件，，相互獨(dú)立，且，，.因?yàn)樵撨x手進(jìn)入第三輪才被淘汰指：前兩輪均通過，第三輪淘汰，所以該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率為.（2）因?yàn)檫x手至多進(jìn)入第二輪考核意味著第一輪淘汰或者第一輪通過第二輪淘汰,且事件和互斥.所以該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率為.題型六：條件概率【典例分析】例61.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）【答案】A【分析】先算出同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率,利用條件概率的知識(shí)求解.【詳解】同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率為，記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，所以.故選:.例62.（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，有且僅有2張為有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，甲、乙兩人輪流依次不放回地抽取獎(jiǎng)券，甲先抽取，然后乙再抽取為一個(gè)輪次．則在第一輪甲、乙都未中獎(jiǎng)的條件下，第二輪甲、乙都中獎(jiǎng)的概率為．【答案】【分析】設(shè)出事件，利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)事件為在第一輪甲、乙都未中獎(jiǎng)，事件為第二輪甲、乙都中獎(jiǎng)，則，，所以.故答案為：【規(guī)律方法】1.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．第3題中沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問題．運(yùn)用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析．2.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.【變式訓(xùn)練】變式61.（2014·全國·高考真題（理））某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）【答案】A【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.變式62.（2023上·山東青島·高三青島二中?？计谥校?889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國際勞動(dòng)節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是.【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】記“甲在五一假期期間值班2天”為事件，“甲連續(xù)值班”為事件，則種，種，所以，所以已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率為.故答案為：.題型七：全概率公式應(yīng)用【典例分析】例71.（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）某部門對(duì)一家食品店的奶類飲品和面包類食品進(jìn)行質(zhì)檢，已知該食品店中奶類飲品占，面包類食品占，奶類飲品不合格的概率為0.02，面包類食品不合格的概率為0.01．現(xiàn)從該食品店隨機(jī)抽檢一件商品，則該商品不合格的概率為（

）【答案】C【分析】利用全概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件表示“抽到的商品為奶類飲品”，事件表示“抽到的商品為面包類食品”，則，設(shè)事件表示“抽檢的商品不合格”，則，所以，故選：C．例72.（2024上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，顯然，因此，所以．故選：B【總結(jié)提升】利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算．【變式訓(xùn)練】變式71.（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）居民的某疾病發(fā)病率為，現(xiàn)進(jìn)行普查化驗(yàn)，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性．現(xiàn)有某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（

）【答案】C【分析】記事件某人患病，事件化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，利用全概率公式求出的值，再利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件某人患病，事件化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是：.故選：C.變式72.（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在2023亞運(yùn)會(huì)中，中國女子籃球隊(duì)表現(xiàn)突出，衛(wèi)冕亞運(yùn)會(huì)冠軍，該隊(duì)某球員被稱為3分球投手，在比賽中，她3分球投中的概率為，非3分球投中的概率為，且她每次投球投3分球的概率為，則該球員投一次球得分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件A為“該球員投球得分”，事件B為“該球員投中3分球得分”，由全概率公式：，故選：C題型八：貝葉斯概率公式應(yīng)用【典例分析】例81.（2023下·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為.現(xiàn)從這20塊芯片中任取1塊芯片，若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率為.【答案】【分析】利用條件概率計(jì)算公式即可求得若取到的芯片是次品則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率.【詳解】記芯片分別由甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)為事件，記取到的芯片是次品為事件，則，，，故，則若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率為.故答案為：例82.（2023·全國·高二課堂例題）張宇去某地參加會(huì)議，他乘汽車或飛機(jī)去的概率分別為、．如果他乘汽車或飛機(jī)前去，遲到的概率如圖所示．結(jié)果他遲到了，求張宇乘的是汽車的概率．【答案】【分析】記事件為“張宇乘汽車”，則事件為“張宇乘飛機(jī)”，事件為“張宇遲到”，利用貝葉斯公式可求得的值.【詳解】解：記事件為“張宇乘汽車”，則事件為“張宇乘飛機(jī)”，事件為“張宇遲到”，則，，，．根據(jù)貝葉斯公式可得．因此，張宇遲到了，他乘的是汽車的概率為．【總結(jié)提升】利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計(jì)算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．【變式訓(xùn)練】變式81.（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)喜愛籃球和跑步運(yùn)動(dòng).在暑假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為.若該同學(xué)下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學(xué)在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為.【答案】【分析】利用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)下午打籃球?yàn)槭录?，晚上跑步為事件，易知，，∴，?故答案為：變式82.（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）現(xiàn)在一些大的建筑工程都實(shí)行招投標(biāo)制．在發(fā)包過程中，對(duì)參加招標(biāo)的施工企業(yè)的資質(zhì)（含施工質(zhì)量、信譽(yù)等）進(jìn)行調(diào)查和評(píng)定是非常重要的．設(shè)B=“被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)不好”，A=“被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)評(píng)定為不好”．由過去的資料知，．現(xiàn)已知在被調(diào)查的施工企業(yè)當(dāng)中有確實(shí)資質(zhì)不好，求評(píng)定為資質(zhì)不好的施工企業(yè)確實(shí)資質(zhì)不好的概率（精確到0.01）．【分析】由貝葉斯公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，，，所以，.即評(píng)定為資質(zhì)不好的施工企業(yè)確實(shí)資質(zhì)不好的概率約為0.55.題型九：頻率與概率【典例分析】例91.（2023上·四川成都·高二成都外國語學(xué)校?？计谥校┫率鲫P(guān)于頻率與概率的說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B．做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率D．利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率，即使隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)超過10000，所估計(jì)出的概率也不一定很準(zhǔn)確．【答案】ABC【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】對(duì)于A:從中任取100件，可能有10件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B:做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C:多次重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，與描述不符，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:10000次的界定沒有科學(xué)依據(jù)，“不一定很準(zhǔn)確"的表達(dá)正確，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定在概率值附近，但并非試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就等于概率，D正確.故選:ABC.例92.（2022上·福建泉州·高二?？奸_學(xué)考試）甲，乙二人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分.已知甲，乙共進(jìn)行了三局比賽.如果甲乙二人進(jìn)行三局兩勝制的比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)：用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)4或5時(shí)，表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽三局，所以3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：123

344

423

114

423

453

354

332

125

342534

443

541

512

152

432

334

151

314

525(1)用以上隨機(jī)數(shù)估計(jì)甲獲勝概率的近似值；(2)計(jì)算甲獲勝的概率.【分析】（1）由頻率可得到概率估計(jì)值；（2）事件“甲獲勝”可分類為：第一次和第二次比賽勝利；第一次比賽失敗，第二、三次比賽勝利；第一、三次比賽勝利，第二次比賽失敗.【詳解】（1）設(shè)事件為“甲獲勝”，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的20個(gè)隨機(jī)數(shù)相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，其中事件發(fā)生了13次：對(duì)應(yīng)的數(shù)組為：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，用頻率估計(jì)事件的概率近似值為；（2）設(shè)事件為第局“甲獲勝”，則，根據(jù)概率的加法公式和事件獨(dú)立性定義，得∴.【規(guī)律方法】概率是頻率的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，頻率越趨近于概率．【變式訓(xùn)練】變式91.（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？计谥校┫铝忻}中正確的是（

）A．有一批產(chǎn)品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產(chǎn)品中必有10件是次品C．隨機(jī)事件發(fā)生的概率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率【答案】D【分析】根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，概率的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于A，實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個(gè)固定的值的附近波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，一批產(chǎn)品次品率為0.05，則從中任取200件，次品的件數(shù)在10件左右，而不一定是10件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，100次并不是無窮多次，只能說明這100次試驗(yàn)出現(xiàn)正面朝上的頻率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)定義，隨機(jī)事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，頻率估計(jì)概率，頻率為出現(xiàn)的次數(shù)與重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)的比值，拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是6的結(jié)果有20次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是，D正確.故選：D.變式92.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某籃球運(yùn)動(dòng)員在5000次投籃中，命中的次數(shù)為2348次．(1)求這名運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率；(2)若這名運(yùn)動(dòng)員要想投籃命中10000次，則大概需要投籃多少次？（結(jié)果精確到100）(3)根據(jù)提供的信息，判斷“該籃球運(yùn)動(dòng)員投籃3次，至少能命中1次”這一說法是否正確．【答案】(1)(2)(3)不正確【分析】（1）根據(jù)命中率計(jì)算方法即可得到答案；（2）根據(jù)命中率反推出投籃次數(shù)即可；（3）根據(jù)概率的含義即可判斷.【詳解】（1）根據(jù)題意，某籃球運(yùn)動(dòng)員在5000次投籃中，命中的次數(shù)為2348次，則這名運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率；（2）若這名運(yùn)動(dòng)員要想投籃命中10000次，則有；（3）雖然這名運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率，但由概率的定義，“該籃球運(yùn)動(dòng)員投籃3次，至少能命中1次”說法不正確.題型十：概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題【典例分析】例101.（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谥校┰谝淮文凶佑鹈騿未虮荣愔校\(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.【答案】【分析】由13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，從而估計(jì)出概率.【詳解】20組數(shù)據(jù)中，共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，故估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.故答案為：例102.（2020·全國·高考真題（文））某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?【答案】（1）甲分廠加工出來的級(jí)品的概率為，乙分廠加工出來的級(jí)品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇．【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為；（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件．故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題．【變式訓(xùn)練】變式101.（2023上·上海虹口·高二?？计谥校┠橙藪仈S一枚硬幣100次，結(jié)果正面朝上53次，設(shè)正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的頻率為．【答案】【分析】根據(jù)頻率的概念進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】事件A出現(xiàn)的頻率為.故答案為：變式102.（2023上·河南焦作·高二統(tǒng)考期中）某沙漠地區(qū)每年有2個(gè)月屬于雨季，10個(gè)月屬于旱季.經(jīng)過初步治理該沙漠地區(qū)某年旱季的月降水量（單位：.(1)求；(2)已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，該沙漠地區(qū)人工種植了甲?乙兩種植物，當(dāng)月降水量低于時(shí)甲種植物需要澆水，當(dāng)月降水量低于時(shí)乙種植物需要澆水，求這一年的某月甲?乙兩種植物都需要澆水的概率及二者中有植物需要澆水的概率.【答案】(1)，；(2)甲?乙兩種植物都需要澆水的概率為，二者中有植物需要澆水的概率為.【分析】（1）由百分位數(shù)、平均數(shù)求法求；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的頻率估計(jì)所求概率即可.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)從小到大為，又，則第40百分位數(shù)為，平均數(shù).（2）由數(shù)據(jù)及題設(shè)知：12個(gè)月中降水量低于有2個(gè)月，降水量低于有8個(gè)月，所以甲?乙兩種植物都需要澆水的概率為，二者中有植物需要澆水的概率為..一、選擇題1.（2021·全國·高考真題（文））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.2.（2020·山東·高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算結(jié)果.【詳解】5位老師，每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進(jìn)入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B3．（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期中）若某群體中的成員會(huì)用現(xiàn)金支付的概率為0.60，會(huì)用非現(xiàn)金支付的概率為0.55，則用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（

）【答案】B【分析】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，.【詳解】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則，，則，.故選：B.4．（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期中）支付已經(jīng)成為人們常用的付費(fèi)方式，某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下，顧客年齡（歲）20歲以下70歲及以上支付人數(shù)312149520其他支付方式人數(shù)0021327121從該超市顧客中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求相應(yīng)的頻率，用頻率估計(jì)概率.【詳解】由題意可知：該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的頻率為，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的概率為.故選：C.5．（2023上·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）已知事件，且，.若與互斥，令，若與相互獨(dú)立，令，則（

）【答案】B【分析】由已知結(jié)合互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式分別求出和，進(jìn)而可求.【詳解】因?yàn)锳，B互斥，所以，因?yàn)锳與B獨(dú)立，，，所以，所以，故選：B.6．（2023上·貴州畢節(jié)·高二?？计谥校┰O(shè)，為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，，的對(duì)立事件分別為，，，，下列說法正確的是（

）A．若，則事件與互斥B．若，則事件與一定互斥C．若，則D．若事件與相互獨(dú)立且同時(shí)發(fā)生的概率為0.4，則【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，互斥，對(duì)立的定義，以及公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，，因?yàn)?，則，所以，即事件與事件不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，則不一定為0，事件與事件不一定互斥，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，因?yàn)?/p>